高考数学总复习（整合考点+典例精析+深化理解）第六章 第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题精讲课件 文.ppt

第三节二元一次不等式 组 与简单的线性规划问题 第六章 例1 画出不等式组表示的平面区域 并回答下列问题 1 指出x y的取值范围 2 求所围平面区域的面积 用二元一次不等式 组 表示平面区域 自主解答 解析 1 不等式x y 5 0表示直线x y 5 0上及右下方的平面区域 x y 0表示直线x y 0上及右上方的平面区域 x 3表示直线x 3上及左方的平面区域 所以 不等式组表示的平面区域如图所示 结合图中可行域得x y 3 8 2 由 1 知 x y 3 8 围成的区域是一个三角形 所以s 点评 二元一次不等式组所确定的平面区域是不等式组中各个不等式所表示的半平面区域的公共部分 画出平面区域的关键是把各个半平面区域确定准确 其基本方法是 直线定界 特殊点定域 1 已知关于x y的不等式组所表示的平面区域的面积为4 则k的值为 变式探究 解析 其中平面区域kx y 2 0是含有坐标原点的半平面 直线kx y 2 0又过定点 0 2 这样就可以根据平面区域的面积为4 确定一个封闭的区域 作出平面区域即可求解 平面区域如图所示 根据区域面积为4 得a 2 4 代入直线方程 得k 1 答案 1 求目标函数的最值 范围 例2 设x y满足约束条件分别求 1 z 6x 10y 2 z 2x y 3 z 2x y x y均为整数 的最大值 最小值 思路点拨 由于所给的约束条件及目标函数均为关于x y的一次式 所以此问题是简单线性规划问题 使用图解法求解 自主解答 解析 1 先画出可行域 如图所示中 abc的区域 且求得a 5 2 b 1 1 c作出直线l0 6x 10y 0 再将直线l0平移 当l0的平行线过点b时 可使z 6x 10y达到最小值 当l0的平行线过点a时 可使z 6x 10y达到最大值 所以zmin 16 zmax 50 2 同上 作出直线l0 2x y 0 再将直线l0平移 当l0的平行线过点c时 可使z 2x y达到最小值 当l0的平行线过点a时 可使z 2x y达到最大值 所以zmin zmax 8 3 同上 作出直线l0 2x y 0 再将直线l0平移 当l0的平行线过点c时 可使z 2x y达到最小值 当l0的平行线过点a时 可使z 2x y达到最大值8 但由于不是整数 而最优解 x y 中 x y必须都是整数 所以可行域内的点c不是最优解 当l0的平行线经过可行域内的整点 1 4 时 可使z 2x y达到最小值 所以zmin 2 点评 1 线性目标函数的最大 小 值一般在可行域的顶点处取得 也可能在边界处取得 如 本题第 1 题中z 6x 10y的最大值可以在线段ac上任一点取到 2 求线性目标函数的最优解 要注意分析线性目标函数所表示的几何意义 在y轴上的截距或其相反数 变式探究 2 1 2013 梅州二模 已知x y满足且目标函数z 3x y的最小值为5 则c的值为 2 2013 广东卷 给定区域d 令点集t x0 y0 d x0 y0 z x0 y0 是z x y在d上取得最大值或最小值的点 则t中的点共确定 条不同的直线 解析 1 画出x y满足的可行域如下图 可得直线y 2x c与直线x 2的交点a使目标函数z 3x y取得最小值 故 解得a 2 1 代入y 2x c得c 5 2 画出可行域如图所示 其中z x y取得最小值时的整点为 0 1 取得最大值时的整点为 0 4 1 3 2 2 3 1 及 4 0 共5个整点 故可确定5 1 6条不同的直线 答案 1 5 2 6 例3 2012 江西卷 某农户计划种植黄瓜和韭菜 种植面积不超过50亩 投入资金不超过54万元 假设种植黄瓜和韭菜的产量 成本和售价如下表 为使一年的种植总利润 总利润 总销售收入 总种植成本 最大 那么黄瓜和韭菜的种植面积 单位 亩 分别为 线性规划的实际应用 a 50 0b 30 20c 20 30d 0 50 思路点拨 这个问题的数学模型是二元线性规划 为此 需要确定线性约束条件和线性目标函数 解析 设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x亩 y亩 总利润为z万元 则目标函数为z 0 55 4x 1 2x 0 3 6y 0 9y x 0 9y 线性约束条件为 即 易求得点a 0 50 b 30 20 c 45 0 平移直线z x 0 9y 可知当直线z x 0 9y经过点b 30 20 即x 30 y 20时 z取得最大值 且zmax 48 万元 故选b 答案 b点评 1 线性规划实际应用题的关键是把影响求解目标的两个变量找出来 用这两个变量表示约束条件和求解目标 即目标函数 建立线性规划模型 解题的一般步骤为 设出x y z 列出约束条件 确定目标函数 画出可行域 判断最优解 求出目标函数的最值 并回到原问题中作答 2 与线性规划有关的应用问题 通常涉及最优化问题 如用料最省 获利最大等 在解题时要注意题目中的各种相互制约关系 列出全面的制约条件和正确的目标函数 变式探究 3 2013 湖北卷 某旅行社租用a b两种型号的客车安排900名客人旅行 a b两种车辆的载客量分别为36人和60人 租金分别为1600元 辆和2400元 辆 旅行社要求租车总数不超过21辆 且b型车不多于a型车7辆 则租金最少为 a 31200元b 36000元c 36800元d 38400元 解析 由题意知其可行域如图中阴影部分 令z 1600a 2400b 则过点m 5 12 时 zmin 1600 5 2400 12 36800 元 答案 c 非线性目标函数的最值 例4 已知求 1 z x2 y2 10y 25的最小值 2 z 的范围 解析 作出可行域如图 并求出顶点的坐标a 1 3 b 3 1 c 7 9 1 z x2 y 5 2表示可行域内任一点 x y 到定点m 0 5 的距离的平方 过m作直线ac的垂线 图略 易知垂足n在线段ac上 故z的最小值是 2 z 表示可行域内任一点 x y 与定点q 1 1 连线的斜率的变化范围 因为kqa 2 kqb 故z的范围是 点评 非线性目标函数一般有两类 一类是距离型 z x x0 2 y y0 2 一类是斜率型 z 这两类问题的求解 要结合图形考虑其几何意义 寻找距离或斜率的最值 变式探究 4 变量x y满足 1 设z 求z的最小值 2 设z x2 y2 求z的取值范围 解析 作