2019_2020学年高中数学第2章空间向量与立体几何2空间向量的运算学案北师大版.docx

2空间向量的运算学习目标：1.会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律(重点)会利用两个空间向量共线的充要条件解决有关问题(难点)能够利用空间向量的数量积的定义求两个向量的数量积(重点)1空间向量的运算空间向量的运算定义(或法则)运算律加法设a和b是空间两个向量，过一点O作a和b的相等向量和，根据平面向量加法的平行四边形法则，平行四边形的对角线OC对应的向量就是a与b的和，记作ab，如图所示结合律：(ab)ca(bc)；交换律：abba减法与平面向量类似，a与b的差定义为a(b)，记作ab，其中b是b的相反向量空间向量的数乘空间向量a与一个实数的乘积是一个向量，记作a，满足：|a|a|，当0时，a与a方向相同；当0时，a与a方向相反；当0时，a0aa(R)；(ab)ab()aaa(R，R)；()a(a)(R，R)空间向量的数量积空间两个向量a和b的数量积是一个数，等于|a|b|cosa，b，记作ab交换律：abba；分配律：a(bc)abac；(ab)(a)b(R)与数量积有关的结论|a|；abab0；cosa，b(a0，b0)思考：空间向量的数量积运算为什么不满足结合律？提示数量积运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即(ab)c不一定等于a(bc)这是由于(ab)c表示一个与c共线的向量，而a(bc)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线2共线向量定理空间两个向量a与b(b0)共线的充要条件是存在实数，使得ab1.判断正误(1)实数与向量之间可进行加法、减法运算()(2)0.()(3)两向量共线，两向量所在的直线不一定重合，也可能平行()(4)空间向量数量积运算的结果是一个实数()答案(1)(2)(3)(4)2.化简所得的结果是()ABC0 D C因为0.3.下列式子中正确的是()A|a|aa2 B(ab)2a2b2C(ab)ca(bc) D|ab|a|b|D|a|a是与a共线的向量，a2是实数，故A错误； (ab)2|a|2|b|2cos2a，ba2b2，故B错误； (ab)c与c共线，a(bc)与a共线，故C错误； |ab|a|b|cosa，b|a|b|，故D正确4.已知i、j、k是两两垂直的单位向量，a2ijk，bij3k，则ab等于_2ab(2ijk)(ij3k)2i2j23k22.空间向量的线性运算【例1】(1)化简()()_(2)如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设a，b，c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：；.0(1)法一：()()()()0.法二：()()()()0.(2)P是C1D1的中点，aacacb.N是BC的中点，abababc.M是AA1的中点，a(acb)abc.又ca，(abc)(ac)abc.1在运算时，要注意运算律的应用，在例题中，利用向量加法的结合律以及数乘向量的分配律简化了计算2对向量式的化简，要结合图形，充分利用图形的性质1在空间四边形ABCD中，连接AC、BD，若BCD是正三角形，且E为其中心，则的化简结果是()AB2C0 D2C如图，F是BC的中点，E为DF的三等分点，则0.向量共线问题【例2】如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，则与是否共线？解法一：M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，.又，得2，即与共线法二：M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，()()()()().，即与共线判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数，使ab成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体图形通过化简，计算得出ab，从而得到ab.2设两非零向量e1、e2不共线，e1e2，2e18e2，3(e1e2)试问：A、B、D是否共线，请说明理由解(2e18e2)3(e1e2)5(e1e2)，5，又B为两向量的公共点，A、B、D三点共线空间向量的数量积运算探究问题1 在应用空间向量数量积的运算律时要注意什么？提示要准确区分两向量的数量积与数乘向量、实数与实数的乘积之间的差异注意以下几点：(1)数量积的运算不满足约去律，即abbc推不出ac；(2)数量积的运算不满足结合律，即(ab)c不一定等于a(bc)；(3)数量积的运算不满足除法，即对于向量a，b，若abk，不能得到a.例如当非零向量a，b垂直时，ab0，但a显然是没有意义的2空间向量的数量积的应用主要体现在哪几个方面？提示空间向量的数量积的应用主要有以下三个方面：(1)利用|a|，求线段的长；(2)利用cosa，b，求两直线所成的角；(3)利用abab0，证明两直线垂直【例3】已知正四面体OABC的棱长为1，求：(1)( )()；(2)|.思路探究在正四面体中，所有棱的长度都相等，每一个面都是正三角形，所以从同一顶点出发的任意两条棱所对应向量间的夹角等于60或120(与方向有关)解(1)()()()()()(2)1211cos 60211cos 6011cos 6012211cos 601.(2)|.1.(变条件)若本例增加条件“E、F分别是AB、OC的中点”，求向量与所成角的余弦值解如图所示，设a，b，c，且|a|b|c|1，易知AOBBOCAOC，则abbcca，因为()(ab)，cb，|，所以(ab)acbcabb2.设与所成的角为，则cos .所以向量与向量所成角的余弦值为.2.(变条件)如图，在空间四边形OABC中，OBOC，ABAC，求证：OABC. 证明因为OBOC，ABAC，OAOA，所以OACOAB，所以AOCAOB.又()|cosAOC|cosAOB0，所以，即OABC.1要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和a，b，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使ab计算准确2利用向量的数量积，求异面直线所成的角的方法：(1)根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量；(2)将求异面直线所成角的问题转化为求向量夹角问题；(3)利用向量的数量积求角的大小；(4)证明两向量垂直可转化为数量积为零1空间任意四个点A、B、C、D，则等于()A.B.C. D.D法一：().法二：().2如图已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则()A2 B2C1 D1C()2cos，2cos(18060)2cos 12021.故选C.3已知非零向量a，b不平行，且|a|b|，则ab与ab的位置关系是_垂直(ab)(ab)a2b20.(ab)(ab)4设a，b，c满足abc0，且ab