2019_2020学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的简单几何性质练习新人教A版.docx

2.2.2椭圆的简单几何性质课时过关能力提升基础巩固1若点A(m,1)在椭圆x24+y22=1的内部,则实数m的取值范围是()A.(-2,2)B.(-,-2)(2,+)C.(-2,2)D.(-1,1)解析:因为点A(m,1)在椭圆x24+y22=1的内部,所以m24+1221,整理得m22,解得-2mb0)有两个顶点在直线x+2y=2上,则此椭圆的焦点坐标是()A.(3,0)B.(0,3)C.(5,0)D.(0,5)答案:A3设e是椭圆x24+y2k=1的离心率,且e12,1,则实数k的取值范围是()A.(0,3)B.3,163C.(0,3)163,+D.(0,2)解析:当k4时,c2=k-4,由题意得14k-4k163;当0k4时,c2=4-k,由题意得144-k41,解得0kb0)的左、右焦点,P为直线x=3a2上一点,F2PF1是底角为30的等腰三角形,则椭圆E的离心率为()A.12B.23C.34D.45解析:F2PF1是底角为30的等腰三角形,PF2A=60,|PF2|=|F1F2|=2c.|AF2|=c.2c=32a.e=34,故选C.答案:C7以坐标轴为对称轴,且过点(5,0),离心率e=255的椭圆的标准方程是_.答案:x225+y25=1或x225+y2125=18已知F1,F2是椭圆的两个焦点,过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,若ABF2是正三角形,求该椭圆的离心率.分析:不妨设椭圆的焦点在x轴上,如图,由ABF1F2,且ABF2是正三角形,得出在RtAF1F2中,AF2F1=30.令|AF1|=x,则|AF2|=2x,由勾股定理,求得|F1F2|=3x=2c.而|AF1|+|AF2|=2a,即可求出离心率e.解:不妨设椭圆的焦点在x轴上,如图.ABF1F2,且ABF2为正三角形,在RtAF1F2中,AF2F1=30.令|AF1|=x,则|AF2|=2x.故|F1F2|=|AF2|2-|AF1|2=3x=2c.由椭圆定义可知,|AF1|+|AF2|=2a.因此,e=2c2a=3x3x=33.9椭圆ax2+by2=1与直线x+y-1=0相交于A,B两点,C是AB的中点,若|AB|=22,OC的斜率为22,求椭圆的方程.解法一设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程,得ax12+by12=1,ax22+by22=1.由-,得a(x1+x2)(x2-x1)+b(y2+y1)(y2-y1)=0.而y2-y1x2-x1=kAB=-1,y2+y1x2+x1=kOC=22,则b=2a.|AB|=1+k2|x2-x1|=2|x2-x1|=22,|x2-x1|=2.又由ax2+by2=1,x+y=1,得(a+b)x2-2bx+b-1=0,x1+x2=2ba+b,x1x2=b-1a+b.|x2-x1|2=(x1+x2)2-4x1x2=2ba+b2-4b-1a+b=4.将b=2a代入,得a=13,b=23.故所求的椭圆方程为x23+23y2=1.解法二由直线方程和椭圆方程联立,得ax2+by2=1,x+y=1,得(a+b)x2-2bx+b-1=0.设A(x1,y1),B(x2,y2).则|AB|=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=24b2-4(a+b)(b-1)(a+b)2.|AB|=22,a+b-aba+b=1.设C(x,y),则x=x1+x22=ba+b,y=1-x=aa+b.OC的斜率为22,ab=22.代入式,得a=13,b=23.故所求的椭圆方程为x23+23y2=1.能力提升1过椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若F1PF2=60,则椭圆的离心率为()A.22B.33C.12D.13解析:由点P-c,b2a,F1PF2=60,得3b2a=2a,从而可得e=ca=33,故选B.答案:B2设AB是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的长轴,若把线段AB分为100等份,过每个分点作AB的垂线,分别交椭圆的上半部分于点P1,P2,P99,F1为椭圆的左焦点,则|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+|F1P99|+|F1B|的值是()A.98aB.99aC.100aD.101a解析:由椭圆的定义及其对称性可知|F1P1|+|F1P99|=|F1P2|+|F1P98|=|F1P49|+|F1P51|=|F1A|+|F1B|=2a,|F1P50|=a,故结果应为502a+|F1P50|=101a.答案:D3椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,D是它短轴的一个端点,若3DF1=DA+2DF2,则该椭圆的离心率为()A.12B.13C.14D.15解析:由题意,A(-a,0),F1(-c,0),F2(c,0),不妨设D(0,b).3DF1=DA+2DF2,3(-c,-b)=(-a,-b)+2(c,-b),a=5c.e=ca=15.故选D.答案:D4中心在原点,焦点坐标为(0,52)的椭圆被直线3x-y-2=0截得的弦的中点的横坐标为12,则椭圆的方程为()A.2x225+2y275=1B.2x275+2y225=1C.x225+y275=1D.x275+y225=1解析:由题意,可设椭圆方程为y2a2+x2b2=1,且a2=50+b2,即方程为y250+b2+x2b2=1.将直线3x-y-2=0代入,整理成关于x的二次方程,由x1+x2=1可求得b2=25,a2=75.故选C.答案:C5已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交椭圆C于点D,且BF=2FD,则椭圆C的离心率为_.解析:如图,不妨设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0),B(0,b)为上顶点,F(c,0)为右焦点,设D(x,y).由BF=2FD,得(c,-b)=2(x-c,y),即c=2(x-c),-b=2y,解得x=3c2,y=-b2,则D3c2,-b2.由点D在椭圆上,知3c22a2+-b22b2=1.解得a2=3c2,即e2=13,故e=33.答案:336已知椭圆x29+y25=1的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上的一点,且F1PF2=60,则PF1F2的面积是.解析:如图,设|PF1|=m,|PF2|=n,由椭圆的定义,得m+n=2a=6,两边平方,得m2+n2+2mn=36.在PF1F2中,由余弦定理,得|F1F2|2=m2+n2-2mncos60=(2c)2,即m2+n2-mn=16.由-,得3mn=20.故SPF1F2=12mnsin60=1220332=533.答案:5337椭圆x24+y2=1的长轴为A1A2,短轴为B1B2,将坐标平面沿y轴折成一个二面角,使点A1在平面B1A2B2上的射影恰为该椭圆的一个焦点,则此二面角的大小是_.解析:如图所示,设翻折后点A1变为A1.由题意,可知F2Oy轴,A1Oy轴,则A1OF2就是二面角A1-B1B2-F2的平面角.又在RtA1OF2中,|A1O|=2,|OF2|=3,得|A1F2|=1.故A1OF2=30.答案:308已知直线y=-12x+2和椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)相交于A,B两点,M为线段AB的中点,若|AB|=25,直线OM的斜率为12,求椭圆的方程.解:由y=-12x+2,x2a2+y2b2=1,消去y,整理得(a2+4b2)x2-8a2x+16a2-4a2b2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系,得x1+x2=8a2a2+4b2,x1x2=16a2-4a2b2a2+4b2.又设M(xM,yM),则xM=x1+x22=4a2a2+4b2,yM=-12xM+2=8b2a2+4b2.因为kOM=yMxM=12,所以2b2a2=12,即a2=4b2.从而x1+x2=8a2a2+4b2=4,x1x2=16a2-4a2b2a2+4b2=8-2b2.又因为|AB|=25,所以1+14(x1+x2)2-4x1x2=25,即5216-4(8-2b2)=25,解得b2=4.所以a2=4b2=16,故所求的椭圆方程为x216+y24=1.9设椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F,过点F的直线l与椭圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为60,AF=2FB.(1)求椭圆C的离心率;(2)如果|AB|=154,求椭圆C的方程.解:设A(x1,y1),B(x2,y2),由直线l的倾斜角为60及AF=2FB,知y10.(1)直线l的方程为y=3(x-c),其中c=a2-b2,联立y=3(x-c),x2a2+y2b2=1,得(3a2+b2)y2+23b2cy-3b4=0,解得y1+y2=-23b2c3a2+b2