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用何种方法计算日常生活总不规则物体的体积 201001222段利媛 201001224胡潘琳 我们从书本上学习的公式只能帮助我们计算出规则形体的体积或面积，但实际生活中，我们经常打交道的却是一些形形色色的不规则的物体，例如：一个鸡蛋，一个苹果，一个瘪了的乒乓球等等，工作和生活中用到他们时我们往往需要知道它们的面积或体积等的大小，但书本上的公式这时就显得无力了，怎样计算出这些不规则物体的体积？下面，给大家介绍几种测不规则物体体积的方法，学会计算这些不规则物体的体积对我们的工作和学习都有很大用处！日常生活中，许多物体整体看似是一个不规则的物体，如我们经常引用的矿泉水，如果让你计算出这一瓶矿泉水的体积是多少，在假设水瓶中装满了水的前提下，而又不能将水倒出来时，我们怎么算呢？仔细观察装水的瓶子，其实它是由几部分规则形体组合而成的，我们就可以先将其分割来看，一个个求出组成它的规则部分的体积，再将其加起来，就是我们要求的问题的结果了。这就是“分割”的思想。利用这种思想可以很容易的求出许多类似物体的体积或面积，下面就提到的如何求喝水的瓶子 的体积，做一下简单的介绍。我们可将其近似看成是两个圆柱体加上一个圆台的组合，设经过测量，大圆柱底面半径为A,高为H，小圆柱底面半径为a，高h，圆台的高为L则其体积为V大+V小+V台=A*A*H +h(A*AA*aa*a)/3+a*a*h 当然，如果需要计算的物体只是一个没有什么厚度的容器，我们还有更为简单的方法，那就是将容器装满水，然后再将水倒入规则的矩形水缸，通过简单的计算即可近似计算出不规则容器的体积。二、相信大家都听过乌鸦喝水的故事，我们都感慨乌鸦很聪明，乌鸦把小石子投进水瓶里，小石子就占了一定空间，水面就上升了，于是乌鸦就能都喝到水了。小石子就是日常生活中常见的不规则物体。其实，一个小石子所占的空间，就是它的体积。而要求的小石子的体积，就是小石子排开水的体积。还有阿基米德关于浮力的故事，也传为经典。相传叙拉古赫农王让工匠替他做了一顶纯金的王冠，做好后，国王疑心工匠在金冠中掺了假，但这顶金冠确与当初交给金匠的纯金一样重，到底工匠有没有捣鬼呢？既想检验真假，又不能破坏王冠，这个问题不仅难倒了国王，也使诸大臣们面面相觑。后来，国王请阿基米德来检验。最初，阿基米德也是冥思苦想而不得要领。一天，他去澡堂洗澡，当他坐进澡盆里时，看到水往外溢，同时感到身体被轻轻拖起。他突然悟到可以用测定固体在水中排水量的办法，来确定金冠的比重。他兴奋地跳出澡盆，连衣服都顾不得跑了出去，大声喊着“Fureka，！Fureka，！”。(意思是“我知道了”)。 他经过了进一步的实验以后来到王宫，他把王冠和同等重量的纯金放在盛满水的两个盆里，比较两盆溢出来的水，发现放王冠的盆里溢出来的水比另一盆多。这就说明王冠的体积比相同重量的纯金的体积大，所以证明了王冠里掺进了其他金属。这次试验的意义远远大过查出金匠欺骗国王，阿基米德从中发现了浮力定律：物体在液体中所获得的浮力，等于他所排出液体的重量。例：求鸡蛋的体积。先找来一个圆柱形的杯子，盛上大半杯水，用尺子测出水面的高度是10厘米。然后将鸡蛋放入杯子里，再测水面的高度是12.5厘米。也就是说鸡蛋放进杯子里后，水面上升了2.5厘米。利用圆柱体的体积公式：V=rh（的值通常取3.14，r代表圆的半径，h代表圆柱的高）根据圆柱体体积计算公式，杯子里水面上升2.5厘米。测量了杯子的半径是2.5厘米，则杯子底面积是：S=r=19.625平方厘米；水面上升高度为h=2.5厘米；所以鸡蛋排开水的体积是：V=rh=19.6252.549立方厘米也就是说这只鸡蛋的体积大约是49立方厘米。但是误差总是存在，所以若想所求体积更加精确，可多次测量求取平均值，数据如下：物体名称物体的体积（单位：立方厘米）测量方法第一次第二次第三次平均值鸡蛋一枚491471481481数据测量多次求平均值当然，若是有量筒，并且所测物体较小，可将物体放入(完全淹没)装满水的容器，容器放在长方体的盒子里，用量筒测量溢出水的体积即可。经过大学将近一年大学的学习，我们学习了重积分，其中二重积分和三重积分都可应用于体积的计算。二重积分的几何意义是，如果，则二重积分是以曲面为顶面，以为底面的曲顶柱体的体积。特别地，当时，平顶柱体的体积，在数值上等于区域的面积，于是得计算平面区域的面积公式。二重积分的概念： 曲顶柱体的体积 设有一立体, 它的底是xOy面上的闭区域D, 它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面, 它的顶是曲面z=f(x, y), 这里f(x, y)0且在D上连续. 这种立体叫做曲顶柱体. 现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积. 首先, 用一组曲线网把D分成n个小区域 Ds 1, Ds 2, , Ds n . 分别以这些小闭区域的边界曲线为准线, 作母线平行于z轴的柱面, 这些柱面把原来的曲顶柱体分为n个细曲顶柱体. 在每个Ds i中任取一点(x i , h i), 以f (x i , h i)为高而底为Ds i的平顶柱体的体积为 f (x i , h i) Dsi (i=1, 2, , n ). 这个平顶柱体体积之和 . 可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值. 为求得曲顶柱体体积的精确值, 将分割加密, 只需取极限, 即 . 其中l是个小区域的直径中的最大值. 设有一空间立体,它的底是面上的有界区域,它的侧面是以的边界曲线为准线,而母线平行于轴的柱面,它的顶是曲面。当时,在上连续且,以后称这种立体为曲顶柱体。曲顶柱体的体积可以这样来计算:用任意一组曲线网将区域分成个小区域,以这些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体分划成个小曲顶柱体。（假设所对应的小曲顶柱体为,这里既代表第个小区域,又表示它的面积值,既代表第个小曲顶柱体,又代表它的体积值。)从而由于连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。因此,可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是整个曲顶柱体的体积近似值为为得到的精值,只需让这个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩。为此,我们引入区域直径的概念:一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零。设个小区域直径中的最大者为,则例如是一块普通的水晶石，假想为其构建一个空间直角坐标系，即可将此石头看成由平面x=0,y=0,x=1，y=1所围成的柱体被平面z=0及2x+3y+z=6截得的立体的体积。解：然后再按照其具体比例进行计算，即为此晶体的体积。、三重积分。在直角坐标系中，如果用平行于坐标面的平面来划分W，则Dvi D=xi DyiDzi 因此在直角坐标系中有时也把体积元素 dv 记作 dxdydz，而把三重积分记作其中 dxdydz 叫做直角坐标系中的体积元素。 其中 v 表示区域 W 的体积。三重积分的概念：设f (x，y，z)是空间有界闭区域 W上的有界函数将 W 任意分成 n 个小闭区域Dv1，Dv2， ，Dvn ，其中Dvi表示第 i 个小闭区域，也表示它的体积在每个Dvi上任取一点(xi，hi，zi)，作乘积f(x i，h i，z i) Dvi（i=1，2，n)并作和如果当各小闭区域的直径中的最大值l趋于零时， 这和的极限总存在， 则称此极限为函数f (x，y，z)在闭区域 W上的三重积分， 例如，平时生活中的冰欺凌，相信所有人都吃过，可以近似成一个球面和一个锥面围成的立体图形，我们也可以根据球面坐标的三重积分估算出冰欺凌的体积。大概测得球面半径为a，内锥面的半顶角为。建立坐标系，形如设球面通过原点O，球心在z轴上，又内接锥面所围成的立体的体积。 解 设球面通过原点O，球心在z轴上，又内接锥面的顶点在原点O，其轴与z轴重合，则球面方程为r=2acos，锥面方程为=。因为立体所占有的空间闭区域可用不等式 来表示，所以通常，在医学上，常常需要计算不规则物体的体积，其多利用一些高级的计算机软件进行自动处理。例如计算肝脏的体积时，采用螺旋 CT对 2 80例正常人进行了腹部扫描。通过计算机计算出每一层的体积 ,再用叠加法求出整个肝脏体积。使用直线相关和回归的方法研究正常人群肝脏体积与身高、体重、体表面积、年龄的关系 ,求出相应的相关系数、回归方程。结果 :正常成年人肝脏的平均积为 1 2 50 .2 1 41 .0 cm3 ,其与体表面积、身高、体重呈正相关 ,相关系数分别为 0 .96、0 .90、0 .79。年龄、性别对成人肝脏体积大小的影响无显著性。由体表面积推导正常人群标准肝脏体积公式为