北京市昌平区临川育人学校2017届高三第二次月考数学试卷.doc

2016-2017学年北京市昌平区临川育人学校高三（上）第二次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确地选项填在题后的括号内1已知原命题：“若a+b2，则a，b 中至少有一个不小于1”，则原命题与其否命题的真假情况是（）A原命题为真，否命题为假B原命题为假，否命题为真C原命题与否命题均为真命题D原命题与否命题均为假命题【考点】复合命题的真假【分析】容易看出原命题为真，加以说明即可，写出其否命题，再判断真假即可，对于假命题的情况，举反例即可【解答】解：原命题为真，若结论不成立，即a，b都小于1，这样便不满足a+b2；它的否命题为：“若a+b2，则a，b都小于1”，该命题为假，比如，a=21，b=2，满足a+b2故选A2复数z=1+i， 为z 的共轭复数，则zz1=（）A2iBiCiD2i【考点】复数代数形式的混合运算【分析】求出复数z的共轭复数，代入表达式，求解即可【解答】解： =1i，所以=（1+i）（1i）1i1=i故选B3要得到函数y=cos2x的图象，只需将函数y=sin（2x+）的图象沿x轴（）A向左平移个单位B向左平移个单位C向右平移个单位D向右平移个单位【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】把y=sin（2x+）化为cos2（x），故把cos2（x）的图象向左平移个单位，即得函数y=cos2x的图象【解答】解：y=sin（2x+）=cos（2x+）=cos（2x）=cos（2x）=cos2（x）故把cos2（x）的图象向左平移个单位，即得函数y=cos2x的图象，故选 A4如图所示，墙上挂有边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是（）A1BC1D与a的取值有关【考点】几何概型【分析】欲求击中阴影部分的概率，则可先求出击中阴影部分的概率对应的平面区域的面积，再根据几何概型概率公式易求解【解答】解：利用几何概型求解，图中阴影部分的面积为：，则他击中阴影部分的概率是：=1，故选A5某厂节能降耗技术改造后，在生产过程中记录了产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据如右表所示，x3456y2.5344.5根据右表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+a，那么a的值等于（）A0.35B3.15C3.5D0.4【考点】线性回归方程【分析】先计算平均数，利用线性回归方程恒过样本中心点，即可得到结论【解答】解：由题意，代入线性回归方程为，可得3.5=0.74.5+a，a=0.35故选A6将函数y=sin（2x）（0）的图象沿x轴向左平移个单位后得到的图象关于原点对称，则的值为（）ABCD【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】本题主要考查函数y=Asin（x+）的图象变换规律，结合正弦函数、余弦函数的图象的对称性可得=k，kz，由此求得 的值【解答】解：将函数y=sin（2x）（0）的图象沿x轴向左平移个单位后得到y=sin2（x+）=sin（2x+）的图象，根据所得图象关于原点对称，可得=k，kz，=，故选：B7设x1，x2分别是方程x2x=1和xlog2x=1的实根，则x1+x2的取值范围是（）A（1，+）B1，+）C2，+）D（2，+）【考点】反函数【分析】利用指数函数与对数函数的单调性、互为反函数的性质即可得出【解答】解：方程x2x=1和xlog2x=1变形为：2x=，log2x=函数y=2x与y=log2x互为反函数，x1+x2=2，x1+x2的取值范围是（2，+）故选：D8正三棱锥的三视图如图所示，则其外接球的体积为（）A9B C18D6【考点】球的体积和表面积；简单空间图形的三视图【分析】由题意，正三棱锥的高为2，底面三角形的高为3，设外接球的半径为R，则R2=（2R）2+（）2，求出R，再求出正三棱锥的外接球的体积【解答】解：由题意，正三棱锥的高为2，底面三角形的高为3，设外接球的半径为R，则R2=（2R）2+（）2，R=，外接球的体积为=9，故选：A9设直线ax+by=1（其中a，b为实数）与圆x2+y2=1相交于A，B两点，AOB是直角三角形（O为坐标原点），则点P（a，b）到点M（0，1）的距离的最大值为$（）A +1B2C2+3D1【考点】直线与圆的位置关系【分析】根据圆的方程找出圆心坐标和半径，由|OA|=|OB|根据题意可知AOB是等腰直角三角形，根据勾股定理求出|AB|的长度，根据等腰直角三角形的性质可得圆心到直线的距离等于|AB|的一半，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离，两者相等即可得到a与b的轨迹方程为一个椭圆，由图形可知点P（a，b）到焦点（0，1）的距离的最大值【解答】解：由圆x2+y2=1，所以圆心（0，0），半径为1所以|OA|=|OB|=1，则AOB是等腰直角三角形，得到|AB|=，则圆心（0，0）到直线ax+by=1的距离为，2a2+b2=2，即a2+=1因此所求距离为椭圆a2+=1上点P（a，b）到焦点（0，1）的距离，如图得到其最大值PF=+1故选A10设ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且（2bc）cosA=acosC，则角A的大小为（）ABCD【考点】正弦定理【分析】利用正弦定理、和差公式、三角形内角和定理即可得出【解答】解：（2bc）cosA=acosC，（2sinBsinC）cosA=sinAcosC，2sinBcosA=（sinCcosA+sinAcosC）=sin（A+C）=sinB，sinB0，cosA=，A（0，），A=故选：B11ABC中，点D在边AB上，CD平分ACB，若=， =，|=1，|=2，则=（）A +B +C +D +【考点】向量加减混合运算及其几何意义【分析】由ABC中，点D在边AB上，CD平分ACB，根据三角形内角平分线定理，我们易得到，我们将后，将各向量用，表示，即可得到答案【解答】解：CD为角平分线，故选B12函数f（x）=x3+x，xR，当时，f（msin）+f（1m）0恒成立，则实数m的取值范围是（）A（0，1）B（，0）CD（，1）【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质；奇偶性与单调性的综合【分析】由f（x）=x3+x，可知f（x）为奇函数，增函数，得出msinm1，根据sin0，1，即可求解【解答】解：由f（x）=x3+x，f（x）为奇函数，增函数，f（msin）+f（1m）0恒成立，即f（msin）f（m1），msinm1，当时，sin0，1，解得m1，故实数m的取值范围是（，1），故选D二、填空题：每小题5分，共20分，把正确答案填写在题中的横线上，或按题目要求作答13已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=2【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得要求的式子为（）（），再根据两个向量垂直的性质，运算求得结果【解答】解：已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则 =0，故 =（ ）（）=（）（）=+=4+00=2，故答案为 214已知双曲线的渐近线与圆x2+（y+2）2=1没有公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为（1，2）【考点】双曲线的简单性质【分析】先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离大于半径，求得a和b的关系，进而利用c2=a2+b2求得a和c的关系，则双曲线的离心率可求【解答】解：双曲线渐近线为bxay=0，与圆x2+（y+2）2=1没有公共点，圆心到渐近线的距离大于半径，即13a2b2，a2c2=a2+b24a2，由e=，1e2故答案为：（1，2）15设向量，不平行，向量+与+2平行，则实数=【考点】平行向量与共线向量【分析】利用向量平行即共线的条件，得到向量+与+2之间的关系，利用向量相等解答【解答】解：因为向量，不平行，向量+与+2平行，所以+=（+2），所以，解得；故答案为：16设Sn是数列an的前n项和，a1=1，an+1=SnSn+1，则Sn=【考点】数列的求和【分析】an+1=SnSn+1，可得Sn+1Sn=SnSn+1， =1，再利用等差数列的通项公式即可得出【解答】解：an+1=SnSn+1，Sn+1Sn=SnSn+1，=1，数列是等差数列，首项为1，公差为1=1（n1）=n，解得Sn=故答案为：17已知点P（a，b）与点Q（1，0）在直线2x3y+1=0的两侧，则下列说法正确的是 2a3b+10；a0时，有最小值，无最大值；MR+，使M恒成立；当a0且a1，b0时，则的取值范围为（，）（，+）【考点】简单线性规划；不等式【分析】由已知点P（a，b）与点Q（1，0）在直线2x3y+1=0的两侧可得2a3b+10，结合不等式的性质可得当a0时，+，从而对作出判断；对于，是看有没有极小值，据的几何即可得出；对于，利用式子蕴含的斜率的几何意义即可解决【解答】解：由已知（2a3b+1）（20+1）0，即2a3b+10，错；当a0时，由3b2a+1，可得+，不存在最小值，错；表示为（a，b）与（0，0）两点间的距离，由线性规划知识可得：=恒成立，正确；表示为（a，b）和（1，0）两点的斜率表示点（a，b）与点（1，0）连线的斜率，由线性规划知识可知正确故答案是：三、解答题：共70分要求写出必要的文字说明、重要演算步骤，有数值计算的要明确写出数值和单位，只有最终结果的不得分18已知函数f（x）=2sinxcos2x（1）比较f（），f（）的大小；（2）求函数f（x）的最大值【考点】三角函数中的恒等变换应用【分析】（1）将f（），f（）求出大小后比较即可（2）将f（x）化简，由此得到最大值【解答】解：（1）f（）=，f（）=，f（）f（），（2）f（x）=2sinxcos2x=2sinx1+2sin2x，=2（sinx）2，函数f（x）的最大值为319已知向量=（1+sin2x，sinxcosx），=（1，sinx+cosx），函数f（x）=（1）求f（x）的最大值及相应的x的值；（2）若f（）=，求cos2（2）的值【考点】平面向量数量积的运算【分析】（1）利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用正弦函数的最值，求得f（x）的最大值及相应的x的值（2）利用条件求得 sin（2）=，再利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得cos2（2）的值【解答】解：（1）函数f（x）=1+sin2x+（sinxcosx）（sinx+cosx） =1+sin2xcos2x=1+sin（2x），故函数f（x）的最大值为1+，此时，2x=2k+，即x=k+，kZ（2）若f（）=1+sin（2）=，则 sin（2）=，cos2（2）=cos2（2）=12=12=20如图为某校语言类专业N名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知8090分数段的学员数为21人（）求该专业毕业总人数N和9095分数段内的人数n；（）现欲将9095分数段内的n名人分配到几所学校，从中安排2人到甲学校去，若n人中仅有两名男生，求安排结果至少有一名男生的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图【分析】（）根据频率分布直方图，先求出8090分数段频率，即可求出N，再用1减去成绩落在其它区间上的频率，即得成绩落在9095上的频率，继而期初该段的人数（）一一列举出所有的基本事件，再找到满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可【解答】解：（）8090分数段频率为P1=（0.04+0.03）5=0.35，此分数段的学员总数为21人所以毕业生，的总人数N为N=60，9095分数段内的人数频率为P1=1（0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01）5=0.1所以9095分数段内的人数n=600.1=6，（） 9095分数段内的6人中有两名男生，4名女生设男生为1，2；女生为3，4，5，6，设安排结果中至少有一名男生为事件A从中取两名毕业生的所有情况（基本事件空间）为12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56共15种组合方式，每种组合发生的可能性是相同的，其中，至少有一名男生的种数为12，13，14，15，16，23，24，25，26共9种所以，P（A）=21某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率【考点】频率分布直方图；组合及组合数公式【分析】（1）重量超过505克的产品结合频率分布直方图可知有两个部分，求出两矩形的面积，根据重量超过505克的产品数量等于该频率乘以样本容量即可；（2）Y的所有可能取值为0，1，2，然后利用组合数分别求出它们的概率，列出分布列即可；（3）从流水线上任取5件产品，恰有2件产品合格的重量超过505克，则有两件合格，有三件不合格，利用组合数计算出概率即可【解答】解：（1）重量超过505克的产品数量是40（0.055+0.015）=12件；（2）Y的所有可能取值为0，1，2；，Y的分布列为 Y012P（3）从流水线上任取5件产品，重量超过505克的概率为=，重量不超过505克的概为1=；恰有2件产品合格的重量超过505克的概率为22已知an是等差数列，bn是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4（1）求an的通项公式；（2）设cn=an+bn，求数列cn的前n项和【考点】等差数列与等比数列的综合【分析】（1）设an是公差为d的等差数列，bn是公比为q的等比数列，运用通项公式可得q=3，d=2，进而得到所求通项公式；（2）求得cn=an+bn=2n1+3n1，再由数列的求和方法：分组求和，运用等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和【解答】解：（1）设an是公差为d的等差数列，bn是公比为q的等比数列，由b2=3，b3=9，可得q=3，bn=b2qn2=33n2=3n1；即有a1=b1=1，a14=b4=27，则d=2，则an=a1+（n1）d=1+2（n1）=2n1；（2）cn=an+bn=2n1+3n1，则数列cn的前n项和为（1+3+（2n1）+（1+3+9+3n1）=n2n+=n2+23已知由整数组成的数列an各项均不为0，其前n项和为Sn，且a1=a，2Sn=anan+1（1）求a2的值；（2）求an的通项公式；（3）若n=15时，Sn取得最小值，求a的值【考点】数列递推式；数列的求和【分析】（1）由已知得2a1=a1a2，由此能求出a2=2（2）由2Sn=anan+1，得2Sn1=an1an，n2，从而an+1an1=2，由此能利用等差数列的通项公式求出an的通项公式（3）由（2）得Sn=，从而S15为最小值等价于S13S15，S15S17，由此结合已知条件能求出a的值【解答】解：（1）2Sn=anan+1，2S1=a1a2，即2a1=a1a2，a1=a0，a2=2（2）2Sn=anan+1，2Sn1=an1an，n2，两式相减，得：2an=an（an+1an1），an0，an+1an1=2，a2k1，a2k都是公差为2的等差数列，当n=2k1，kN*时，an=a1+（k1）2=a+n1，当n=2k，kN*时，an=2+（k1）2=2k=n（3）2Sn=anan+1，Sn=，所有奇数项构成的数列是一个单调递增数列，所有的偶数项构成的是一个单调递增数列，当n为偶数时，an0，此时SnSn1，S15为最小值等价于S13S15，S15S17，a14+a150，a16+a170，14+15+a10，16+17+a10，解得32a28，数列an是由整数组成的，a32，31，30，29，28，a0，对所有的奇数n，an=n+a10，a不能取偶数，a=31，或a=2924已知函数f（x）=（x+1）lnxa（x1）（I）当a=4时，求曲线y=f（x）在（1，f（1）处的切线方程；（II）若当x（1，+）时，f（x）0，求a的取值范围【考点】简单复合函数的导数【分析】（I）当a=4时，求出曲线y=f（x）在（1，f（1）处的切线的斜率，即可求出切线方程；（II）先求出f（x）f（1）=2a，再结合条件，分类讨论，即可求a的取值范围【解答】解：（I）当a=4时，f（x）=（x+1）lnx4（x1）f（1）=0，即点为（1，0），函数的导数f（x）=lnx+（x+1）4，则f（1）=ln1+24=24=2，即函数的切线斜率k=f（1）=2，则曲线y=f（x）在（1，0）处的切线方程为y=2（x1）=2x+2；（II）f（x）=（x+1）lnxa（x1），f（x）=1+lnxa，f（x）=，x1，f（x）0，f（x）在（1，+）上单调递增，f（x）f（1）=2aa2，f（x）f（1）0，f（x）在（1，+）上单调递增，f（x）f（1）=0，满足题意；a2，存在x0（1，+），f（x0）=0，函数f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+）上单调递增，由f（1）=0，可得存在x0（1，+），f（x0）0，不合题意综上所述，a2四、请考生在第（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分（23）（本小题满分1