高中数学 第一章 三角函数 1.4.3 正切函数的性质与图象学案 新人教A版必修4.doc

1.4.3正切函数的性质与图象1.能画出正切函数的图象.(重点)2.掌握正切函数的性质.(重点、难点)3.正切函数的定义域及正切曲线的渐近线.(易错点)基础初探教材整理1正切函数的图象阅读教材p43倒数第二行至p44思考以上内容，完成下列问题.1.正切函数的图象：图1422.正切函数的图象叫做正切曲线.3.正切函数的图象特征：正切曲线是被相互平行的直线xk，kz所隔开的无穷多支曲线组成的.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)正切函数的定义域和值域都是r.()(2)正切函数图象是中心对称图形，有无数个对称中心.()(3)正切函数图象有无数条对称轴，其对称轴是xk，kz.()(4)正切函数是增函数.()【解析】由正切函数图象可知(1)，(2)，(3)，(4).【答案】(1)(2)(3)(4)教材整理2正切函数的性质阅读教材p42p43倒数第三行以上内容，完成下列问题.1.函数ytan x的图象与性质见下表：解析式ytan x图象定义域 值域r周期奇偶性奇单调性在开区间kz内都是增函数2.函数ytan x(0)的最小正周期是.(1)函数ytan的定义域为_.(2)函数ytan的单调增区间为_.【解析】(1)2xk，kz，x，kz.(2)令kxk，kz，得kxk，即ytan的单调增区间为，kz.【答案】(1)(2)，kz小组合作型正切函数的定义域、值域问题求函数ylg(1tan x)的定义域. 【导学号：70512013】【精彩点拨】求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线.【自主解答】要使函数ylg(1tan x)有意义，则即1tan x1.在上满足上述不等式的x的取值范围是.又因为ytan x的周期为，所以所求x的定义域为.1.求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数ytan x有意义即xk，kz.2.解正切不等式的两种方法：(1)图象法：先画出函数图象，找出符合条件的边界角，再写出符合条件的角的集合.(2)三角函数线法：先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中画出符合条件的区域.要特别注意函数的定义域.再练一题1.求函数y的定义域. 【导学号：00680021】【解】根据题意，得解得(kz).所以函数的定义域为(kz).正切函数的奇偶性、周期性(1)函数y4tan的周期为_.(2)判断下列函数的奇偶性：f(x)；f(x)tantan.【精彩点拨】(1)可用定义法求，也可用公式法求，也可作出函数图象来求.(2)可按定义法的步骤判断.【自主解答】(1)由于3，故函数的周期为t.【答案】(2)由得f(x)的定义域为，不关于原点对称，所以函数f(x)既不是偶函数，也不是奇函数.函数定义域为，关于原点对称，又f(x)tantantantanf(x)，所以函数是奇函数.1.函数f(x)atan(x)周期的求解方法：(1)定义法.(2)公式法：对于函数f(x)atan(x)的最小正周期t.(3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现.2.判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法：先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f(x)与f(x)的关系.再练一题2.(1)函数f(x)tan的周期为_.(2)函数ysin xtan x是_函数.(填“奇”或“偶”)【解析】(1)tantan，即tantan，f(x)tan的周期是.(2)定义域为，关于原点对称，f(x)sin(x)tan(x)sin xtan xf(x)，函数是奇函数.【答案】(1)(2)奇探究共研型正切函数的单调性及其应用探究1正切函数ytan x在其定义域内是否为增函数？【提示】不是.正切函数的图象被直线xk(kz)隔开，所以它的单调区间只在(kz)内，而不能说它在定义域内是增函数.假设x1，x2，x1x2，但tan x1tan x2.探究2如果让你比较tan与tan的大小，你应该怎样做？【提示】先根据正切函数的周期性把两角化到同一单调区间内，再由正切函数的单调性进行比较.(1)求函数ytan的单调区间；(2)比较tan 1，tan 2，tan 3的大小；(3)求函数ytan(sin x)的值域.【精彩点拨】解答本题(1)可先令ytan，从而把x整体代入(kz)这个区间内解出x便可.解答本题(2)可先把角化归到同一单调区间内，即利用tan 2tan(2)，tan 3tan(3)，最后利用ytan x在上的单调性判断大小关系.解答本题(3)可先确定sin x的范围，然后根据ytan x的单调性求值域.【自主解答】(1)ytantan，由kxk(kz)，得2kx2k(kz)，函数ytan的单调递减区间是(kz).(2)tan 2tan(2)，tan 3tan(3).又2，20.3，30，显然231，且ytan x在内是增函数，tan(2)tan(3)tan 1，即tan 2tan 30)的单调区间时，由kxk，kz求得x的范围；当0时，可先用诱导公式把化为正值.2.运用正切函数的单调性比较tan 与tan 大小的步骤：(1)利用诱导公式将角，转化到同一单调区间内，通常是转化到区间内；(2)运用正切函数的单调性比较大小.3.求与正切函数有关的函数的值域时，要注意定义域；当所给函数为复合函数时，要注意内层函数的范围.再练一题3.(1)求函数ytan的单调区间；(2)比较tan与tan的大小.【解】(1)由kxk(kz)得，2kx2k(kz)，所以函数ytan的单调递增区间是(kz).(2)由于tantantan tan ，tantantan ，又0，而ytan x在上单调递增，所以tan tan ，即tantan.1.函数ytan x的值域是()a.1,1b.1,0)(0,1c.(，1 d.1，)【解析】根据函数的单调性可得.【答案】b2.函数f(x)tan的定义域是_，f_. 【导学号：00680022】【解析】由题意知xk(kz)，即xk(kz).故定义域为，且ftan.【答案】3.函数ytan x的单调递减区间是_.【解析】因为ytan x与ytan x的单调性相反，所以ytan x的单调递减区间为(kz).【答案】(kz)4.函数y|tan x|的周期为_.【解析】作出y|tan x|的图象，如图所示.由图可知，函数y|tan x