高考数学 问题2.6 导数在研究不等式中的创新应用提分练习.doc

2.6导数在研究不等式中的创新应用一、考情分析在高中新课标中,导数在数学各类问题以及各个学科和许多领域中有着非常广泛的应用. 导数已成为研究函数性质的一种重要工具,例如求函数的单调区间、求最大（小）值、求函数的值域等等.在新课程背景下,不等式内容已大幅度降低要求,压轴题中出现不等式内容,一般情况都需要转化为函数,利用函数的性质,通过求导,利用单调性求出极值、最值,因此,很多时侯可以利用导数作为工具研究函数性质,从而解决不等式问题.下面具体讨论导数在解决与不等式有关的问题时的作用.二、经验分享1.研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为0的点和函数的间断点2.根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a,b)都有f(x)0且在(a,b)内的任一非空子区间上f(x)不恒为零,应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题3.利用导数研究含参数函数的单调性问题,常化为不等式恒成立问题,注意分类讨论与数形结合思想的应用；函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理三、知识拓展1若函数f(x)在定义域a上存在最大值与最小值,则(1)对任意xa,f(x)0f(x)min0；(2)存在xa,f(x)0f(x)max0.2.利用导数解不等式的思路(1)已知一个含f(x)的不等式,可得到和f(x)有关的函数的单调性,然后可利用函数单调性解不等式(2)利用导数证明不等式的方法证明f(x)g(x),x(a,b),可以构造函数f(x)f(x)g(x),如果f(x)0,则f(x)在(a,b)上是减函数,同时若f(a)0,由减函数的定义可知,x(a,b)时,有f(x)0,即证明了f(x)g(x)(3)利用导数解决不等式的恒成立问题的策略首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题四、题型分析(一) 利用导数证明不等式利用导数研究函数单调性来证明不等式 我们知道函数在某个区间上的导数值大于(或小于)0时,该函数在该区间上单调递增(或递减).因而在证明不等式时,根据不等式的特点,有时可以构造函数,用导数证明该函数的单调性,然后再用函数单调性达到证明不等式的目的,即把证明不等式转化为证明函数的单调性.常见的有如下几种形式：直接构造函数,然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增（减）区间,自变量越大,函数值越大（小）,来证明不等式成立.有时先把不等式变形后再构造函数,然后利用导数证明该函数的单调性,达到证明不等式的目的.【例1】【2017江西省抚州市七校高三上学期联考】已知函数,其中（1）若曲线在点处的切线与直线平行,求的方程；（2）若,函数在上为增函数,求证：【分析】（1）求导数,利用导数的几何意义求曲线在点处的切线方程的斜率与相等,可求出,进而可求的方程；（2）由函数为增函数得对恒成立,即对恒成立,即对恒成立,设,利用导数判断的单调性,得结果得证.（2）由题意可得对恒成立,即对恒成立,即对恒成立,设,则,在上递增,又,【点评】证明不等式f(x)g(x),可构造函数f(x)f(x)g(x),利用导数求f(x)的值域,得到f(x)f(x) (或me,即a1e；又a10,a1,实数a的取值范围是(1e,1.故选b.2【2018届】广东省五校高三12月联考】已知函数,若有且只有两个整数, 使得,且,则的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】由题意可知, ,即, ,设,由,可知,在上为减函数,在上为增函数, 的图象恒过点,在同一坐标系中作出的图象如下：若有且只有两个整数,使得,且,则,即,解得,故选c.3【2018届重庆市高三11月月考】已知可导函数的导函数为, ,若对任意的,都有,则不等式的解集为（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】令因此 ,选a.4【2018届陕西省西安高三上学期期中考试】已知函数,若对于任意的,都有成立,则实数的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】a5.【2017山西临汾一中等五校高三第三联考】设函数,若不等式在上有解,则实数的最小值为（ ）a b c d【答案】c【解析】,令,故当时,当时,故在上是减函数,在上是增函数；故；则实数的最小值为故选c6.【2017河北省武邑中学高三上学期第三次调研考试】已知是定义在上的偶函数,其导函数为,若 ,且,则不等式的解集为（ ）a b c. d【答案】a【解析】可取特殊函数,故选a.7.【2017四川省资阳市高三上学期第一次诊断考试】已知是定义在区间上的函数,其导函数为,且不等式恒成立,则（ ）a b c d 【答案】b【解析】设函数,则,所以函数在为减函数,所以,即,所以,故选b【技巧点睛】对于已知不等式中既有又有,一般不能直接确定的正负,即不能确定的单调性,这时要求我们构造一个新函数,以便利用已知不等式判断其导数的的正负,常见的构造新函数有,等等8【2017山西省孝义市高三上学期二轮模考】设函数在内有定义,对于给定的正数,定义函数：,取函数,若对任意的,恒有,则（ ）a的最大值为2 b的最小值为2 c. 的最大值为1 d的最小值为1【答案】d【解析】由题意,得,易知,当时,；当时,所以在时,取得极大值,也是最大值由的定义,知当时,恒成立,因此的最小值为1,故选d9. 【2017山西省孝义市高三上学期二轮模考】已知函数,若存在,使得,则实数的取值范围是（ ）a b c. d【答案】c【解析】由题意,得,则若存在,使得,则,所以设,则,当时,；当时,所以在上单调递减,在上单调递增,所以当,函数取最大值,最大值为,所以,故选c10.【2017重庆八中高三上学期二调】函数的导函数为,对,都有成立,若,则不等式的解是（ ）abcd【答案】a【解析】,都有成立,于是有,令,则有在上单调递增,不等式,故选：a11.【2017河北沧州一中高三11月月考】已知,直线与函数的图象在处相切,设.若在区间上,不等式恒成立,则实数（ ）a有最大值 b有最大值 c.有最小值 d有最小值【答案】a12.【2017河北武邑中学高三四调】已知定义在上的奇函数满足,则不等式的解集为（ ）abcd【答案】a【解析】由题意可知：设,求导,由,即,由函数的单调性可知：恒成立,恒成立,在单调递减,由为奇函数,则,由,即,由函数的单调递减,不等式的解集,故选a.13.【2017四川自贡普高一诊】设函数,其中,若有且只有一个整数使得,则的取值范围是（ ）a b c. d【答案】d14. 【2017中原名校高三上学期第三次质量考评】已知函数的定义域为,为函数的导函数,当时,且,.则下列说法一定正确的是（ ）a bc. d【答案】b【解析】令,则.因为当时,即,所以,所以在上单调递增.又,所以,所以,故为奇函数,所以在上单调递增,所以.即,故选b.15【2018届江苏省徐州高三第一学期期中】已知函数,若存在,使,则实数的取值范围是_【答案】【解析】由三次函数图像可知只需 实数的取值范围是16.【2018届四川省成都高三上学期一诊模拟】设函数对任意不等式恒成立,则正数的取值范围是_【答案】【解析】对任意,不等式恒成立,则等价为恒成立, ,当且仅当,即时取等号,即的最小值是,由,则,由得,此时函数为增函数,由得,此时函数为减函数,即当时, 取得极大值同时也是最大值,则的最大值为,则由,得,即,则,故答案为.17【2017湖北荆州高三上学期第一次质量检测】 已知函数,其中,若存在唯一的整数,使得, 则的取值范围是_.（为自然对数的底数）【答案】【解析】设,由题设存在唯一的整数使得在直线的下方.因,故当时, ,函数单调递减；当时, ,函数单调递增.所以当时,函数取最小值,而,且直线恒过点,故由题设须满足,即.故应填答案.18已知,若,使得成立,则实数a的取值范围是_【答案】【解析】,使得成立,等价于,当时,递减,当时,递增,当时,取得最小值,；当时,取得最大值为,即实数a的取值范围是19.【2017宁夏育才中学高三上学期第二次月】已知函数,其中（）若在区间上为增函数,求的取值范围；（）当时,证明：；（）当时,试判断方程是否有实数解,并说明理由【答案】（）；（）证明见解析；（）没有实数解 【解析】函数定义域, （）因为在区间上为增函数,所以在上恒成立,即,在上恒成立,则 （）由（）知, , 所以设所以令,得令,得,所以函数在单调递增,令,得,所以函数在单调递减；所以, 即所以 ,即所以,方程没有实数解20. 【2017江西省抚州市七校高三上学期联考】记表示,中的最大值,如已知函数,（1）设,求函数在上零点的个数；（2）试探讨是否存在实数,使得对恒成立？若存在,求的取值范围；若不存在,说明理由【答案】（1）个；（2）存在,.（2）假设存在实数,使得对恒成立,则对恒成立,即对恒成立,（i）设,令,得,递增；令,得,递减当,即时,故当时,对恒成立当,即时,在上递减,故当时,对恒成立（ii）若对恒成立,则,由（i）及（ii）得,故存在实数,使得对恒成立,且的取值范围为21.【2018届湖北省稳派教育高三上学期第二次联考】已知函数 (其中e是自然对数的底数,kr)(1)讨论函数的单调性；(2)当函数有两个零点时,证明： 【解析】（1）解：.当时,令,解得,当时,单调递减；当时,单调递增.当时,恒成立,函数在r上单调递增. 综上,当时,在上单调递减,在上单调递增.当时,在r上单调递增.（2）证明：当时,由（1）知函数单调递增,不存在两个零点.