高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 8.6 双曲线学案 文.doc

86双曲线知识梳理1双曲线的定义平面内与两个定点f1，f2(|f1f2|2c0)的距离的差的绝对值为常数(小于|f1f2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距集合pm|mf1|mf2|2a，|f1f2|2c，其中a，c为常数且a0，c0：(1)当ac时，p点不存在2双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形续表3必记结论(1)焦点到渐近线的距离为b.(2)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线，其方程可写作：x2y2(0)(3)等轴双曲线离心率e两条渐近线yx相互垂直诊断自测1概念思辨(1)平面内到点f1(0,4)，f2(0，4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线()(2)双曲线方程(m0，n0，0)的渐近线方程是0，即0.()(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.()(4)若双曲线1(a0，b0)与1(a0，b0)的离心率分别是e1，e2，则1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(选修a11p53t3)已知椭圆1和双曲线y21有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是()axy byxcxy dyx答案d解析由椭圆1和双曲线y21有公共的焦点，得m185.所以m2，所以双曲线方程为y21，所以双曲线的渐近线方程为yx.故选d.(2)(选修a11p51例3)已知中心在原点，焦点在y轴的双曲线的渐近线方程为yx，则此双曲线的离心率为_答案解析因为焦点在y轴的双曲线的渐近线方程为yx，所以，即b2a.由c2a2b2，得c2a24a25a2，即5，所以e.3小题热身(1)(2014全国卷)已知f为双曲线c：x2my23m(m0)的一个焦点，则点f到c的一条渐近线的距离为()a. b3 c.m d3m答案a解析由题意知，双曲线的标准方程为1，其中a23m，b23，故c，不妨设f为双曲线的右焦点，故f(，0)其中一条渐近线的方程为y x，即xy0，由点到直线的距离公式可得d，故选a.(2)(2016山东高考)已知双曲线e：1(a0，b0)若矩形abcd的四个顶点在e上，ab，cd的中点为e的两个焦点，且2|ab|3|bc|，则e的离心率是_答案2解析由已知得|ab|cd|，|bc|ad|f1f2|2c.因为2|ab|3|bc|，所以6c，又b2c2a2，所以2e23e20，解得e2或e(舍去)题型1双曲线的定义及应用(2017湖北武汉调研)若双曲线1的左焦点为f，点p是双曲线右支上的动点，a(1,4)，则|pf|pa|的最小值是()a8 b9 c10 d12利用双曲线定义得到|pf|pa|2a|pb|pa|，再利用|pa|pb|ab|求出最小值答案b解析由题意知，双曲线1的左焦点f的坐标为(4,0)，设双曲线的右焦点为b，则b(4,0)，由双曲线的定义知|pf|pa|4|pb|pa|4|ab|4459，当且仅当a，p，b三点共线且p在a，b之间时取等号|pf|pa|的最小值为9.故选b.(2018河北邯郸模拟)设动圆c与两圆c1：(x)2y24，c2：(x)2y24中的一个内切，另一个外切，则动圆圆心c的轨迹方程为_根据圆与圆相切关系求动圆圆心到两个定圆圆心的距离之差，然后用定义法求解答案y21解析设圆c的圆心c的坐标为(x，y)，半径为r，由题设知r2，于是有或|cc1|cc2|42|c1c2|，即圆心c的轨迹l是以c1，c2为焦点，4为实轴长的双曲线，l的方程为1，即y21.方法技巧1“焦点三角形”中常用到的知识点及技巧(1)常用知识点：在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义经常使用(2)技巧：经常结合|pf1|pf2|2a，运用平方的方法，建立它与|pf1|pf2|的联系2应用双曲线定义需注意的问题(1)在双曲线的定义中一是不能漏掉“绝对值”，否则轨迹是双曲线的一支；二是“常数”小于|f1f2|，否则轨迹是线段或不存在(2)求双曲线方程时，注意用标准形式冲关针对训练1(2017衡水模拟)已知abp的顶点a，b分别为双曲线c：1的左、右焦点，顶点p在双曲线上，则的值等于()a. b. c. d.答案a解析由1得a4，b3，c5.结合双曲线定义及正弦定理得，故选a.2已知双曲线1上有一点p，f1，f2是双曲线的焦点，且f1pf2，则pf1f2的面积为_答案9解析由题意，得|f1f2|210.因为所以|pf1|pf2|36.所以spf1f2|pf1|pf2|sin9.题型2双曲线的标准方程及应用(2018兰州检测)已知双曲线1(b0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于a，b，c，d四点，四边形abcd 的面积为2b，则双曲线的方程为()a.1 b.1c.1 d.1本题采用方程法答案d解析不妨设a(x0，y0)在第一象限，由题意得由得x，所以y，由可得b212.所以双曲线的方程为1.故选d.条件探究1若将典例中条件变为“以|f1f2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)”，求双曲线的方程解因为以|f1f2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，所以c5，.又c2a2b2，所以a3，b4，所以此双曲线的方程为1.条件探究2若将典例中变为“双曲线过点(2,1)，且双曲线与椭圆y21共焦点”，求双曲线的方程解椭圆y21的焦点坐标是(，0)设双曲线方程为1(a0，b0)，所以1，a2b23，解得a22，b21，所以所求双曲线方程是y21.方法技巧双曲线标准方程的求解方法1定义法2待定系数法提醒：利用求待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值与双曲线1，有相同渐近线时可设所求双曲线方程为(0)冲关针对训练1已知双曲线1(a0，b0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2xy0垂直，则双曲线的方程为()a.y21 bx21c.1 d.1答案a解析由题意得c，则a2，b1，所以双曲线的方程为y21.故选a.2(2018福建漳州模拟)已知双曲线c：1(a0，b0)的左、右焦点为f1，f2，p为双曲线c右支上异于顶点的一点，pf1f2的内切圆与x轴切于点(1,0)，且p与点f1关于直线y对称，则双曲线的方程为_答案x21解析设点a(1,0)，因为pf1f2的内切圆与x轴切于点(1,0)，则|pf1|pf2|af1|af2|，所以2a(c1)(c1)，则a1.因为点p与点f1关于直线y对称，所以f1pf2，且b，结合|pf1|pf2|2，|pf1|2|pf2|24c244b2，可得b2.所以双曲线的方程为x21.题型3双曲线的几何性质角度1与双曲线有关的范围问题(多维探究)(2015全国卷)已知m(x0，y0)是双曲线c：y21上的一点，f1，f2是c的两个焦点若0，则y0的取值范围是()a. b.c. d.根据已知0，列出y0的不等式求解答案a解析不妨令f1为双曲线的左焦点，则f2为右焦点，由题意可知a22，b21，c23，f1(，0)，f2(，0)，则(x0)(x0)(y0)(y0)xy3.又知y1，x22y，3y10.y0，故选a.条件探究将本例中条件“0，b0)，则a(a,0)，b(a,0)，不妨设点m在第一象限内，则易得m(2a，a)，又m点在双曲线e上，于是1，可得b2a2，e.故选d.2(2018成都统考)已知ab0，椭圆c1的方程为1，双曲线c2的方程为1，c1与c2的离心率之积为，则c2的渐近线方程为()axy0 b.xy0cx2y0 d2xy0答案a解析设椭圆c1和双曲线c2的离心率分别为e1和e2，则e1，e2.因为e1e2，所以，即4，所以.故双曲线的渐近线方程为yxx，即xy0.故选a.题型4直线与双曲线的综合问题以p(1,8)为中点作双曲线为y24x24的一条弦ab，求直线ab的方程本题采用“点差法”解设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则(y1y2)(y1y2)4(x1x2)(x1x2)，弦ab的中点是p(1,8)，x1x22，y1y216.16(y1y2)8(x1x2)，直线ab的斜率为，直线ab的方程为y8(x1)，即直线ab的方程为x2y150.已知中心在原点的双曲线c的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)(1)求双曲线c的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线c恒有两个不同的交点a和b，且2(其中o为原点)，求k的取值范围 (2)直线与双曲线联立，用设而不求的方法，列出不等式，然后求解解(1)设双曲线方程为1(a0，b0)由已知得a，c2，于是a2b222，b21，故双曲线c的方程为y21.(2)将ykx代入y21，得(13k2)x26kx90.由直线l与双曲线交于不同的两点，得即k2且k22，得xaxbyayb2.xaxbyaybxaxb(kxa)(kxb)(k21)xaxbk(xaxb)2(k21)k2.于是2，即0，解得k23，又k21，k20，b0)的位置关系的分析：1代数法消去y，得(b2a2k2)x22kma2xa2(m2b2)0.(1)二次项系数为0时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合重合：无交点；平行：有一个交点(2)二次项系数不为0时，上式为一元二次方程，0直线与双曲线相交(两个交点)；0直线与双曲线相切；0，m2n3m2，1n0)，即1，双曲线与椭圆1有公共焦点，4k5k123，解得k1，故双曲线c的方程为1.故选b.解法二：椭圆1的焦点为(3,0)，双曲线与椭圆1有公共焦点，a2b2(3)29，双曲线的一条渐近线为yx，联立可解得a24，b25.双曲线c的方程为1.故选b.3(2017全国卷)已知双曲线c：1(a0，b0)的右顶点为a，以a为圆心，b为半径作圆a，圆a与双曲线c的一条渐近线交于m，n两点若man60，则c的离心率为_答案解析如图，由题意知点a(a,0)，双曲线的一条渐近线l的方程为yx，即bxay0，点a到l的距离d.又man60，manab，man为等边三角形，dmab，即b，a23b2，e .4(2018兰州诊断)若双曲线1(a0，b0)一条渐近线的倾斜角为，离心率为e，则的最小值为_答案解析由题意，可得ktan.ba，则a2，e2.2.当且仅当b26，a22时取“” 重点保分 两级优选练a级一、选择题1(2018唐山统考)“k9”是“方程1表示双曲线”的()a充分不必要条件 b必要不充分条件c充要条件 d既不充分也不必要条件答案a解析方程1表示双曲线，(25k)(k9)0，k25，“k4.由于双曲线的实轴长为2小于4，因此与双曲线两支分别相交得到的两点都在x轴上方或x轴下方两种情况综上所述，共有三条直线满足条件，故选c.5(2016浙江高考)已知椭圆c1：y21(m1)与双曲线c2：y21(n0)的焦点重合，e1，e2分别为c1，c2的离心率，则()amn且e1e21 bmn且e1e21cm1 dmn且e1e20，m1可得mn，且m220.从而ee，则ee110，即e1e21.故选a.6(2017福建龙岩二模)已知离心率为的双曲线c：1(a0，b0)的左、右焦点分别为f1，f2，m是双曲线c的一条渐近线上的点，且ommf2，o为坐标原点，若somf216，则双曲线的实轴长是()a32 b16 c84 d4答案b解析由题意知f2(c,0)，不妨令点m在渐近线yx上，由题意可知|f2m|b，所以|om|a.由somf216，可得ab16，即ab32，又a2b2c2，所以a8，b4，c4，所以双曲线c的实轴长为16.故选b.7(2018湖南十校联考)设双曲线1的两条渐近线与直线x分别交于a，b两点，f为该双曲线的右焦点若60afb90，则该双曲线的离心率的取值范围是()a(1，) b(，2)c(1,2) d(，)答案b解析双曲线1的两条渐近线方程为yx，x时，y，不妨设a，b，60afb90，kfb1，1，1，1，1e213，e2.故选b.8(2017福建漳州八校联考)已知椭圆c1：1(a1b10)与双曲线c2：1(a20，b20)有相同的焦点f1，f2，点p是两曲线的一个公共点，e1，e2分别是两曲线的离心率，若pf1pf2，则4ee的最小值为()a. b4 c. d9答案c解析由题意设焦距为2c，令p在双曲线的右支上，由双曲线的定义知|pf1|pf2|2a2，由椭圆定义知|pf1|pf2|2a1，又pf1pf2，|pf1|2|pf2|24c2，22，得|pf1|2|pf2|22a2a，将代入，得aa2c2，4ee2，当且仅当，即a2a时，取等号故选c.9(2017青州市模拟)已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为f1，f2，这两条曲线在第一象限的交点为p，pf1f2是以pf1为底边的等腰三角形若|pf1|10，记椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e2的取值范围是()a. b.c. d(0，)答案a解析设椭圆和双曲线的半焦距为c，|pf1|m，|pf2|n(mn)，由于pf1f2是以pf1为底边的等腰三角形若|pf1|10，即有m10，n2c，由椭圆的定义可得mn2a1，由双曲线的定义可得mn2a2，即有a15c，a25c(c10，可得c，即有c5.由离心率公式可得e1e2，由于1.则e1e2的取值范围为.故选a.10已知椭圆c：1(ab0)的离心率为.双曲线x2y21的渐近线与椭圆c有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆c的方程为()a.1 b.1c.1 d.1答案d解析椭圆的离心率为，a2b.椭圆的方程为x24y24b2.双曲线x2y21的渐近线方程为xy0，渐近线xy0与椭圆x24y24b2在第一象限的交点为，由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为bb4，b25，a24b220.椭圆c的方程为1.故选d.二、填空题11若点p在曲线c1：1上，点q在曲线c2：(x5)2y21上，点r在曲线c3：(x5)2y21上，则|pq|pr|的最大值是_答案10解析依题意得，点f1(5,0)，f2(5,0)分别为双曲线c1的左、右焦点，因此有|pq|pr|(|pf2|1)(|pf1|1)|pf2|pf1|224210，故|pq|pr|的最大值是10.12过双曲线1(a0，b0)的左焦点f(c,0)(c0)，作圆x2y2的切线，切点为e，延长fe交曲线右支于点p，若()，则双曲线的离心率为_答案解析圆x2y2的半径为，由()知，e是fp的中点，设f(c,0)，由于o是ff的中点，所以oepf，|oe|pf|pf|2|oe|a.由双曲线定义，|fp|3a，因为fp是圆的切线，切点为e，所以fpoe，从而fpf90.由勾股定理，得|fp|2|fp|2|ff|29a2a24c2e.13(2018安徽江南十校联考)已知l是双曲线c：1的一条渐近线，p是l上的一点，f1，f2是c的两个焦点，若0，则p到x轴的距离为_答案2解析由题意取f1(，0)，f2(，0)，不妨设l的方程为yx，则可设p(x0，x0)，由(x0，x0)(x0，x0)3x60，得x0，故p到x轴的距离为|x0|2.14(2018贵州六校联考)我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”已知f1，f2是一对相关曲线的焦点，p是它们在第一象限的交点，当f1pf260时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是_答案解析设椭圆的半长轴为a1，椭圆的离心率为e1，则e1，a1.设双曲线的实半轴为a，双曲线的离心率为e，e，a.|pf1|x，|pf2|y(xy0)，则由余弦定理得4c2x2y22xycos60x2y2xy，当点p看作是椭圆上的点时，有4c2(xy)23xy4a3xy，当点p看作是双曲线上的点时，有4c2(xy)2xy4a2xy，联立消去x