云南省昆明市2018届高三数学5月适应性检测试题文（含解析）.docx

云南省昆明市2018届高三5月适应性检测数学（文科）试题第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：求，将其分子、分母同乘以分母的共轭复数，可得，转化为两个复数相乘可得，化简可得，即。详解： 。 故选C。点睛：求两个复数相除，可先转化为分式，分子、分母同乘以分母的共轭复数，转化为复数的乘法运算。本题意在考查复数的运算及学生的运算能力。2.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：由集合中的元素可得元素为自然数，根据可得元素只能为0,1,2.求即求两集合的公共元素，将0,1,2分别代入集合中的不等式，满足不等式的即是公共元素。详解：。 将0,1,2分别代入集合中的不等式，可得 ，此不等式成立，故有0； ，化简得。此不等式成立，故有1, ，化简得。 此不等式成立，故有2.故选A。点睛：集合的运算，应先求集合中的元素，交集就是求集合的公共元素的集合。本题考查集合的运算，数集的符号表示。3.程大位算法统宗里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠次第每人多十七，要将第八数来言务要分明依次弟，孝和休惹外人传”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：根据题意可得每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列，其中公差为17，项数为8，前8项和为996，应先由前n项和公式求首项，再由等差数列通项公式求第8项。详解：根据题意可得每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列，其中。 由等差数列前n项和公式可得， 。 解得。 由等差数列通项公式得 。 故选D。点睛：本题考查学生的传统文化、运算能力、转化能力。解决与等差数列有关的问题，可将条件转化为基本量，利用前n项和公式、通项公式求解。 4.执行如图所示的程序框图，则输出（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：根据框图，先求得，然后执行循环体，求的值，判断条件，满足，的值赋给，再执行循环体，直到不满足条件时，输出的值。详解：执行框图可得。 第一次执行循环体， ；满足条件，则 . 第二次执行循环体，；满足条件,则; 第三次执行循环体， ，不满足条件。所以输出 点睛：程序框图有关的题，应一次次的执行循环体，根据条件决定是执行循环体，还是输出结果。本题考查学生的读框图的能力。5.【云南省昆明市2018届5月适应性检测】一种电子计时器显示时间的方式如图所示，每一个数字都在固定的全等矩形“显示池”中显示，且每个数字都由若干个全等的深色区域“ ”组成已知在一个显示数字8的显示池中随机取一点，点落在深色区域内的概率为若在一个显示数字0的显示池中随机取一点，则点落在深色区域的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：此题属于几何概型。设一个“ ”的 面积为1，根据在一个显示数字8的显示池中随机取一点，点落在深色区域内的概率为可求出一个矩形的面积，再由深色区域的面积比矩形的面积可求得结果。详解：设一个“ ”的 面积为1，在一个显示数字8的显示池中，有7个“ ”，故深色区域面积为7，因为点落在深色区域内的概率为，设矩形的面积为，所以。在一个显示数字0的显示池中有6个“ ”， 故深色区域面积为6，所以若在一个显示数字0的显示池中随机取一点，则点落在深色区域的概率为。 故选C。点睛：本题属于几何概率模型，几何概型问题包含面积比、长度比、 体积比，本题意在考查学生的运算能力和转化能力。6.一个几何体挖去部分后的三视图如图所示，若其正视图和侧视图都是由三个边长为2的正三角形组成，则该几何体的表面积为A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由俯视图可知该几何体为一圆台，再由正视图、侧视图可得该几何体为一圆台内部挖去一个圆锥，根据正视图和侧视图都是由三个边长为2的正三角形组成，可得该几何体的底面半径、母线长，再由圆台、圆锥的侧面积公式，圆的面积公式求解。详解：由三视图可知该几何体是一个圆台，内部挖去一个圆锥。圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2，圆锥底面为圆台的上底面，顶点为圆台底面的圆心。 圆台侧面积为，下底面面积为，圆锥的侧面积为 。所以该几何体的表面积为。故选B。 点睛：（1）还原几何体的基本要素是“长对齐，高平直，宽相等”.（2）对于简单几何体的组合体的三视图，首先要确定正视、侧视、俯视的方向，其次要注意组合体由哪些几何体组成，弄清它们的组成方式，特别应注意它们的交线的位置 根据几何体的三视图确定直观图的方法：三视图为三个三角形，对应三棱锥；三视图为两个三角形，一个四边形，对应四棱锥；三视图为两个三角形，一个带圆心的圆，对应圆锥；三视图为一个三角形，两个四边形，对应三棱锥；三视图为两个四边形，一个圆，对应圆柱。7.若实数满足，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：画出不等式组表示的平面区域，的几何意义是点与区域内的点连线的斜率。由图观察斜率的最值，用斜率公式求出斜率，即可得所求的取值范围。详解：不等式组表示的平面区域如图，的边界及其内部。 表示点与区域内的点连线的斜率。点，所以，。由图可知。 故选C.点睛：（1）解决线性规划有关的问题，应准确画出不等式组表示的平面区域；（2）目标函数为时，应平移直线，求其最值；（3）目标函数为形式时，转化为两点连线的斜率来求； （4）目标函数为形式时，转化为两点间距离来求。 8.已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：判断分段函数两段的单调性，当时，为指数函数，可判断函数在上为减函数；第二段函数的图像开口向下，对称轴为，可得函数在区间上为减函数。时，两段函数值相等。进而得函数在上为减函数。根据单调性不等式可变为。解得。详解：函数在上为减函数，函数的图像开口向下，对称轴为，所以函数在区间上为减函数，且。所以函数在上为减函数。 由得。解得。故选A。点睛：（1）分段函数的单调性，应考虑各段的单调性，且要注意分解点出的函数值的大小； （2）抽象函数不等式，应根据函数的单调性去掉“”，转化成解不等式，要注意函数定义域的运用。9.已知双曲线：的左、右焦点分别为，点为双曲线虚轴的一个端点，若线段与双曲线右支交于点，且，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：求双曲线的离心率应从条件想法得到关于的关系式。由点为双曲线虚轴的一个端点，左焦点为可得。再由，可得到，由点为线段与双曲线右支交点，所以由双曲线的定义可得，即，化简可得，再把代入，可得关于的关系式，进而可求离心率的值。详解：因为点为双曲线虚轴的一个端点，所以不妨设点。 所以。因为， 所以。 因为点为线段与双曲线右支交点，所以由双曲线的定义可得，即， 所以，即所以.故选C.点睛：求圆锥曲线的离心率，应从条件得到关于的关系式。解题过程注意的关系。（1）直接根据题意建立的等式求解；（2）借助平面几何关系建立的等式求解；（3）利用圆锥曲线的相关细则建立的等式求解；（4）运用数形结合建立的等式求解；10.在正方体中，分别是的中点，则（ ）A. B. C. 平面D. 平面【答案】D【解析】分析：对于选项A，由条件可得直线MN与平面相交，因为直线在平面内，可得直线MN与直线不可能平行，判断选项A不对；对于选项B，因为点是的中点，所以要证，只需证。而，所以与不垂直，选项B不对；对于选项C，可用反证法推出矛盾。假设平面，由直线与平面垂直的定义可得。因为是的中点，由等腰三角形的三线合一可得 。这与矛盾。故假设不成立。所以选项C不对；对于选项D，可找与直线MN平行的一条直线，证其垂直于平面。故分别取的中点P、Q，连接PM、QN、PQ。可得四边形为平行四边形。进而可得。正方体中易得，由直线与平面垂直的判定定理可得平面。进而可得平面。详解：对于选项A，因为分别是的中点，所以点平面，点 平面，所以直线MN是平面的交线，又因为直线在平面内，故直线MN与直线不可能平行，故选项A错； 对于选项B，正方体中易知 ，因为点是的中点，所以直线 与直线不垂直。故选项B不对；对于选项C ,假设平面，可得。因为是的中点，所以 。这与矛盾。故假设不成立。所以选项C不对；对于选项D,分别取的中点P、Q，连接PM、QN、PQ。 因为点是的中点，所以且。同理且。所以且，所以四边形为平行四边形。所以。在正方体中， 因为 ，平面 ，平面，所以平面。因为，所以平面。故选项D正确。故选D.点睛：在立体图形中判断直线与直线、直线与平面的位置关系，应熟练掌握直线与直线平行、垂直的判定定理、性质定理，直线与平面平行、垂直的判定定理、性质定理。注意直线与直线、直线与平面、平面与平面平行或垂直之间的互相推导。要判断选项错误，可用反证法得到矛盾。11.已知抛物线，圆，直线，自上而下顺次与上述两曲线交于四点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由圆和直线的方程可知圆的圆心为抛物线的焦点，半径为p。直线过抛物线的焦点。不妨设，由图可知，设，则。由抛物线的定义可得， 。所以 将直线与抛物线方程联立可得，由根与系数的关系可得，代入 化简整理可得= 。详解：圆的圆心为抛物线的焦点，半径为p。直线过抛物线的焦点。设 。不妨设，则 。 由 得 所以 。所以 。故选B。点睛：解决直线与抛物线相交弦长问题，将直线方程与抛物线方程联立，得到一元二次方程，再由根与系数的关系，写出，或。另外注意抛物线定义得运用。解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是：(1)直线的斜率不存在,直线的斜率存,(2)联立直线和曲线的方程组;(3)讨论类一元二次方程，(4)一元二次方程的判别式，(5)韦达定理,同类坐标变换， (6)同点纵横坐标变换， (7)x,y,k(斜率)的取值范围， (8)目标:弦长,中点,垂直,角度,向量,面积,范围等等运用的知识。12.已知函数在区间上单调递增，则的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：由函数在区间上单调递增，可得在区间上恒成立，转化为不等式恒成立问题。故先求导函数得。所以在区间上恒成立，可变形为在区间上恒成立，构造函数，小于等于函数的最小值即可。所以求导得进而解不等式，求函数单调性，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减。就可求其最小值。可得取值范围。详解：因为函数，所以 。因为函数在区间上单调递增，所以在区间上恒成立，即 亦即在区间上恒成立，令 ， 所以 因为，所以 。因为。令，可得。所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减。所以 。 所以 。点睛：（1）函数在区间D上为增函数（减函数），可转化为其不等式在区间D上恒成立。（2）不等式在区间D上恒成立问题，一种方法，可用分离变量法变为在区间D上恒成立问题，求函数的最小（大）值即可；另一种方法，直接构造函数，求函数的最小值（最大值），然后解不等式最小值大于等于0（最大值小于等于0）即可。第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知命题“若为任意的正数，则”能够说明是假命题的一组正数的值依次为_【答案】 （只要填出，的一组正数即可）【解析】分析：能够说明是假命题的一组正数的值，就是不满足不等式的正数的值，故将不等式变形为。找不满足不等式的正数的值即可。详解：由可得。能够说明是假命题的一组正数的值，只需不满足不等式的一组正数的值即可。故答案不唯一。可取1,2,3,。点睛：满足（不满足）不等式的正数的值，就是不等式成立（不成立）的正数的值，可用作差比较法找正数的关系，进而可找正数的值。14.已知向量，若，则_【答案】【解析】分析：要求，应先知道各向量的坐标，故先根据求向量，再求，进而由向量数量积的坐标运算可求得结果。详解：因为向量 若，所以 ， 所以 因为向量所以 。 因为 所以 点睛：向量数量积的运算有坐标运算和定义两种运算，定义运算应知道向量的模和夹角，坐标运算应知道各向量的坐标。，则 。本题考查学生的运算能力及数量积的运算。15.已知函数，若，则_【答案】【解析】分析：求，应先求函数中的。 由可得周期。因为， 再根据，结合正弦函数的图像可得 为相邻的平衡点。进而得函数的周期，求得。得，根据，可得。可得。由条件，求得。进而得函数的解析式。由诱导公式可求函数值。详解：因为周期，因为所以。 因为， 因为，所以 为相邻的平衡点。所以所以。所以 。因为，所以 所以 。因为，所以。所以 所以点睛：求函数解析式中的的值。和函数的最大、最小值有关， 与函数的周期有关，可根据函数图像上的特殊点的坐标求得，注意特殊点与五点的对应。16.若数列满足：，若数列的前99项之和为，则_【答案】【解析】分析：知道数列的前99项之和为，故要求，可先求数列的前100项之和.由条件可得 ， ，以上式子相加可求得，再根据即可求得结果。详解：由可得 以上各式相加可得。 因为数列的前99项之和为，所以。点睛：（1）知道数列的前项之和,求。注意与之间的关系 （2）数列求和问题，注意求和的方法有：裂项抵消、错位相减法、倒序相加、公式法。三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在中，内角，所对的边分别是，已知（）求；（）当时，求的取值范围【答案】（）；（）.【解析】分析：（）方法一，可用正弦定理将条件边化角得 ，由式子左边及两角和的正弦公式和诱导公式可将变为，得。利用两角和的正弦公式变形为，变形得，由，可得，由，可得。方法二，可用余弦定理将条件角化边得，整理变形可得，由余弦定理的推论可求得 。（）由（）知，已知，知对边对角，故可由正弦定理：得：，进而得，因为。所以 。所以，再利用两角和的正弦公式与辅助角公式可得，由，可得，利用正弦函数的图像与性质可得范围.详解：（1）由正弦定理可得：，又，所以，所以，因为，所以（）由正弦定理：得：，所以，因为，所以.点睛：（1）知的边和角，求其它的边和角，注意正弦定理、余弦定理的运用，知对角对边，可用余弦定理；若知边的平方关系，应想到余弦定理； （2）求的取值范围，应将角的个数转化为一个，如，然后用辅助角公式化成一个角的三角函数，用三角函数的性质求取值范围。18.如图，直三棱柱中，D，E分别是BC，的中点证明：平面平面ADE；求三棱锥的高【答案】(1)见解析；（2）.【解析】分析：（1）要证明平面平面，利用平面与平面垂直的判定定理，在其中一个平面内找一条直线与另一个平面垂直。由，是的中点，可得。因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，进而可得。由已知条件直三棱柱中，分别是的中点可得：，进而得，所以，所以。因为，由直线与平面垂直的判定定理可得平面，再由平面与平面垂直的判定定理可得平面平面。（2）求三棱锥的高，直接作高不容易判断垂足的位置，故可以用等体积法求高。由（1）可知可用 来求。由（1）知直线平面ADE，故求，,，进而求得。由条件可求得， ，知三角形边长要求面积，应先求一个角，故由余弦定理推论可得：，进而求，可求, 设三棱锥的高为，由，得：，解得.详解：（1）由已知得：所以所以，所以又因为，是的中点，所以所以平面，所以而，所以平面又平面，所以平面平面；（2）设三棱锥的高为，因为,所以，由已知可求得， ，在中，由余弦定理的推论可得 ，所以，所以,由，得：，所以.点睛：（1）立体几何中证明平面与平面垂直，应注意直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直的互相转化；（2）证明面面垂直需注意以下几点： 由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。 立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方 法之一。 明确何时应用判定定理， 何时应用性质定理， 用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。（3）求点到平面的距离，一种方法，作高求高；一种方法，利用三棱锥等体积转化求高。19.每年的3月21日被定为“世界睡眠日”，拥有良好睡眠对人的健康至关重要，一夜好眠成为很多现代人的诉求某市健康研究机构于2018年3月14日到3月20日持续一周，通过网络调查该市20岁至60岁市民的日平均睡眠时间（单位：小时），共有500人参加调查，其中年龄在区间的有200人，现将调查数据统计整理后，得到如下频数分布表：（1）根据上表，在给定坐标系中画出这500名市民日平均睡眠时间的频率分布直方图；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为该市20岁至60岁市民的日平均睡眠时间与年龄有关；，其中【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.【解析】分析：（1）先500位20岁至60岁市民日平均睡眠时间的频数分布表求得各睡眠时间分组的频数，计算出各睡眠时间分组的频数除以组距的数值，即可画出频率分布直方图。(2) 由所调查的该市500位年龄在区间的市民日平均睡眠时间的频数分布表可得列联表将表中的数据代入公式，可求得的观测值。由于。由附表可得：有99%的把握认为该市20岁至60岁居民的日平均睡眠时间与年龄有关详解：（1）所调查500位20岁至60岁市民日平均睡眠时间的频率分布直方图如下所示：（2）由所调查的该市500位年龄在区间的市民日平均睡眠时间的频数分布表可得列联表的观测值 由于故有99%的把握认为该市20岁至60岁居民的日平均睡眠时间与年龄有关点睛：（1）画频率分布直方图，应先列频数分布表，根据各组频数求其频率，再求出各组的频率除以组距的值，就可画频率分布直方图。（2）独立性性检验，先根据题中的数据列列联表，然后由列联表中的数据求，将所求的观测值与附表中数据比较可判断是否有99%的把握认为该市20岁至60岁市民的日平均睡眠时间与年龄有关。20.已知圆上一动点，过点作轴，垂足为点，中点为（1）当在圆上运动时，求点的轨迹的方程；（）过点的直线与交于两点，当时，求线段的垂直平分线方程【答案】(1)；(2)或【解析】【详解】分析：（1）要求点的轨迹的方程，可设点的坐标为，由条件过点作轴，垂足为点，中点为，可写出点A的坐标。因为点在圆上，故可将点的坐标代入圆的方程，可得点的轨迹。(2)要线段的垂直平分线方程，应先求直线的方程，所以应设直线的方程，根据弦长求直线的方程。因为直线的斜率是否存在不确定，为了避免讨论，可设直线方程为：，并与轨迹的方程联立可得，由根与系数的关系可得，由弦长公式可得，可解得。分情况讨论，求线段的中点，直线的斜率，进而可求线段的垂直平分线方程。详解：（1）设，则将代入圆方程得：点的轨迹（注：学生不写也不扣分）（2）由题意可设直线方程为：，由得：所以所以当时，中点纵坐标，代入得：中点横坐标，斜率为故的垂直平分线方程为：当时，同理可得的垂直平分线方程为：所以的垂直平分线方程为：或点睛：求动点的轨迹方程方法 （1）直接法 按求动点轨迹方程的一般步骤求,其过程是建系设点,列出几何等式,坐标代换,化简整理,主要用于动点具有的几何条件比较明显时（2）代入法 若动点M（x,y）依赖已知曲线上的动点N而运动,则可将转化后的动点N的坐标代入已知曲线的方程或满足的几何条件,从而求得动点M的轨迹方程,此法称为代入法,一般用于两个或两个以上动点的情况（3）定义法 若动点运动的规律满足某种曲线的定义,则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程此法一般用于求圆锥曲线的方程,在高考中常以填空、选择题的形式出现（4）参数法 若动点P（x,y）的坐标x与y之间的关系不易直接找到,而动点变化受到另一变量的制约,则可求出x、y关于另一变量的参数方程,再化为普通方程21.已知函数（1）若曲线的切线经过点，求的方程；（2）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围【答案】(1)或；(2).【解析】分析：（1）要求直线的方程，因为直线经过点，所以应求直线的斜率。应用导函数的几何意义求斜率。故先设切点为，求函数的导函数得，所以，因为切线过点，所以用两点连线的斜率公式可得斜率为，所以，即，整理可得，化简得，解得或。分两种情况讨论，可求斜率，进而求切线的方程。（2）方程有两个不相等的实数根，就是方程有两个不相等的实数根，应构造函数，转化为函数图像与轴有两个交点，即函数有两个零点故应求导，求函数的单调性。求导得。因为的正负与的正负有关。 所以分 三种情况讨论。当时，函数的解析式变为，由二次函数可知此时函数只有一个零点。当时，因为，所以。所以的正负只和的正负有关。所以由得，由得，进而可得在上为减函数，在上为增函数。所以。因为 ，所以在上由唯一的零点，且该零点在上再考虑函数在上零点的个数。因为。当即时，函数在上有一个零点，所以时，函数有两个零点。当即时，所以，取，因为函数在上为减函数，则，所以在上有唯一零点，进而函数在上有唯一零点。所以函数有两个零点当时， 。由，得或。 当即时， ，所以在定义域上为减函数，所以函数至多有一个零点 当即亦即 时，由，。可得在上单调递减，在上单调递增，在单调递减，又因为所以至多有一个零点 当即亦即 时，由，。可得在上单调递增，在和上单调递减，又因为，所以至多有一个零点综上可得的取值范围为详解：（1）设切点为，因为，所以由斜率知：，即，可得，所以或当时，切线的方程为，即，当时，切线的方程为，即综上所述，所求切线的方程为或；（2）由得：，代入整理得：，设则，由题意得函数有两个零点当时，此时只有一个零点当时，由得，由得，即在上为减函 数，在上为增函数，而，所以在上由唯一的零点，且该零点在上若，则，取，则，所以在上有唯一零点，且该零点在上；若，则，所以在上有唯一零点；所以，有两个零点当时，由，得或，若，所以至多有一个零点若，则，易知在上单调递减，在上单调递增，在单调递减，又所以至多有一个零点若，则，易知在上单调递增，在和上单调递减，又，所以至多有一个零点综上所述：的取值范围为点睛：（1）求经