高考数学一轮复习专题10.11定值问题练习（含解析）.docx

第十一讲 定值问题【套路秘籍】-千里之行始于足下一定值问题，是指虽然圆锥曲线中的某些要素（通常可通过变量进行体现）有所变化，但在变化过程中，某个量的值保持不变即为定值.二、常见定值问题的处理方法：（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数.三、定值问题的处理技巧：（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向.（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢（3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算【修炼套路】-为君聊赋今日诗，努力请从今日始考向一 特殊探究，一般证明【例1】过抛物线yax2（a0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则+等于（）A2aBC4aD【答案】C【解析】方法一：特殊探究，一般证明令过焦点F直线与x轴垂直，则直线的方程为，所以图1方法二：直接推理求值如图所示：与抛物线联立， 【举一反三】1.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率e=22，且椭圆过点(2,1).（1）求椭圆C的标准方程.（2）设直线l与C交于M，N两点，点D在C上，O是坐标原点，若OM+ON=OD，判定四边形OMDN的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.【答案】(1) x24+y22=1 (2)见解析【解析】（1）因为椭圆C的离心率e=22，所以a2-b2a=22，即a2=2b2.因为点(2,1)在椭圆C上，所以2a2+1b2=1.由a2=2b22a2+1b2=1，解得a2=4b2=2.所以椭圆C的标准方程为x24+y22=1.（2）当直线l的斜率不存在时，直线MN的方程为x=-1或x=1，此时四边形OMDN的面积为6.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程是y=kx+m，联立方程组y=kx+mx24+y22=1，消去y，得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-4=0，=8(4k2+2-m2)0，x1+x2=-4km1+2k2，x1x2=2m2-41+2k2，y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m1+2k2.MN=1+k2224k2+2-m21+2k2，点O到直线MN的距离是d=m1+k2.由OM+ON=OD，得xD=-4km1+2k2，yD=2m1+2k2.因为点D在曲线C上，所以有(-4km1+2k2)24+(2m1+2k2)22=1，整理得1+2k2=2m2.由题意，四边形OMDN为平行四边形，所以四边形OMDN的面积为SOMDN=MNd=1+k2224k2+2-m21+2k2m1+k2=22m4k2+2-m21+2k2.由1+2k2=2m2，得SOMDN=6，故四边形OMDN的面积是定值，其定值为6.2已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点F与抛物线y=4x的焦点重合，且椭圆的离心率为12（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆E右焦点F的直线l与椭圆交于两点A、B，在x轴上是否存在点M，使得MAMB为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）x24+y23=1（2）存在点M(118,0)，使得MAMB=-13564【解析】（）抛物线y2=4x的焦点为(1,0)，F(1,0)，c=1，又因为椭圆的离心率为12，即ca=12，a=2，a2=4，则b2=a2-c2=3，因此，椭圆的方程为x24+y23=1；（）假设存在点M(x0,0)，使得MAMB为定值当直线l的斜率不为零时，可设直线l的方程为x=my+1，联立x24+y23=1x=my+1，得(3m2+4)y2+6my-9=0，设A(x1,y1)、B(x2,y2)，由韦达定理可得y1+y2=-6m3m2+4，y1y2=-93m2+4，MA=(x1-x0,y1)、MB=(x2-x0,y2)，MAMB=(x1-x0)(x2-x0)+y1y2=(m2+1)y1y2+(1-x0)m(y1+y2)+(1-x0)2=-9(m2+1)3m2+4-6mm(1-x0)3m2+4+(1-x0)2=(6x0-15)m2-93m2+4+(1-x0)2，要使上式为定值，即与m无关，应有6x0-153=-94，解得x0=118，此时，MAMB=-13564.当直线l的斜率为零时，不妨设A(-2,0)、B(2,0)，当点M的坐标为(118,0)时，MAMB=-13564综上所述，存在点M(118,0)，使得MAMB=-13564考向二 直接推理求值【例2】已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0）经过点(3，12)，且离心率为32（）求椭圆C的方程；（）已知A（0，b），B（a，0），点P是椭圆C上位于第三象限的动点，直线AP、BP分别将x轴、y轴于点M、N，求证：|AN|BM|为定值【答案】(1)x24+y2=1(2)见解析.【解析】（1）由题意可得：3a2+14b2=1，ca=32，a2=b2+c2，联立解得：a=2，b=1椭圆C的方程为：x24+y2=1（2）证明：设P（x0，y0），（x00，y00）A（2，0），B（0，1）x02+4y02=4可得直线BP，AP的方程分别为：y=y0-1x0x+1，y=y0x0-2（x-2），可得：M（x02-y0，0），N（0，2y02-x0）|AM|BN|=（2-x02-y0）（1-2y02-x0）=2-4y02-x0-x02-y0+2x0y0(2-y0)(2-x0)=4-4x0-8y0+4x0y0+x02+4y022-2y0-x0+x0y04(2-2y0-x0+x0y0)2-2y0-x0+x0y0=4为定值【举一反三】1已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为63，椭圆C2：x23a2+y23b2=1(ab0)经过点(32,32).（1）求椭圆C1的标准方程；（2）设点M是椭圆C1上的任意一点，射线MO与椭圆C2交于点N，过点M的直线l与椭圆C1有且只有一个公共点，直线l与椭圆C2交于A，B两个相异点，证明：NAB面积为定值.【答案】（1）x2+y213=1； （2）见解析.【解析】（1）因为C1的离心率为63，所以69=1-b2a2，解得a2=3b2.将点(32,32)代入x23a2+y23b2=1，整理得14a2+14b2=1.联立，得a2=1，b2=13，故椭圆C1的标准方程为x2+y213=1.（2）证明：当直线l的斜率不存在时，点M为(1,0)或(-1,0)，由对称性不妨取M(1,0)，由（1）知椭圆C2的方程为x23+y2=1，所以有N(-3,0).将x=1代入椭圆C2的方程得y=63，所以SNAB=12MNAB=12(3+1)263=2+63.当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，将y=kx+m代入椭圆C1的方程得(1+3k2)x2+6kmx+3m2-1=0，由题意得=(6km)2-4(1+3k2)(3m2-1)=0，整理得3m2=1+3k2.将y=kx+m代入椭圆C2的方程，得(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0.设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=-6km1+3k2，x1x2=3m2-31+3k2，所以AB=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+k2233k2+1-m23k2+1=261+k23m.设M(x0,y0)，N(x3,y3)，ON=MO，则可得x3=-x0，y3=-y0.因为x02+3y02=1x323+y32=1，所以x02+3y02=12(x023+y02)=1，解得=3（=-3舍去），所以ON=3MO，从而NM=(3+1)OM.又因为点O到直线l的距离为d=m1+k2，所以点N到直线l的距离为(3+1)d=(3+1)m1+k2，所以SNAB=12(3+1)dAB=12(3+1)m1+k2261+k23m=2+63，综上，NAB的面积为定值2+63.2已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，F为椭圆C的右焦点，过F的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，当直线l垂直于x轴时，四边形APBQ的面积为6（）求椭圆C的方程；（）若直线l的斜率为k(k0)，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M，求证：|MF|PQ|为定值【答案】（）x24+y23=1；（）见解析.【解析】（）由：x2a2+y2b2=1，令x=c可得y=b2a，则|PQ|=2b2a，则S四边形APBQ=12|AB|PQ|=122a2b2a=2b2=6，可得b2=3e=ca=12，a=2c，a2=b2+c2，a2=4椭圆C的方程为x24+y23=1证明：（）由题意可知F(1,0)，直线l的方程为y=k（x-1），由x24+y23=1y=k(x-1)，可得4k2+3x2-8k2x+4k2-12=0设Px1,y1，Qx2,y2，x1+x2=8k24k2+3，x1x2=4k2-124k2+3，y1+y2=kx1+x2-2k=-6k4k2+3，设PQ的中点为N，则N4k24k2+3,-3k4k2+3，则MN的过程为y+3k4k2+3=-1kx-4k24k2+3，令y=0，可得Mk24k2+3,0，|MF|=3k2+14k2+3，|PQ|=1+k2x1+x22-4x1x2=1+k28k24k2+32-44k2-124k2+3=12k2+14k2+3，|MF|PQ|=14为定值考向三 问题转化【例3】已知定点F1,0，横坐标不小于0的动点在y轴上的射影为H，若TF=TH+1.（1）求动点T的轨迹C的方程；（2）若点P4,4不在直l:y=kx+m线上，并且直线l与曲线C相交于A,B两个不同点.问是否存在常数k使得当m的值变化时，直线PA,PB斜率之和是一个定值.若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）y2=4x（2）见解析【解析】（1）设点T在直线x=-1上的射影是R，则由于T的横坐标不小于0，所以TR=TH+1，又TF=TH+1所以TF=TR即点T到F1,0的距离与T到直线x=-1的距离相等，所以T的轨迹是以F1,0为焦点，以x=-1为准线的抛物线.即C的方程是y2=4x（2）由于A,B在曲线C:y2=4x上，可设Aa24,a,Bb24,b，则PA的斜率k1=a-4a24-4=4a+4,PB的斜率k2=b-4b24-4=4b+4所以k1+k2=4a+4+4b+4=4a+b+8ab+4a+b+16又曲线C与直线l相交于A,B两点，所以k0，于是联立方程，得y2=4xy=kx+mky2-4y+4m=0，所以a+b=4k,ab=4mk.k1+k2=4a+b+8ab+4a+b+16=44k+84mk+44k+16=8k+44k+m+4=1-m4k+m+4，此式随着m的变化，值也在变化，所以不存在k值满足题意.【举一反三】1.在直角坐标系xOy中，抛物线C：x2=6y与直线l：y=kx+3交于M，N两点.（1）设M，N到y轴的距离分别为d1，d2，证明：d1与d2的乘积为定值.（2）y轴上是否存在点P，当k变化时，总有OPM=OPN？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）存在, P(0,-3)【解析】（1）证明：将y=kx+3代入x2=6y，得x2-6kx-18=0.设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则x1x2=-18，从而d1d2=|x1|x2|=|x1x2|=18为定值.（2）解：存在符合题意的点，证明如下：设P(0,b)为符合题意的点，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.从而k1+k2=y1-bx1+y2-bx2=2kx1x2+(3-b)(x1+x2)x1x2=-36k+6k(3-b)x1x2.当b=-3时，有k1+k2=0对任意k恒成立，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故OPM=OPN，所以点P(0,-3)符合题意.【运用套路】-纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行1已知抛物线C:x2=2pyp0,直线l经过抛物线C的焦点，且垂直于抛物线的对称轴，l与抛物线两交点间的距离为4.(1)求抛物线C的方程；(2)已知P2,1，过(-2,0)的直线m与抛物线C相交于A,B两点，设直线PA与PB的斜率分别为k1和k2，求证：k1k2为定值，并求出定值.【答案】（1）x2=4y；（2）14.【解析】（1）由题意得抛物线C:x2=2pyp0的焦点为F(0,p2)，过焦点与对称轴垂直的直线为y=p2，直线y=p2与抛物线的两个交点为(-p,p2),(p,p2)，由题意得2p=4，抛物线C的方程为x2=4y（2）由题意直线m的斜率存在，设其方程为y=k(x+2)，由y=kx+2x2=4y消去y整理得x2-4kx-8k=0，直线m与抛物线交于两点，=16k2+32k0，解得k0 设Ax1,y1,Bx2,y2，则x1+x2=4k,x1x2=-8kk1k2=y1-1x1-2y2-1x2-2=x124-1x1-2x224-1x2-2=x1+2x2+216=x1x2+2x1+x2+416=14k1k2为定值，且定值为142已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别是F1，F，其离心率为12，点P是椭圆C上任一点，且PF1F2面积的最大值为3.（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率不为0的直线与椭圆C相交于M，N两个不同点，且OMPN是平行四边形，证明：四边形OMPN的面积为定值.【答案】（1）x24+y23=1；（2）3【解析】（1）由题意得ca=12,122bc=3,a2=b2+c2,c=1,b=3,a=2,椭圆C的方程为x24+y23=1；（2）设直线MN的方程为y=kx+m(k0)，Mx1,y1，Nx2,y2，Px0,y0由y=kx+mx24+y23=1，得3+4k2x2+8kmx+4m2-3=0，x1+x2=-8km3+4k2，x1x2=4m2-33+4k2OMPN是平行四边形，OP=OM+ON，x0=x1+x2=-8km3+4k2，y0=y1+y2=kx1+x2+2m=6m3+4k2，64k2m243+4k22+36m233+4k22=1，4m2=3+4k2，此时=(8km)2-163+4k2m2-3=483m20，x1+x2=-2km，x1x2=1-3m2，|MN|=1+k2x1-x2=1+k2x1+x22-4x1x2=31+k2|m|，点O到直线MN的距离为d=|m|1+k2，SOMPN=d|MN|=3.3已知抛物线的顶点为原点，关于y轴对称，且过点N(-1,12).（1）求抛物线的方程；（2）已知C(0,-2)，若直线y=kx+2与抛物线交于A，B两点，记直线CA，CB的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2+k2为定值【答案】（1）x2=2y（2）见证明【解析】（1）设抛物线为x2=2py(p0)，将N(-1,12)代入得p=1，则抛物线E的方程为x2=2y；（2）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由x2=2yy=kx+2得x2-2kx-4=0，则x1+x2=2k，x1x2=-4，=4k2+160，k1k2=y1+2x1y2+2x2=kx1+2+2x1kx2+2+2x2=(k+4x1)(k+4x2)=k2+4k(1x1+1x2)+16x1x2=k2+4k(x1+x2)+16x1x2=k2+8k2+16-4=-k2-4，k1k2+k2=-4.所以k1k2+k2为定值4已知在平面直角坐标系中，坐标原点为O，点A(-3p,0)(p0)，B、C两点分别在y轴和x轴上运动，并且满足ABBQ=0，BC=12CQ，动点Q的轨迹为曲线M.（1）求动点Q的轨迹方程；（2）作曲线M的任意一条切线（不含y轴）l，直线x=-2p与切线l相交于E点，直线x=2p与切线l、x轴分别相交于F点与D点，试探究DE2-DF2OD2的值是否为定值，若为定值请求出该定值；若不为定值请说明理由.【答案】（1）y2=4px(p0)（2）2【解析】（1）设Q(x,y)，B(0,y0)，C(x0,0)，则BC=(x0,-y0)，CQ=(x-x0,y)，BC=12CQ，(x0,-y0)=12(x-x0,y)，x0=x3，y0=-y2，BQ=x,3y2，AB=3p,-y2，又ABBQ=0，y2=4px(p0)，Q点的轨迹方程为y2=4px(p0).（2）DE2-DF2OD2的值为定值2.求解如下：由题可知切线l的斜率存在，设切线l的方程为y=kx+b，代入y2=4px可得k2x2+(2kb-4p)x+b2=0，由=0可得kb=p.由题设及直线l方程易得E(-2p,b-2kp)，F(2p,b+2kp)，D(2p,0)，DE2-DF2=(4p)2+(b-2kp)2-(b+2kp)2=16p2-8kpb.又kb=p，DE2-DF2=16p2-8p2=8p2，DE2-DF2OD2=8p2(2p)2=2为定值.5已知O为坐标原点，椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12，直线l：y=kx+t交椭圆于A，B两点，OM=OA+OB，且点M在椭圆C上，当k=12时，t=1.（1）求椭圆方程；（2）试探究四边形OAMB的面积是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）x24+y23=1（2）见解析【解析】（1）由ca=12a2=4c2，b2=3c2，故椭圆方程可化为3x2+4y2=12c2，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则3x12+4y12=12c2，3x22+4y22=12c2，两式相减整理得34+y1-y2x1-x2y1+y2x1+x2=0，当k=12时，34+12kOM=0，解得kOM=-32，将y=12x+1与y=-32x联立，解得OM中点坐标为-12,34，故M-1,32代入椭圆C方程，整理得3(-1)2+4322=12c2，解得c2=1，故椭圆C的方程为x24+y23=1.（2）设AB中点为(x1,y1)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，把y=kx+t代入椭圆C，整理得(3+4k2)x2+8ktx+4t2-12=0，=48(4k2-t2+3)0，x1+x2=-8kt4k2+3，x1x2=4t2-124k2+3，所以x0=-4kt3+4k2，y0=kx0+t=3t3+4k2.设M(xM,yM)，则xM=2x0=-8kt3+4k2，yM=2y0=6t3+4k2，代入椭圆C，得364k2t2(3+4k2)2+436t2(3+4k2)2=124t2=3+4k2，y1-y2=k(x1-x2)=k16(9+12k2-3t2)3+4k2.当k0时，设y=kx+t交x轴于点P，则xP=-tk.SAOB=12xPy1-y2=12tkk16(9+12k2-3t2)3+4k2=123+4k24169+12k2-33+4k243+4k2=32.当k=0时，AOB的面积为32，故AOB面积为定值32.因为S四边形OAMB=2SAOB=3，所以四边形OAMB面积为定值3.6已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的一个焦点与抛物线y2=43x的焦点重合，且离心率为32.（1）求椭圆C的标准方程；（2）不过原点的直线l与椭圆C交于M，N两点，若三直线OM、l、ON的斜率与k1，k，k2点成等比数列，求直线l的斜率及|OM|2+|ON|2的值.【答案】(1) x24+y2=1 (2) k=12,OM2+ON2=5【解析】（1）依题意得c=3,ca=32a=2， 又a2-b2=3b=1 椭圆C的方程为x24+y2=1（2）设直线l的方程为y=kx+mm0，Mx1,y1,Nx2,y2由y=kx+mx24+y2=1得1+4k2x2+8kmx+4m2-1=0，x1+x2=-8km1+4k2,x1x2=4m2-11+4k2. 由题设知k2=k1k2=y1y2x1x2=kx1+mkx2+mx1x2=k2+kmx1+x2+m2x1x2，kmx1+x2+m2=0，-8k2m21+4k2+m2=0，m0，k2=14. 此时(x1+x2)2=(-8km1+4k2)2=4m2,x1x2=4m2-11+4k2=2m2-1则OM2+ON2=x12+y12+x22+y22=x12+1-x124+x22+1-x224=34(x12+x22)+2=34x1+x22-2x1x2+2=344m2-4m2-1+2=5故直线l的斜率为k=12,OM2+ON2=5.7已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，一条渐近线方程为y=43x，右焦点F(5,0)，双曲线的实轴为A1A2，P为双曲线上一点（不同于A1，A2），直线A1P，A2P分别与直线l:x=95交于M，N两点（1）求双曲线的方程（2）证明FMFN为定值【答案】（1）x29-y216=1（2）见解析.【解析】试题分析：()先设双曲线方程为:x2a2-y2b2=1,根据题意可得关于a、b的方程组,解可得答案.()根据题意,易得A1(-3,0)、A2(3,0)、F(5,0), 设P(x,y)，M95,y0,易得向量A1P=(x+3,y)，A1M=245,y0,又由共线向量的坐标运算,可得M的坐标,进而可得N的坐标,由此可得:FM,FN的坐标,即可得FMFN=25625-14425y2x2-9,结合双曲线的方程,代换可得证明.试题解析：（1）依题意可设双曲线方程为：x2a2-y2b2=1，则ba=43c=5c2=a2+b2a=3b=4，所求双曲线方程为x29-y216=1（2）A1(-3,0)、A2(3,0)、F(5,0)，设P(x,y)，M95,y0，A1P=(x+3,y)，A1M=245,y0，A1、P、M三点共线，(x+3)y0-245y=0，y0=24y5(x+3)即M95,24y5(x+3)，同理得N95,-6y5(x-3)，FM=-165,24y5(x+3)，FN=-165,-6y5(x-3)，则FMFN=25625-14425y2x2-9，x29-y216=1，y2x2-9=169FMFN=25625-14425169=25625-25625=0即FMFN=0（定值）8.如图，为椭圆的左右焦点，是椭圆的两个顶点，若点在椭圆上，则点称为点的一个“椭点”.直线与椭圆交于两点，两点的“椭点”分别为，已知以为直径的圆经过坐标原点.（1）求椭圆的标准方程；（2）试探讨的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.【答案】（1）；（2）的面积为定值1.【解析】（1）由题可得解得，故椭圆C的标准方程为.（2）设，则，.由，即.（*）当直线AB的斜率不存在时，.当直线AB的斜率存在时，设其直线为，联立得，则，同理，代入（*），整理得，此时，S=1. 综上，的面积为定值1. 9已知椭圆C:x2a2+y2b2=1ab0经过点M0,-1，长轴长是短轴长的2倍.（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l经过点N2,1且与椭圆C相交于A,B两点（异于点M），记直线MA的斜率为k1，直线MB的斜率为k2，证明：k1+k2为定值，并求出该定值.【答案】(1) x24+y2=1；（2）1。【解析】（1）由椭圆C:x2a2+y2b2=1ab0可知椭圆的焦点在x轴上，经过点M0,-1所以b=1，又因为长轴长是短轴长的2倍，所以a=2，因此椭圆的标准方程为：x24+y2=1。（2）若直线l的斜率不存在，即直线的方程为x=2，与椭圆只有一个交点，不符合题意。设直线l的斜率为k，若k=0，直线l与椭圆只有一个交点，不符合题意，故k0。所以直线l的方程为y-1=k(x-2)，即y=kx-2k+1， 直线l的方程与椭圆的标准方程联立得：x24+y2=1y=kx-2k+1消去y得，(1+4k2)x2-8k(2k-1)x+16k2-16k=0，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1+x2=8k(2k-1)1+4k2,x1x2=16k2-16k1+4k2，k1=y1+1x1,k2=y2+1x2，k1+k2=y1+1x1+y2+1x2=(y1+1)x2+(y2+1)x1x1x2=(kx1-2k+1+1)x2+(kx2-2k+1+1)x1x1x2=2kx1x2+(2-2k)x2+(2-2k)x1x1x2=2k-(2k-2)(x1+x2)x1x2把x1+x2=8k(2k-1)1+4k2,x1x2=16k2-16k1+4k2代入上式，得k1+k2=2k-(2k-2)8k(2k-1)16k2-16k=1，命题得证。10已知椭圆C：x2a2+y2b2=1ab0 离心率等于12，P2，3、Q2,-3是椭圆上的两点.（1）求椭圆C的方程；（2）A,B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点.当A,B运动时，满足APQ=BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值？如果为定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由.【答案】（1）x216+y212=1；（2）定点12【解析】）由题意可得ca=124a2+9b2=1a2=b2+c2，解得a4，b=23，c2椭圆C的方程为x216+y212=1；（）设A（x1，y1），B（x2，y2），当APQBPQ，则PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为k，直线PA的直线方程为y3k（x2），联立y=k(x-2)+3x216+y212=1，得（3+4k2）x2+8k（32k）x+4（32k）2480x1+2=8k(2k-3)3+4k2同理直线PB的直线方程为y3k（x2），可得x2+2=-8k(-2k-3)3+4k2=8k(2k+3)3+4k2x1+x2=16k2-123+4k2，x1-x2=-48k3+4k2，kAB=y1-y2x1-x2=k(x1-2)+3+k(x2-2)-3x1-x2=k(x1+x2)-4kx1-x2=k16k2-123+4k2-4k-483+4k2=12，AB的斜率为定值1211已知椭圆E:x2a2+y2b2=1ab0过点P3，32，且其中一个焦点的坐标为1，0，（1）求椭圆E的方程；（2）若直线l:x=my+1mR与椭圆交于两点A，B，在x轴上是否存在点M，使得MAMB为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1) x24+y23=1 (2)见证明【解析】（1）F1-1.0和F21,0是椭圆E:x2a2+y2b2=1ab0的两个焦点，且点P3,32在椭圆E上，依题意，c=1，又2a=3-12+322+3+12+322=1219-83+19-83=124-32+4+32=4故a=2.由b2+c2=a2得b2=3.故所求椭圆E的方程为x24+y23=1.（2）假设存在点Mx0,0，使得MAMB为定值，联立x24+y23=1x=my+1，得3m2+4y2+6my-9=0设Ax1,y1，Bx2,y2，则，y1y2=-93m2+4，MA=x1-x0,y1，MB=x2-x0,y2，MAMB=x1-x0x2-x0+y1y2=m2+1y1y2+1-x0my1+y2+1-x02=m2+1-93m2+4+1-x0m-6m3m2+4+1-x02=6x0-15m2-93m2+4+1-x02要使上式为定值，即与m无关，应有6x0-153=-94解得x0=118，此时MAMB=-13564所以，存在点M118,0使得MAMB=-13564为定值.12已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为63，椭圆C2：x23a2+y23b2=1(ab0)经过点(32,32).（1）求椭圆C1的标准方程；（2）设点M是椭圆C1上的任意一点，射线MO与椭圆C2交于点N，过点M的直线l与椭圆C1有且只有一个公共点，直线l与椭圆C2交于A，B两个相异点，证明：NAB面积为定值.【答案】（1）x2+y213=1； （2）见解析.【解析】（1）解：因为C1的离心率为63，所以69=1-b2a2，解得a2=3b2.将点(32,32)代入x23a2+y23b2=1，整理得14a2+14b2=1.联立，得a2=1，b2=13，故椭圆C1的标