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用公式法进行因式分解典型例题例题1 判断下列各式能否用完全平方公式分解因式,为什么?(1); (2);(3);(4).例题2 把下列各式分解因式:;.例题3 分解因式:(1);(2);(3);(4).例题4 若是完全平方式,求的值.例题5 已知,求的值.例题6 已知,求的值.例题7 用几何图形的面积来说明例题8 能否利用因式分解说明:当n是整数时,两个连续奇数的平方差一定是8的倍数参考答案例题1 分析 可否用公式,就要看所给多项式是否具备公式的特点.此题,即看是否是三项式,又看是否可凑成的形式,可以按“先两头,后中间”的步骤进行,即先看首末两项是否同号且能写成、的形式,再看中间项能否写成的形式.解答 (1),能用完全平方公式分解(2),不能用完全平方公式分解(3),但与符号不同,不能用完全平方公式分解因式(4)先将多项式整理为:,能用完全平方公式分解因式.例题2 解法 (提取负号)(交换形式,保持项的一致,注意符号)(添加括号,避免出错)(能合并同类项的要合并)(能分解的要继续分解)(先提公因式)(分解要彻底)说明 解题前需先分析多项式特点,针对特点选择公式.另外在因式分解时还应注意:分解因式时,首先考虑有无公因式可提,当有公因式时,先提取,再进一步分解.分解因式必须进行彻底,如式,提公因式后,再运用完全平方公式分解,直至每个因式都不能再分解为止.例题3 分析 从表面看,上面四个多项式都不能直接套公式,但可以根据题目结构特点,把每一个多项式整理成公式原型的形式,再观察、分别相当于题目中的哪些量,从而可以顺利套用公式.解答 (1)(2)(3)(4)(把看作,把1看作,仍要继续分解,不可忽略) 例题4 分析 根据完全平方公式求待定系数解答 此多项式是完全平方式,当时,;当时,.说明 熟练公式中的、两量便可自如求解.例题5 分析 将所求的代数式变形,使之成为的表达式,然后整体代入求值.解答 ,原式例题6 分析 这类问题一般不适合通过解方程组求出、的值再代入计算,巧妙的方法是先对所求的代数式进行因式分解,使之转化为关于与的式子,再整体代入求值.解答 ,.说明 通过因式分解实现转化.例题7 分析 因为正方形的面积是边长的平方,所以我们把和分别看成是边长为a和b的两个正方形的面积(),故可用正方形的面积来说明这个等式解答 如图,大正方形的边长为a,小正方形的边长为b,所以图形中实线就表示了的面积,再把右边的矩形拼到左边矩形的顶上,就构成了一个长为,宽为的长方形,因此面积为故说明 本题我们找到平方差公式的一个几何图形,这是我们研究数学问题常用的方法数形结合例题8 解答 设两个连续的奇数为,则 当n是整数时是8的倍数,即当n是整数时,两个连续
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