求数列通项公式ppt.ppt

求数列的通项公式 学习目标 在了解数列概念的基础上 掌握几种常见递推数列通项公式的求解方法理解求通项公式的原理体会各种方法之间的异同 感受事物与事物之间的相互联系 例1 写出下面数列的一个通项公式 使它的前几项分别是下列各数 已知数列的前几项 通常先将各项分解成几部分 如符号 分子 分母 底数 指数等 然后观察各部分与项数的关系 写出通项 一 观察法 1 写出下列数列的一个通项公式 1 9 99 999 9999 解 an 10n 1 2 1 11 111 1111 分析 注意观察各项与它的序号的关系有10 1 102 1 103 1 104 1 解 an 10n 1 这是特殊到一般的思想 也是数学上重要的思想方法 但欠严谨 分析 注意与熟悉数列9 99 999 9999 联系 练习 注意 1 这种做法适用于所有数列 2 用这种方法求通项需检验a1是否满足an 二 公式法 利用an与Sn的关系或利用等差 等比数列的通项公式 练习 1 an 的前项和Sn 2n2 1 求通项an 解 当n 2时 an Sn Sn 1 2n2 1 2 n 1 2 1 4n 2 当n 1时 a1 1 不满足上式 3 已知 an 中 a1 2a2 3a3 nan 3n 1 求通项an 解 a1 2a2 3a3 nan 3n 1 n 1 a1 2a2 3a3 n 1 an 1 3n n 2 nan 3n 1 3n 2 3n 而n 1时 a1 9 n 2 两式相减得 例3 已知 an 中 an 1 an n n N a1 1 求通项an 解 由an 1 an n n N 得 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 n 1 n 2 2 1 1 三 累加法 递推公式形如an 1 an f n 型的数列 n个等式相加得 an 1 an n n N 1 注意讨论首项 2 适用于an 1 an f n 型递推公式 求法 累加法 练习 四 累乘法 形如an 1 f n an型 例4 已知 an 是首项为1的正项数列 且 n 1 an 12 an 1an nan2 0 求 an 的通项公式 解 n 1 an 12 an 1an nan2 0 an 1 an n 1 an 1 nan 0 an 1 an 0 n 1 an n 1 an 1 nan 练习1 类型四 累乘法形如的递推式 四 累乘法适用于an 1 anf n 型的递推公式 练习2 五 迭代法 例5 已知 an 中 an 3n 1 an 1 n 2 a1 1 求通项an 解 an 3n 1 an 1 n 2 an 3n 1 an 1 3n 1 3n 2 an 2 3n 1 3n 2 3n 3 an 3 3n 1 3n 2 3n 3 3 a1 3n 1 3n 2 3n 3 3 1 递推公式形如an 1 an f n 型的数列 六待定系数法 构造法 例6 解 由题意可知 an 1 1 2 an 1 所以数列 an 1 是以a1 1 2为首项 2为公比的等比数列 所以an 1 2n 即an 2n 1 反思 待定系数法如何确定x 待定系数法 令an 1 x p an x 即 an 1 pan px x 根据已知x 所以数列 是等比数列 类型七 相除法形如的递推式 例8 变式迁移 已知数列 an 中 a1 5且an 2an 1 2n 1 n 2且n N 1 求证数列为等差数列 2 求数列 an 的通项公式 解 1 方法1 构造法 因为a1 5且an 2an 1 2n 1 所以当n 2时 an 1 2 an 1 1 2n 所以 所以 所以是以为首项 以1为公差的等差数列 方法2 代入法 因为a1 5 n 2时 所以 所以是以为首项 以1为公差的等差数列 2 由 1 知 所以an n 1 2n 1 练习 已知数列 an 中a1