高考数学一轮复习专题10.13最值问题练习（含解析）.docx

第十三讲 最值问题【套路秘籍】-千里之行始于足下一圆锥曲线求最值或取值范围1.两种类型（1）涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；（2）求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题2.两种解法（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围3. 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围【修炼套路】-为君聊赋今日诗，努力请从今日始考向一 单变量最值问题转化为函数最值【例1】已知圆x2y21过椭圆1(ab0)的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点，直线l：ykxm与圆x2y21相切，与椭圆1相交于A，B两点记，且.(1)求椭圆的方程；(2)求k的取值范围；(3)求OAB的面积S的取值范围【答案】（1）y21. （2）. （3）【解析】(1)由题意知2c2，所以c1.因为圆与椭圆有且只有两个公共点，从而b1，故a，所以所求椭圆方程为y21.(2)因为直线l：ykxm与圆x2y21相切，所以原点O到直线l的距离为1，即m2k21.由消去y，得(12k2)x24kmx2m220.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.x1x2y1y2(1k2)x1x2km(x1x2)m2，由，得k21，即k的取值范围是.(3)|AB| ，由k21，得|AB|.设OAB的AB边上的高为d，则S|AB|d|AB|，所以S，即OAB的面积S的取值范围是【举一反三】1已知椭圆C的左、右焦点分别为F1(1,0)，F2(1,0)，且F2到直线xy90的距离等于椭圆的短轴长(1)求椭圆C的方程；(2)若圆P的圆心为P(0，t)(t0)，且经过F1，F2，Q是椭圆C上的动点且在圆P外，过点Q作圆P的切线，切点为M，当|QM|的最大值为时，求t的值【答案】（1）1 (2)【答案】(1)设椭圆的方程为1(ab0)依题意可知，2b4，所以b2.又c1，故a2b2c25，故椭圆C的方程为1.(2)由题意，圆P的方程为x2(yt)2t21.设Q(x0，y0)，因为PMQM，所以|QM| .若4t2, 即t，当y02时，|QM|取得最大值，|QM|max，解得t(舍去)若4t2，即0t，当y04t时，|QM|取最大值，且|QM|max，解得t.综上可知，当t时，|QM|的最大值为.2已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点为F1，F2，且半焦距为1，直线l经过点F2，当l垂直于x轴时，与椭圆C交于A1，B1两点，且|A1B1|=2(1)求椭圆C的方程；(2)当直线l不与x轴垂直时，与椭圆C相交于A2，B2两点，取F2A2F2B2的取值范围【答案】（1）x22+y2=1；（2）-1,12【解析】(1)由题意可知：c=1，由椭圆的通径公式可知：|A1B1|=2b2a=2，即a=2b2，a2-b2=c2=1，解得：a=2，b=1，椭圆的标准方程：x22+y2=1；(2)由(1)可知椭圆的右焦点F2(1,0)，当直线l与x轴不重合时，设直线l方程x=my+1，A2(x1,y1)，B2(x2,y2)，联立直线与椭圆方程x=my+1x2+2y2=2，整理得：(m2+2)y2+2my-1=0，则y1+y2=-2mm2+2，y1y2=-1m2+2，x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2，x1x2=(my1+1)(my2+1)=m2y1y2+m(y1+y2)+1=2-2m2m2+2，F2A2F2B2=(x1-1,y1)(x2-1,y2)=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=-m2+1m2+2=-(1-1m2+2)=-1+1m2+2(-1,12，当直线l与x轴重合时，则A2(-2,0)，B2(2,0)，则F2A2F2B2=(-2-1,0)(2-1,0)=-1，F2A2F2B2的取值范围-1,12.3在平面直角坐标系xOy内，有一动点P到直线x=433的距离和到点(3,0)的距离比值是233.（I）求动点P的轨迹C的方程；（II）已知点A(2,0)，若P不在x轴上，过点O作线段AP的垂线l交曲线C于点D，E，求|DE|AP|的取值范围.【答案】（I）x24+y2=1；（II）12,+【解析】（I）设动点P的坐标为x,y，根据题意得x-433(x-3)2+y2=233，化简得曲线C的方程为：x24+y2=1.（II）因为P不在x轴上，故直线AP的斜率不为0，设直线AP的方程为y=k(x-2)，则直线DE的方程为y=-1kx.由y=k(x-2)x24+y2=1得1+4k2x2-16k2x+16k2-4=0.设Px0,y0，所以2+x0=16k24k2+1，即x0=8k2-24k2+1.故|AP=x0-22+y0-02=1+k2x0-22.得|AP|=41+k24k2+1.设Dx1,y1，由椭圆对称性可知|DE|=2|OD|.由y=-1kxx24+y2=1解得x12=4k24+k2，y12=44+k2，|OD|=x12+y12=21+k2k2+4，所以|DE|=41+k2k2+4.所以|DE|AP|=41+k2k2+441+k24k2+1=4k2+1k2+4.设t=k2+4，则k2=t2-4，t2.|DE|AP|=4t2-4+1t=4t2-15t(t2).令g(t)=4t2-15t(t2)，则g(t)=4t2+15t20.所以g(t)是一个增函数，所以|DE|AP|=4t2-15t44-152=12.综上，|DE|AP|的取值范围是12,+.【套路总结】求动点的轨迹方程，一般有如下几种方法：几何法：看动点是否满足一些几何性质，如圆锥曲线的定义等；动点转移：设出动点的坐标，其余的点可以前者来表示，代入后者所在的曲线方程即可得到欲求的动点轨迹方程；参数法：动点的横纵坐标都可以用某一个参数来表示，消去该参数即可动点的轨迹方程. 直线与圆锥曲线的位置关系，一般可通过联立方程组并消元得到关于x或y的一元二次方程，利用直线过已知点（在椭圆上）可求直线与椭圆的另一个交点坐标（用斜率表示），再由距离公式得到目标函数后利用换元法可求函数的值域.考向二 二元变量最值问题转化为二次函数最值【例3】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的短轴长为23，且离心率为12，圆D:x2+y2=a2+b2(1)求椭圆C的方程，(2)点P在圆D上，F为椭圆右焦点，线段PF与椭圆C相交于Q，若PF=QF，求的取值范围【答案】（1）x24+y23=1（2）7+13,53【解析】（1）由题可知2b=23e=ca=12，又a2=b2+c2，解得b=3a=2椭圆C的方程为x24+y23=1（2）由（1）知圆D:x2+y2=7D:x2+y2=7，点F坐标为1,0设Px1,y1，Qx0,y0，由PF=QF可得：1-x1,-y1=1-x0,-y0，(0)所以，由x12+y12=7可得：又y02=3-34x02，代入，消去y0，整理成关于x0的等式为：则此方程在-2,2上必须有解，=210-6若f-2=0，则=1-73（舍去）或=1+73若f2=0，则=-1-7（舍去）或=-1+7若fx=0在-2,2上有且仅有一实根则由f-2f20得：1+73b0)的右焦点为F(c,0)，点F到直线x=a2c的距离为1.（1）求椭圆E的方程；（2）若过点M(2,0)的直线与椭圆E相交于不同的A,B两点，设P为椭圆E上一点，且满足OA+OB=tOP（O为坐标原点），当|AB|253时，求实数t的取值范围.【答案】(1) x22+y2=1 (2) -2t-263或263t0，得：k212（*）x1+x2=8k21+2k2，x1x2=8k2-21+2k2AB2531+k2x1-x2=1+k2x1+x22-4x1x22531+k264k41+2k22-48k2-21+2k214，结合（*）得：14k212OA+OB=tOPx1+x2,y1+y2=tx0,y0从而x0=x1+x2t=8k2t1+2k2，y0=y1+y2t=1tkx1+x2-4k=-4kt1+2k2点P在椭圆上 8k2t1+2k22+2-4kt1+2k22=2整理得：16k2=t21+2k2即t2=8-81+2k283t24-2t-或263tb0)经过点C(0,1)，且离心率为22.（1）求椭圆N的方程；（2）若点A、B在椭圆N上，且四边形CADB是矩形，求矩形CADB的面积S的最大值.【答案】（1）x22+y2=1（2）矩形CADB面积S的最大值为329.【解析】（1）因为椭圆N:x2a2+y2b2=1(ab0)经过点C(0,1)，且离心率为22，所以b=1，ca=22，又因为a2-c2=b2，可解得c=1，a=2，焦距为2c=2.所求椭圆的方程为x22+y2=1.（2）由题意知直线AB不垂直于x轴，可设直线AB:y=kx+m，由y=kx+mx22+y=1得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0，0设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=-4km1+2k2，x1x2=2(m2-1)1+2k2又因为CA=(x1,y1-1)，CB=(x2,y2-1)，所以CACB=x1x2+(y1-1)(y2-1)=x1x2+(kx1+m-1)(kx2+m-1)=(1+k2)x1x2-k(m-1)(x1+x2)+(m-1)2=(1+k2)2(m2-1)1+2k2-k(m-1)4km1+2k2+(m-1)2=0化简可得m=-13.所以|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=439k2+42k+1设9k2+4=t，t2，则k2=t2-49，所以|x1-x2|=439k2+42k+1=12t2t2+1.令f(t)=12t2t2+1(t2)，因为f(t)=12-24t2(2t2+1)2b0)的左、右焦点分别为F1,F2，A为椭圆上一动点（异于左、右顶点），若AF1F2的周长为4+23，且面积的最大值为3.（1）求椭圆C的方程；（2）设A,B是椭圆C上两动点，线段AB的中点为P，OA,OB的斜率分别为k1,k2(O为坐标原点)，且k1k2=-14，求OP的取值范围.【答案】（1）x24+y2=1；（2）22,2.【解析】（1）由题知，AF1F2的周长为2a+2c=4+23，且122cb=3，a=2，b=1，c=3椭圆C的方程为：x24+y2=1；（2）当直线AB的斜率k0时，此时k1，k2（O为坐标原点），满足k1k2=-14，k1-k2=12可令OB的方程为：y=12x，（xB0）由y=x2x2+4y2=4可得B（2，22），此时|OP|=22，当直线AB的斜率k0时，可令AB的方程为：xmy+t，由x2+4y2=4x=my+t可得（m2+4）y2+2mty+t240，4m2t24（m2+4）（t24）0m2t2+40y1+y2=-2mtm2+4，y1y2=t2-4m2+4，x1+x2m（y1+y2）+2t=8tm2+4p（4tm2+4，-mtm2+4）k1k2=-14，y1y2x1x2=-144y1y2+x1x20（4+m2）y1y2+mt（y1+y2）+t20t24+-2m2t24+m2+t202t2m2+4，且t22，由可得t22恒成立，|OP|2=16t2+m2t2(m2+4)2=16t2+m2t2(2t2)2=16+m24t2=16+(2t2-4)4t2=12+3t2（12，2|OP|(22，2综上，|OP|的取值范围为22，2【运用套路】-纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行1已知椭圆P:x24+y23=1的左、右焦点分别为F1,F2，过F2的直线l与椭圆P相交于P,Q（1）求F1PQ的周长（2）设点A为椭圆P的上顶点，点P在第一象限，点M在线段AF2上，若F1M=23F1P，求点P的横坐标（3）设直线l不平行于坐标轴，点R为点P关于x轴对称点，直线QR与x轴交于点N求QF2N面积的最大值.【答案】（1）8（2）x1=65.（3）332.【解析】（1） 椭圆x24+y23=1的长轴长为4.由椭圆定义知，F1PQ的周长为8；（2）由椭圆方程得A(0，,3)，F1(-1,0),F2(0,1)，设P(x1,y1),M(x2,y2)，由F1M=23F1P，得x2+1=23(x1+1),y2=23y1， 点M线段AF2上，所以x2,y2满足方程为y2=-3(x2-1)将式代入，得y1=-3(x1-2)，代入椭圆方程，得5x12-6x1+12=0，因为x10，所以x1=65.（3）设P(x1,y1),Q(x3,y3),N(n,0)，直线l的方程为y=k(x-1)，则点R的坐标为(x1,-y1)，直线QR的方程为y=y3+y1x3-x1(x-x3)+y3，n=x3-y3(x3-x1)y3+y1=x3y1+x1y3y3+y1=2x1x3-(x1+x3)x1+x3-2，将直线方程代入椭圆方程得：(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0，则x1+x3=8k23+4k2,x1x3=4k2-123+4k2，所以n=2(4k2-12)3+4k2-8k23+4k28k23+4k2-2=4，SQF1N=12(4-1)|y3|332，所以QF2N面积的最大值为332.2已知两直线方程l1:y=22x与l2:y=-22x，点A在l1上运动，点B在l2上运动，且线段AB的长为定值22.（）求线段AB的中点C的轨迹方程；（）设直线l1:y=kx+m与点C的轨迹相交于M，N两点，O为坐标原点，若kOMkON=54，求原点O的直线l的距离的取值范围.【答案】（）x24+y2=1（）0，2147【解析】（）点A在l1:y=22x上运动，点B在l2:y=-22x上运动，设Ax1，22x1，Bx2，-22x2，线段AB的中点C(x,y)，则有x=x1+x22，y=22x1-22x22，x1+x2=2x，x1-x2=22y，线段AB的长为定值22，(x1-x2)2+(22x1+22x2)2=8，即(22y)2+(2x)2=8，化简得x24+y2=1.线段AB的中点C的轨迹方程为x24+y2=1.（）设Mx1，y1，Nx2，y2，联立x24+y2=1y=kx+m得4k2+1x2+8kmx+4m2-4=0，=8km2-44k2+14m2-40，化简得m24k2+1.x1+x2=-8km4k2+1，x1x2=4m2-44k2+1y1y2=kx1+mkx2+m=k2x1x2+kmx1+x2+m2，若kOMkON=54，则y1y2x1x2=54，即4y1y2=5x1x2，所以4k2x1x2+4kmx1+x2+4m2=5x1x2，即4k2-54m2-44k2+1+4km-8km4k2+1+4m2=0，化简得m2+k2=54，由得0m265，120k254，因为O到直线l的距离d=m1+k2，所以d2=m21+k2=54-k21+k2=-1+941+k2又因为120k254，所以0d287，所以O到直线l的距离的取值范围是0，2147.3已知椭圆C：x218+y29=1的短轴端点为B1，B2，点M是椭圆C上的动点，且不与B1，B2重合，点N满足NB1MB1，NB2MB2.（）求动点N的轨迹方程；（）求四边形MB2NB1面积的最大值.【答案】（）y29+x292=1x0；（）2722.【解析】（）法一：设Nx,y，Mx0,y0x00，MB1NB1,MB2NB2直线NB1:y+3=-x0y0+3x直线NB2:y-3=-x0y0-3x得y2-9=x02y02-9x2又x0218+y029=1，y2-9=181-y029yo2-9x2=-2x2，整理得点N的轨迹方程为y29+x292=1x0法二：设Nx,y，Mx0,y0x00，MB1NB1,MB2NB2直线NB1:y+3=-x0y0+3x直线NB2:y-3=-x0y0-3x由,解得：x1=y02-9x0y1=-y0，又x0218+y029=1，x1=-x02故x0=-2x1y0=-y1，代入x0218+y029=1得y129+x1292=1.点N的轨迹方程为y29+x292=1x0法三：设直线MB1:y=kx-3k0，则直线NB1:y=-1kx-3直线MB1与椭圆C:x218+y29=1的交点M的坐标为12k2k2+1，6k2-32k2+1.则直线MB2的斜率为kMB2=6k2-32k2+1-312k2k2+1=-12k.直线NB2:y=2kx+3由解得:点N的轨迹方程为：y29+x292=1x0（）法一：设Nx1,y1，Mx0,y0x00由（）法二得：x1=-x02四边形MB2NB1的面积S=12B1B2x1+x2=332x0，0b0)的一个焦点为F(3,0)，（）求椭圆C的方程；（）设过原点O且与坐标轴不垂直的直线l与曲线C交于M,N两点，且点A(1,12)，求MAN面积的最大值【答案】（）x24+y2=1； （）2.【解析】（）根据题意得c=3,e=ca=32，a=2. b2=a2-c2=1.故椭圆C的方程为x24+y2=1.（）根据题意：设直线的方程为y=kx(k0)，由y=kxx24+y2=1得(1+4k2)x2-4=0(k0)。设M(x1,y1),N(x2,y2)=16(1+4k2)0，x1+x2=0,x1x2=-41+4k2，|MN|=(1+k2)(x1-x2)2=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2(k0)|MN|=(1+k2)161+4k2=41+k21+4k2. 又点A(1,12)到直线l的距离d=|k-12|1+k2， SMAN=12|MN|d=1241+k21+4k2|k-12|1+k2=|2k-1|1+4k2(k0)，SMAN=(2k-1)21+4k2=1-4k1+4k2(k0)， 当k0时，SMAN1； 当kb0)以F1、F2为焦点且过点P.（）当P点坐标为(x0,22)(x00)时，求x0的值及椭圆方程；（）若直线l与（）中所求的椭圆交于A、B不同的两点，且点C(0,-1)，AC=BC，求直线l在y轴上截距b的取值范围.【答案】（）x0=62，椭圆方程为x23+y2=1；（）当k=0时，直线l在y轴上的截距的取值范围是-1,1；当k0时，直线l在y轴上的截距的取值范围是12,2.【解析】（）由圆与x轴的交点为2,0得椭圆的焦距2c=22a2-b2=2a2=2+b2椭圆方程化为x22+b2+y2b2=1将Px0,22代入圆，得x02+12=2x0=62P62,22代入式，得322+b2+12b2=1解得b2=1椭圆方程为x23+y2=1（）由CA=CB，得点C应该在线段AB的中垂线上当k=0时，l与椭圆交于两点都满足题意 b-1,1当k0时，设Ax1,y1，Bx2,y2，中点Mx,y由y=kx+bx23+y2=1，消y得13+k2x2+2kbx+b2-1=0 由=2kb2-413+k2b2-10，得3k2-b2+10由x123+y12=1x223+y22=1，作差，得x1+x2x1-x2+y1+y2y1-y2=0由2x=x1+x22y=y1+y2，及y1-y2x1-x2=k，得x+3ky=0MCABx+ky+1=0由得x=-3k2y=12，代入y=kx+b中，得k2=2b-13将式代入式，得0b0，得b12b的取值范围是12,2综上，当k=0时，直线l在y轴上的截距的取值范围是-1,1；当k0时，直线l在y轴上的截距的取值范围是12,2.7已知椭圆C1，抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，其坐标分别是(3,-23)，(-2,0)，(4,-4)，(2,22)（1）求C1，C2的标准方程（2）过点M(0,2)的直线l与椭圆C1交于不同的两点A，B，且AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围【答案】（1）x24+y2=1，y2=4x（2）k2【解析】（1）由题意抛物线的顶点为原点，所以点(-2,0)一定在椭圆上，且a=2，则椭圆上任何点的横坐标的绝对值都小于等于2，所以(2,22)也在椭圆上，24+(22)2b2=1，b2=1，故椭圆标准方程x24+y2=1，所以点(3,-23)、(4,-4)在抛物线上，且抛物线开口向右，其方程y2=2px，12=6p，p=2，所以方程为y2=4x（2）当直线l斜率不存在时，易知AOB三点共线，不符题意当l斜率存在时，设l:y=kx+2，A(x1,y2)，B(x2,y2)，x2+4y2-4=0y=kx+2，x2+4(kx+2)2-4=0，(4k2+1)x2+16kx+12=0，令=(16k2)-48(4k2+1)0，256k2-192k2-480，64k248，k32，OA=(x1,y1)，OB=(x2,y2)，x1+x2=-16k4k2+1，x1x2=124k2+1y1y2=(kx1+2)(kx2+2),=k2x1x2+2k(x1+x2)+4,=12k24k2+1-32k24k2+1+16k2+44k2+1,=-4k2+44k2+1，令OAOB=x1x2+y1y2=16-4k24k2+116，k2综上：k28已知椭圆M：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为63，长轴长为23()求椭圆M的方程；()直线l：x=my+2交椭圆M于A，B两点.F为椭圆M的右焦点，自点A，B分别向直线x=322作垂线，垂足分别为A1，B1，记FA1B1的面积为S，求S的最大值及此时直线l的方程【答案】（）x23+y2=1；（）S的最大值为34及此时直线l的方程x+y-2=0或x-y-2=0【解析】()由题意可得2a=23，则a=3，e=ca=63，c=2，b2=a2-c2=1，椭圆M的方程为x23+y2=1；()由()可得F(2,0)，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由题意可得A1(233,y1)，B1(233,y2)，由x=my+2x23+y2=1，消x可得(m2+3)y2+22my-1=0，y1+y2=-22mm2+3，y1y2=-1m2+3，|A1B1|=|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=8m2(m2+3)2+4m2+3=23m2+13+m2，点F为到直线x=322的距离d=322-2=22，FA1B1的面积为S=12|A1B1|d=122223m2+13+m2=62m2+1m2+3，令m2+1=t，则t1，S=62tt2+2=621t+2t62122=34，当且仅当t=2时，即m=1时取等号，故S的最大值为34及此时直线l的方程x+y-2=0或x-y-2=09已知椭圆E:x2a2+y2b2=1ab0的左、右焦点分别为F1,F2,P为E上的一个动点，且PF2的最大值为2+3，E的离心率与椭圆:x22+y28=1的离心率相等.1求E的方程；2直线l与E交于M,N两点（M,N在x轴的同侧），当F1M/F2N时，求四边形F1F2NM面积的最大值.【答案】(1) x24+y2=1 (2)2【解析】1依题意可知a+c=2+3,ca=1-28,解得a=2,c=3,则b2=a2-c2=1，故E的方程为x24+y2=1.2延长MF1交E于点M，由1可知F1-3,0,F23,O，设Mx1,y1,Mx2,y2，设MF1的方程为x=my-3，由x=my-3x24+y2=1得m2+4y2-23my-1=0，故y1+y2=23mm2+4y1y2=-1m2+4.设F1M与F2N的距离为d，则四边形F1F2NM的面积为S， S=12F1M+F2Nd=12F1M+F1Md=12MMd=SMF2M，SMF2M=12F1F2y1-y2=3y1+y22-4y1y2=43m2+1m2+4=43m2+1+3m2+14323=2,当且仅当m2+1=3m2+1，即m=2时，等号成立，故四边形F1F2NM面积的最大值为2.10已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，D(0,2)为椭圆C短轴的一个端点，F为椭圆C的右焦点，线段DF的延长线与椭圆C相交于点E，且DF=3EF.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA与OB的斜率之积为-32，求OAOB的取值范围.【答案】（1）x28+y24=1；（2）-1,0)(0,1.【解析】（1）设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(ab0)，右焦点F(c,0)，因为D(0,2)为椭圆短轴的一个端点，则b=2.因为DF=3EF，则点E4c3,-23.因为点E在椭圆上，则16c29a2+19=1，即a2=2c2.又c2=a2-4，则a2=2(a2-4)，得a2=8，所以椭圆C的标准方程是x28+y24=1.（2）解法一：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，得x2+2(kx+m)2=8，即(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0.设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=-4km2k2+1，x1x2=2m2-82k2+1.因为kOAkOB=-32，则y1x1y2x2=-32，即3x1x2+2y1y2=0，即3x1x2+2(kx1+m)(kx2+m)=0，即(2k2+3)x1x2+2km(x1+x2)+2m2=0，所以(2k2+3)2m2-82k2+1-8k2m22k2+1+2m2=0，即(2k2+3)(m2-4)-4k2m2+m2(2k2+1)=0，化简得m2=2k2+3.所以OAOB=x1x2+y1y2=-12x1x2=-m2-42k2+1=-2k2-12k2+1=22k2+1-1.因为=16k2m2-4(2k2+1)(2m2-8)=8(8k2+4-m2)=8(6k2+1)0，k20，则022k2+12，所以-10，则kOA=62.联立y=62x与x28+y24=1，得点A(2,3)，B(2,-3)，或点A(-2,3)，B(-2,-3)，此时OAOB=-1.综上分析，OAOB的取值范围是-1,0)(0,1.解法二：因为kOAkOB=-320，设kOA=k0，则kOB=-32k.设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1x1y2x2=-32，即y1y2=-32x1x2，所以OAOB=x1x2+y1y2=-12x1x2.由y=kxx28+y24=1，得x2+2k2x2=8，即(2k2+1)x2=8，所以x12=82k2+1.同理，x22=82-32k2+1=16k22k2+9.所以x12x22=816k2(2k2+1)(2k2+9)=816k24k4+20k2+9=8164k2+9k2+20.因为4k2+9k224k29k2=12，当且仅当4k2=9k2，即k=62时取等号，则0b0)的短轴长为23，离心率为12，过右焦点F的直线l与椭圆C交于不同两点M，N.线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0,y0).（1）求椭圆C的方程；（2）求y0的取值范围.【答案】（1）x24+y23=1； （2）-312,312.【解析】（1）由题意可得：2b=23，ca=12，又a2=b2+c2，联立解得b=3，a=2，c=1.椭圆C的方程为x24+y23=1.（2）当斜率存在时，设直线MN的方程为y=k(x-1)(k0)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，中点T(x,y)，把y=k(x-1)代入椭圆方程，得到方程(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0，则x1+x2=8k24k2+3，x1x2=4k2-124k2+3，x=4k24k2+3，y=k(x-1)=-3k4k2+3，所以MN的中垂线的方程为y-y=-1k(x-x)，令x=0，得y0=1kx+y=k4k2+3=14k+3k，当k0时，4k+3k43，则y0(0,312；当kb0的右焦点F1,0，A，B，C是椭圆上任意三点，A，B关于原点对称且满足kACkBC=-12.（1）求椭圆E的方程.（2）若斜率为k的直线与圆：x2+y2=1相切，与椭圆E相交于不同的两点P、Q，求PQ435时，求k的取值范围.【答案】（1）x22+y2=1； （2）-,-22,+.【解析】（1）由题可设AxA,yA，B-xA,-yA，CxC,yC，所以xA2a2+yA2b2=1xC2a2+yC2b2=1两式相减得xA-xCxA+xCa2+yA-yCyA+yCb2=0，yA-yCxA-xCyA+yCxA+xC=-b2a2.即kACkBC=yA-yCxA-xCyA+yCxA+xC=-b2a2=-12，所以a2=2b2，又c=1，a2=b2+c2，所以a2=2，b2=1，所以椭圆E的标准方程为x22+y2=1.（2）设直线方程为y=kx+m，交椭圆于点Px1,y1，Qx2,y2.联立方程y=kx+m,x22+y2=11+2k2x2+4kmx+2m2-2=0=82k2+1-m20，得2k2+1m2，x1+x2=4km1+2k2，x1x2=2m2-21+2k2.所以PQ=1+k2x1+x22-4x1x2=1+k24km1+2k22-8m2-81+2k2=1+k216k2m21+2k22-8m2-81+2k21+2k22=1+k216k2m21+2k22-8m2+16m2k2-8-16k21+2k22=1+k2-8m2+8+16k21+2k22，因为直线y=kx+m与圆x2+y2=1相切，所以d=m1+k2=11+k2=m，即m2=1+k2，代入2k2+1m2，得k0.所以PQ=1+k2-81+k2+8+16k21+2k22=1+k28k21+2k22=22k4+k21+2k22因为PQ435，所以22k4+k21+2k22435，化简得k4+k2-60k2+3k2-20k22，或k2-3（舍）.所以k2或k-2，故k的取值范围为-,-22,+.13已知O为坐标原点，椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0）的左、右焦点分别为F1(-c,0)，F2(c,0)，过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆C相交所得的弦长为3，直线y=-3与椭圆C相切（）求椭圆C的标准方程；（）是否存在直线l：yk(x+c)与椭圆C相交于E，D两点，使得(F2E-DE)F2Eb0)中，令x=c，得c2a2+y2b2=1，解得y=b2a.由垂径长（即过焦点且垂直于实轴的直线与椭圆C相交所得的弦长）为3，得b2a-(-b2a)=3，所以2b2a=3.因为直线l：y=-3与椭圆C1相切，则b=|-3|=3.将代入，得a=2.故椭圆C的标准方程为x24+y23=1.（2）设点E(x1,y1)，D(x2,y2).由（1）知c=1，则直线l的方程为y=k(x+1).联立y=k(x+1),x24+y23=1,得(4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0，则=(8k2)2-4(4k2+3)(4k2-12)=144k2+1440恒成立.所以x1+x2=-8k24k2+3，x1x2=4k2-124k2+3，y1y2=k2(x1+1)(x2+1)=k2(x1x2+x1+x2+1)=k2(4k2-124k2+3-8k24k2+3+1)=-9k24k2+3.因为(F2E-DE)F2E1，所以(F2E+ED)