2018-2019学年高中数学_第一章 集合与函数概念 1.3.2 奇偶性 第二课时 函数奇偶性的应用（习题课）课件 新人教a版必修1

第二课时函数奇偶性的应用 习题课 目标导航 新知探求 课堂探究 新知探求 素养养成 自我检测 1 奇偶性与单调性 下列函数中既是偶函数又在 0 上是增函数的是 A y x3 B y x 1 C y x2 1 D y 2x 1 B 2 奇偶性与单调性 已知偶函数在 0 上单调递增 则 A f 1 f 2 B f 1 f 2 C f 1 f 2 D 以上都有可能 A 3 由奇偶性求函数值 已知函数f x 是奇函数 且当x 0时 f x x2 则f 1 等于 A 2 B 0 C 1 D 2 4 最值 若奇函数f x 在区间 3 7 上是增函数 在区间 3 6 上的最大值为8 最小值为 1 则2f 6 f 3 的值为 A 答案 15 题型一 利用奇偶性求函数值 课堂探究 素养提升 解析 因为f x 为定义在R上的奇函数 所以f 0 20 2 0 b 0 解得b 1 所以当x 0时 f x 2x 2x 1 又因为f x 为定义在R上的奇函数 所以f 1 f 1 2 2 1 1 3 故选D 例1 2017 江西自主招生 设f x 为定义在R上的奇函数 当x 0时 f x 2x 2x b b为常数 则f 1 等于 A 3 B 1 C 1 D 3 误区警示本题中当x 0时 函数解析式含参数b 因此需利用奇函数在原点处有定义 则f 0 0的性质 求出b的值 然后根据奇函数性质求f 1 的值 即时训练1 1 设f x 是 上的奇函数 且f x 2 f x 当0 x 1时 f x x 则f 7 5 解析 由f x 2 f x 得f 7 5 f 5 5 2 f 5 5 f 3 5 2 f 3 5 f 1 5 2 f 1 5 f 0 5 2 f 0 5 f 0 5 0 5 答案 0 5 备用例1 2018 浙江省慈溪联考 已知函数f x g x 都是R上的奇函数 且F x f x 3g x 5 若F a b 则F a 等于 A b 10 B b 5 C b 5 D b 10 解析 依题意有F a f a 3g a 5 b 所以f a 3g a b 5 所以F a f a 3g a 5 f a 3g a 5 b 5 5 b 10 故选A 题型二 利用奇偶性求函数f x 的解析式 例2 1 已知f x 是定义在R上的奇函数 当x 0时 f x x2 2x 3 求f x 的解析式 2 已知f x 是定义在R上的偶函数 当x 0时 f x x3 x 1 求f x 的解析式 方法技巧利用函数奇偶性求解析式时的注意事项 1 求哪个区间上的解析式 就在哪个区间上取x 2 然后要利用已知区间的解析式写出f x 3 利用f x 的奇偶性把f x 写成 f x 或f x 从而解出f x 4 要注意R上的奇函数定有f 0 0 若是求整个定义域内的解析式 各区间内解析式不一样时其结果一般为分段函数的形式 此点易忽略 即时训练2 1 f x 是定义在 上的偶函数 且x 0时 f x x3 x2 则当x 0时 f x 解析 当x0 f x x 3 x 2 x3 x2 因为f x f x 所以f x x3 x2 答案 x3 x2 备用例2 已知函数f x 是定义域为R的奇函数 当x 0时 f x x2 2x 1 求出函数f x 在R上的解析式 解 1 由于函数f x 是定义域为R的奇函数 则f 0 0 当x0 因为f x 是奇函数 所以f x f x 所以f x f x x 2 2 x x2 2x 综上 f x 2 画出函数f x 的图象 解 2 图象如图 题型三 函数的奇偶性与单调性的综合 2 解不等式f t 1 f 2t 0 变式探究1 若本例将定义域 1 1 改为R 其他条件不变 则不等式f t 1 f 2t 0的解集是什么 变式探究2 本例中函数的值域是什么 方法技巧利用单调性和奇偶性解不等式的方法 1 充分利用已知的条件 结合函数的奇偶性 把已知不等式转化为f x1 f x2 或f x1 f x2 的形式 再利用单调性脱掉 f 求解 2 在对称区间上根据奇函数的单调性一致 偶函数的单调性相反 列出不等式或不等式组 求解即可 同时要注意函数自身定义域对参数的影响 即时训练3 1 设函数f x 在R上是偶函数 且在区间 0 上递增 且f 2a2 a 1 f 2a2 2a 3 求a的取值范围 题型四抽象函数的奇偶性 例4 定义在R上的函数f x 对任意实数a b都有f a b f a b 2f a f b 成立 且f 0 0 1 求f 0 的值 2 试判断f x 的奇偶性 解 1 令a b 0 则f 0 f 0 2f 0 f 0 即f 0 f2 0 因为f 0 0 所以f 0 1 2 令a 0 b x 则f x f x 2f 0 f x 因为f 0 1 所以f x f x 2f x 所以f x f x 所以f x 是R上的偶函数 方法技巧利用函数奇偶性定义是判断抽象函数奇偶性的重要方法 如本例中 恰当地给a b赋值 是解题的关键 即时训练4 1 已知函数f x 的定义域为D x x R且x 0 且满足对于任意的x1 x2 D都有f x1 x2 f x1 f x2 1 求f 1 及f 1 的值 2 判断f x 的奇偶性并证明 解 1 令x1 x2 1 得f 1 f 1 f 1 所以f 1 0 令x1 x2 1 得f 1 f 1 f 1 0 所以f 1 0 2 f x 是偶函数 令x1 x x2 1 得f x f x f 1 即f x f x 故对任意的x 0都有f x f x 所以f x 是偶函数 备用例3 若函数f x 的定义域是R 且对任意x y R 都有f x y f x f y 成立 1 试判断f x 的奇