（京津鲁琼专用）2020版高考数学第二部分专题七数学文化及数学思想第1讲数学文化练习.docx

第1讲数学文化函数中的数学文化题典型例题 在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，如图所示，鳖臑ABCD中，AB平面BCD，且BDCD，ABBDCD，点P在棱AC上运动，设CP的长度为x，若PBD的面积为f(x)，则函数yf(x)的图象大致是()【解析】如图，作PQBC于Q，作QRBD于R，连接PR，则PQAB，QRCD.因为PQBD，又PQQRQ，所以BD平面PQR，所以BDPR，即PR为PBD中BD边上的高设ABBDCD1，则，即PQ，又，所以QR，所以PR，所以f(x)，故选A.【答案】A中华太极图，悠悠千古昭著于世，像朝日那样辉煌宏丽，又像明月那样清亮壮美它是我们华夏先祖的智慧结晶，它是中国传统文化的骄傲象征，它更是中华民族献给人类文明的无价之宝试题通过太极图展示了数学文化的民族性与世界性 对点训练(2019福建泉州两校联考)我国古代数学著作九章算术中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤”其意思为：“今有人持金出五关，第1关所收税金为持金的，第2关所收税金为剩余持金的，第3关所收税金为剩余持金的，第4关所收税金为剩余持金的，第5关所收税金为剩余持金的，5关所收税金之和恰好重1斤”则在此问题中，第5关所收税金为()A斤B斤C斤D斤解析：选C.设此人持金x斤，根据题意知第1关所收税金为斤；第2关所收税金为斤；第3关所收税金为斤；第4关所收税金为斤；第5关所收税金为斤易知1，解得x.则第5关所收税金为斤故选C.数列中的数学文化题典型例题 (2019河北辛集中学期中)中国古代数学著作张丘建算经中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”其意思是：“现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里”若该匹马按此规律继续行走7天，则它这14天内所走的总路程为()A里B1 050里C里D2 100里【解析】由题意可知，马每天行走的路程组成一个等比数列，设该数列为an，则该匹马首日行走的路程为a1，公比为，则有700，则a1，则(里)故选C.【答案】C(1)数列中的数学文化题一般以我国古代数学名著中的等差数列和等比数列问题为背景，考查等差数列和等比数列的概念、通项公式和前n项和公式(2)解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，掌握等比(差)数列的概念、通项公式和前n项和公式 对点训练(一题多解)九章算术中有一题：今有牛、马、羊食人苗苗主责之粟五斗羊主曰：“我羊食半马”马主曰：“我马食半牛”今欲衰偿之，问各出几何其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿()A斗粟B斗粟C斗粟D斗粟解：选C.法一：设羊、马、牛主人赔偿的粟的斗数分别为a1，a2，a3，则这3个数依次成等比数列，公比q2，所以a12a14a15，解得a1，故a3，a3a1，故选C.法二：羊、马、牛主人赔偿的比例是124，故牛主人应赔偿5(斗)，羊主人应赔偿5(斗)，故牛主人比羊主人多赔偿了(斗)，故选C.三角函数中的数学文化题典型例题 数书九章中给出了“已知三角形三边长求三角形面积的求法”，填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代人具有很高的数学水平，其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”若把这段文字写成公式，即S，现有周长为2的ABC满足sin Asin Bsin C(1)(1)，用上面给出的公式求得ABC的面积为()ABCD【解析】由正弦定理得sin Asin Bsin Cabc(1)(1)，可设三角形的三边分别为a(1)x，bx，c(1)x，由题意得(1)xx(1)x(2)x2，则x1，故由三角形的面积公式可得ABC的面积S，故选B.【答案】B我国南宋数学家秦九韶发现的“三斜求积术”虽然与海伦公式(S，其中p(abc)在形式上不一样，但两者完全等价，它填补了我国传统数学的一项空白，从中可以看出我国古代已经具有很高的数学水平 对点训练(2019济南市学习质量评估)我国物权法规定：建造建筑物，不得违反国家有关工程建设标准，妨碍相邻建筑物的通风、采光和日照已知某小区的住宅楼的底部均在同一水平面上，且楼高均为45 m，依据规定，该小区内住宅楼楼间距应不小于52 m若该小区内某居民在距离楼底27 m高处的某阳台观测点，测得该小区内正对面住宅楼楼顶的仰角与楼底的俯角之和为45，则该小区的住宅楼楼间距实际为_m.解析：设两住宅楼楼间距实际为x m如图，根据题意可得，tanDCA，tanDCB，又DCADCB45，所以tan(DCADCB)1，整理得x245x27180，解得x54或x9(舍去)所以该小区住宅楼楼间距实际为54 m.答案：54立体几何中的数学文化题典型例题 九章算术中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵将一堑堵沿其一顶点与相对的棱所在平面切开，得到一个阳马(底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥)和一个鳖臑(四个面均为直角三角形的四面体)在如图所示的堑堵ABCA1B1C1中，AA1AC5，AB3，BC4，则阳马C1ABB1A1的外接球的表面积是()A25B50C100D200【解析】由题意得阳马C1ABB1A1的外接球即为堑堵ABCA1B1C1的外接球，球心在正方形ACC1A1的中心，所以外接球的半径R，表面积为4R250.故选B.【答案】B立体几何中的数学文化题一般以我国古代发现的球的体积公式、圆柱的体积公式、圆锥的体积公式、圆台的体积公式和“牟合方盖”“阳马”“鳖臑”“堑堵”“刍薨”等中国古代几何名词为背景考查空间几何体的体积与表面积等 对点训练九章算术中有这样一个问题：“今有圆堢壔，周四丈八尺，高一丈一尺问积几何？术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”这里所说的圆堢壔就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”，意思是圆柱体的体积为V底面圆的周长的平方高，由此可推得圆周率的取值为()A3B3.1C3.14D3.2解析：选A.设圆柱体的底面半径为r，高为h，由圆柱的体积公式得体积为Vr2h.由题意知V(2r)2h，所以r2h(2r)2h，解得3.故选A.概率中的数学文化题典型例题 (1)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，田忌获胜的概率是()A BCD(2)太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被函数y3sin x的图象分割为两个对称的鱼形图案，如图所示，其中小圆的半径均为1，现从大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为()ABCD【解析】(1)从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，对阵情况如下表：齐王的马上上上中中中下下下田忌的马上中下上中下上中下双方马的对阵中，有3种对抗情况田忌能赢，所以田忌获胜的概率P.故选A.(2)函数y3sin x的图象与x轴相交于点(6，0)和点(6，0)，则大圆的半径为6，面积为36，而小圆的半径为1，两个小圆的面积和为2，所以所求的概率是.故选B.【答案】(1)A(2)B(1)本例(1)选取田忌赛马这一为人熟知的故事作为背景，考查了古典概型，趣味性很强，利于缓解考生在考场的紧张心理，体现了对考生的人文关怀 (2)本例(2)以中国优秀传统文化太极图为背景，考查几何概型，角度新颖，所给图形有利于考生分析问题和解决问题，给出了如何将抽象的数学问题形象化的范例对点训练我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中做出了重大贡献哥德巴赫猜想是“任一大于2的偶数都可写成两个质数的和”，如321319.在不超过32的质数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是()ABCD解析：选C.不超过32的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，共11个，随机选取两个不同的数，共有C55种不同的选法，因为7231119131730，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种选法，所以概率为，故选C.一、选择题1我国古代数学著作九章算术中有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣()A104人B108人C112人D120人解析：选B.由题设可知这是一个分层抽样的问题，其中北乡可抽取的人数为300300108.故选B.2“干支纪年法”是中国自古以来就一直使用的纪年方法干支是天干和地支的总称天干、地支互相配合，配成六十组为一周，周而复始，依次循环甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号为天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥为地支如：公元1984年为农历甲子年、公元1985年为农历乙丑年，公元1986年为农历丙寅年则2049年为农历()A己亥年B己巳年C己卯年D戊辰年解析：选B.法一：由公元1984年为农历甲子年、公元1985年为农历乙丑年，公元1986年为农历丙寅年，可知以公元纪年的尾数在天干中找出对应该尾数的天干，再将公元纪年除以12，用除不尽的余数在地支中查出对应该余数的地支，这样就得到了公元纪年的干支纪年.2049年对应的天干为“己”，因其除以12的余数为9，所以2049年对应的地支为“巳”，故2049年为农历己巳年故选B.法二：易知(年份3)除以10所得的余数对应天干，则2 04932 046，2 046除以10所得的余数是6，即对应的天干为“己”(年份3)除以12所得的余数对应地支，则2 04932 046，2 046除以12所得的余数是6，即对应的地支为“巳”，所以2049年为农历己巳年故选B.3(2019山东淄博模拟)我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”设该金箠由粗到细是均匀变化的，其重量为M，现将该金箠截成长度相等的10段，记第i段的重量为ai(i1，2，10)，且a1a2，故C错误；在D中，a4a5a619242，故D正确13(多选)中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美定义：图象能够将圆O的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，下列命题正确的是()A对于任意一个圆O，其“太极函数”有无数个B函数f(x)ln(x2)可以是某个圆的“太极函数”C正弦函数ysin x可以同时是无数个圆的“太极函数”D函数yf(x)是“太极函数”的充要条件为函数yf(x)的图象是中心对称图形解析：选AC.过圆心的直线都可以将圆的周长和面积等分成两部分，故对于任意一个圆O，其“太极函数”有无数个，故A正确；函数f(x)ln(x2)的图象如图1所示，故其不可能为圆的“太极函数”，故B错误；将圆的圆心放在正弦函数ysin x图象的对称中心上，则正弦函数ysin x是该圆的“太极函数”，从而正弦函数ysin x可以同时是无数个圆的“太极函数”，故C正确；函数yf(x)的图象是中心对称图形，则yf(x)是“太极函数”，但函数yf(x)是“太极函数”时，图象不一定是中心对称图形，如图2所示，故D错误二、填空题14.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90榫卯起来，如图，若正四棱柱体的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为_(容器壁的厚度忽略不计)解析：表面积最小的球形容器可以看成长、宽、高分别为1、2、6的长方体的外接球设其半径为R，(2R)2622212，解得R2，所以该球形容器的表面积的最小值为4R241.答案：4115九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中“勾股”章讲述了“勾股定理”及一些应用直角三角形的三条边分别称为“勾”“股”“弦”设F1，F2分别是椭圆y21的左、右焦点，P是第一象限内该椭圆上的一点，若线段PF2，PF1分别是RtF1PF2的“勾”“股”，则点P的横坐标为_解析：由题意知半焦距c，又PF1PF2，故点P在圆x2y23上，设P(x，y)，联立，得得P.故点P的横坐标为.答案：16公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了黄金分割，其比值约为0618，这一数值也可以表示为m2sin 18，若m2n4，则_解析：由题设n4m244sin2184(1sin218)4cos218，2.答案：217(2019高考全国卷)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体