三高考（）高考数学试题分项版解析 专题32 选修部分 理.doc

专题32 选修部分1.【2017天津，理11】在极坐标系中，直线与圆的公共点的个数为_.【答案】22.【2017北京，理11】在极坐标系中，点a在圆上，点p的坐标为（1,0），则|ap|的最小值为_.【答案】1【解析】试题分析：将圆的极坐标方程化为普通方程为 ，整理为 ，圆心，点是圆外一点，所以的最小值就是.【考点】1.极坐标与直角坐标方程的互化；2.点与圆的位置关系.【名师点睛】1.运用互化公式：将极坐标化为直角坐标；2.直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化直角坐标系的情境进行3.【2015高考安徽，理12】在极坐标中，圆上的点到直线距离的最大值是 .【答案】【解析】由题意，转化为普通方程为，即；直线转化为普通方程为，则圆上的点到直线的距离最大值是通过圆心的直线上半径加上圆心到直线的距离，设圆心到直线的距离为，圆的半径为，则圆上的点到直线距离的最大值.4. 【2016年高考北京理数】在极坐标系中，直线与圆交于a，b两点，则_.【答案】2【解析】试题分析：分别将直线方程和圆方程化为直角坐标方程：直线为过圆圆心，因此，故填：.考点：极坐标方程与直角方程的互相转化.【名师点睛】将极坐标或极坐标方程转化为直角坐标或直角坐标方程，直接利用公式即可将直角坐标或直角坐标方程转化为极坐标或极坐标方程，要灵活运用x以及，同时要掌握必要的技巧.5.【2015高考广东，理14】(坐标系与参数方程选做题)已知直线的极坐标方程为，点的极坐标为 ，则点到直线的距离为 .【答案】【解析】依题直线：和点可化为：和，所以点与直线的距离为，故应填入【考点定位】极坐标方程化为普通方程，极坐标化平面直角坐标，点到直线的距离，转化与化归思想【名师点睛】本题主要考查正弦两角差公式，极坐标方程化为普通方程，极坐标化平面直角坐标，点到直线的距离，转化与化归思想的应用和运算求解能力，属于容易题，解答此题在于准确把极坐标问题转化为平面直角坐标问题，利用平面几何点到直线的公式求解6. 【2015高考重庆，理15】已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线c的极坐标方程为，则直线l与曲线c的交点的极坐标为_.【答案】7. 【2015高考重庆，理16】若函数的最小值为5，则实数a=_.【答案】或【解析】由绝对值的性质知在或时可能取得最小值，若，或，经检验均不合；若，则，或，经检验合题意，因此或.【考点定位】绝对值的性质，分段函数.【名师点晴】与绝对值有关的问题，我们可以根据绝对值的定义去掉绝对值符号，把问题转化为不含绝对值的式子（函数、不等式等），本题中可利用绝对值定义把函数化为分段函数，再利用函数的单调性求得函数的最小值，令此最小值为5，求得的值8. 【2015高考北京，理11】在极坐标系中，点到直线的距离为【答案】1【解析】先把点极坐标化为直角坐标，再把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线距离公式.9.【2015高考湖北，理16】在直角坐标系中，以o为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为 (为参数) ，与c相交于两点，则 .【答案】【解析】因为，所以，所以，即；由消去得.联立方程组，解得或，即，由两点间的距离公式得.【考点定位】极坐标方程、参数方程与普通方程的转化，两点间的距离.【名师点睛】化参数方程为普通方程时，未注意到普通方程与参数方程的等价性而出错.10.【2017课标1，理22】在直角坐标系xoy中，曲线c的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为.（1）若a=1，求c与l的交点坐标；（2）若c上的点到l的距离的最大值为，求a.试题解析：（1）曲线的普通方程为.当时，直线的普通方程为.由解得或.从而与的交点坐标为，.（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为.当时，的最大值为.由题设得，所以；当时，的最大值为.由题设得，所以.综上，或.【考点】极坐标与参数方程仍然考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，直线与曲线的位置关系.【名师点睛】化参数方程为普通方程主要是消参，可以利用加减消元、平方消元、代入法等等；在极坐标方程与参数方程的条件下求解直线与圆的位置关系问题，通常将极坐标方程化为直角坐标方程，参数方程化为普通方程来解决.11.【2017课标1，理】已知函数f（x）=x2+ax+4，g(x)=x+1+x1.（1）当a=1时，求不等式f（x）g（x）的解集；（2）若不等式f（x）g（x）的解集包含1，1，求a的取值范围.【解析】试题解析：（1）当时，不等式等价于.当时，式化为，无解；当时，式化为，从而；当时，式化为，从而.所以的解集为.（2）当时，.所以的解集包含，等价于当时.又在的最小值必为与之一，所以且，得.所以的取值范围为.【考点】绝对值不等式的解法，恒成立问题.【名师点睛】零点分段法是解答绝对值不等式问题常用的方法，也可以将绝对值函数转化为分段函数，借助图像解题.12. 【2017课标ii，理22】在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为。（1）m为曲线上的动点，点p在线段om上，且满足,求点p的轨迹的直角坐标方程；（2）设点a的极坐标为，点b在曲线上，求面积的最大值。【答案】(1)；(2) 。【解析】试题解析：（1）设的极坐标为，m的极坐标为，由题设知。由得的极坐标方程。因此的直角坐标方程为。（2）设点b的极坐标为,由题设知,于是面积当时，s取得最大值。所以面积的最大值为。【考点】 圆的极坐标方程与直角坐标方程；三角形面积的最值。【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用。重点考查了转化与化归能力。遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解。要结合题目本身特点，确定选择何种方程。13.【2017课标ii，理23】已知。证明：（1）；（2）。【答案】(1)证明略；(2)证明略。【解析】试题解析：(1)(2)因为所以，因此。【考点】 基本不等式；配方法。【名师点睛】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题。若不等式恒等变形之后若与二次函数有关，可用配方法。14.【2017课标3，理22】在直角坐标系xoy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为.设l1与l2的交点为p，当k变化时，p的轨迹为曲线c.（1）写出c的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，m为l3与c的交点，求m的极径.【答案】(1) ；(2) 【解析】试题分析：(1)利用题意首先得到曲线 的参数方程，然后消去参数即可得到曲线 的普通方程；(2)联立两个极坐标方程可得，代入极坐标方程进行计算可得极径的值为 试题解析：（1）消去参数得的普通方程；消去参数m得l2的普通方程 .设,由题设得，消去k得.所以c的普通方程为.（2）c的极坐标方程为 .联立得.故，从而 .代入得，所以交点m的极径为.15.【2017课标3，理23】已知函数f（x）=x+1x2.（1）求不等式f（x）1的解集；（2）若不等式的解集非空，求m的取值范围.【答案】(1) ；(2) 【解析】当时，无解；当时，由得，解得当时，由解得.所以的解集为.（2）由得，而且当时，.故m的取值范围为.【考点】 绝对值不等式的解法【名师点睛】绝对值不等式的解法有三种：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.16.【2017江苏，21】a. 选修41：几何证明选讲(本小题满分10分) 如图，ab为半圆o的直径,直线pc切半圆o于点c，appc，p为垂足. 求证：（1） （2）.【答案】见解析【解析】证明：（1）因为切半圆o于点c，所以，因为为半圆o的直径，所以,因为appc，所以，所以.（2）由（1）知，故，所以【考点】圆性质，相似三角形b. 选修42：矩阵与变换(本小题满分10分) 已知矩阵 a=0110 ，b=1002. （1）求; （2）若曲线在矩阵对应的变换作用下得到另一曲线,求的方程.【答案】（1）0210（2）【解析】解：（1）因为a=， b=，所以ab=.（2）设为曲线上的任意一点，它在矩阵ab对应的变换作用下变为,则，即，所以.因为在曲线上，所以，从而，即.因此曲线在矩阵ab对应的变换作用下得到曲线.c. 选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分） 在平面坐标系中中,已知直线的参考方程为(为参数),曲线的参数方程为(为参数).设为曲线上的动点，求点到直线的距离的最小值.【答案】【解析】解：直线的普通方程为.因为点在曲线上，设，从而点到直线的的距离，当时，.因此当点的坐标为时，曲线上点到直线的距离取到最小值.d.选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分） 已知为实数，且证明【答案】见解析【解析】证明：由柯西不等式可得：，因为所以，因此.【考点】柯西不等式【名师点睛】柯西不等式的一般形式：设a1，a2，an，b1，b2，bn为实数，则(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，当且仅当bi0或存在一个数k，使aikbi(i1,2，n)时，等号成立.17. 【2015江苏高考，21】a（选修41：几何证明选讲） 如图，在中，的外接圆圆o的弦交于点d求证：abcedo（第21a题）【答案】详见解析【解析】试题分析：利用等弦对等角，同弧对等角，得到,又公共角，所以两三角形相似试题解析：因为，所以又因为，所以，又为公共角，可知【考点定位】相似三角形b（选修42：矩阵与变换）已知，向量是矩阵的属性特征值的一个特征向量，矩阵以及它的另一个特征值.【答案】,另一个特征值为【解析】试题分析：由矩阵特征值与特征向量可列出关于x,y的方程组，再根据特征多项式求出矩阵另一个特征值试题解析：由已知，得，即，则，即，所以矩阵从而矩阵的特征多项式，所以矩阵的另一个特征值为【考点定位】矩阵运算，特征值与特征向量【名师点晴】求特征值和特征向量的方法(1)矩阵的特征值满足，属于的特征向量满足.(2)求特征向量和特征值的步骤：解得特征值；解，取x1或y1，写出相应的向量c（选修44：坐标系与参数方程）已知圆c的极坐标方程为，求圆c的半径.【答案】【解析】化简，得则圆的直角坐标方程为，即，所以圆的半径为【考点定位】圆的极坐标方程，极坐标与之间坐标互化【名师点晴】1.运用互化公式：将极坐标化为直角坐标；2.直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化直角坐标系的情境进行d（选修45：不等式选讲）解不等式【答案】【解析】试题分析：根据绝对值定义将不等式化为两个不等式组的并集，分别求解即可试题解析：原不等式可化为或解得或综上，原不等式的解集是18. 【2015高考陕西，理23】选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为（i）写出的直角坐标方程；（ii）为直线上一动点，当到圆心的距离最小时，求的直角坐标【答案】（i）；（ii）【解析】试题分析：（i）先将两边同乘以可得，再利用，可得的直角坐标方程；（ii）先设的坐标，则，再利用二次函数的性质可得的最小值，进而可得的直角坐标试题解析：（i）由，得，从而有，所以.(ii)设，又，则，故当时，取最小值，此时点的直角坐标为.19. 【2015高考陕西，理24】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于的不等式的解集为（i）求实数，的值；（ii）求的最大值【答案】（i），；（ii）【解析】试题分析：（i）先由可得，再利用关于的不等式的解集为可得，的值；（ii）先将变形为，再利用柯西不等式可得的最大值试题解析：（i）由，得则解得,（ii）当且仅当，即时等号成立，故.考点：1、绝对值不等式；2、柯西不等式.20. 【2015高考新课标2，理23】选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线（为参数，），其中，在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线（）.求与交点的直角坐标；（）.若与相交于点，与相交于点，求的最大值【答案】（）和；（）【解析】（）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为联立解得或所以与交点的直角坐标为和（）曲线的极坐标方程为，其中因此得到极坐标为，的极坐标为所以，当时，取得最大值，最大值为【考点定位】1、极坐标方程和直角坐标方程的转化；2、三角函数的最大值21. 【2015高考新课标2，理24】（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲设均为正数，且，证明：（）若，则；（）是的充要条件【答案】（）详见解析；（）详见解析【解析】（）因为，由题设，得因此（）（）若，则即因为，所以，由（）得（）若，则，即因为，所以，于是因此，综上，是的充要条件【考点定位】不等式证明【名师点睛】（）要证明，只需证明，展开结合已知条件易证；（）充要条件的证明需要分为两步，即充分条件的证明和必要条件的证明证明的关键是寻找条件和结论以及它们和已知之间的联系22. 【2014全国2，理20】（本小题满分10分）选修44；坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，半圆c的极坐标方程为，.（）求c的参数方程；（）设点d在c上，c在d处的切线与直线垂直，根据（）中你得到的参数方程，确定d的坐标. 【解析】（）设点m是c上任意一点，则由可得c的普通方程为：，即，所以c的参数方程为是参数，.（）设d点坐标为，由（）知c是以g（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，因为c在点d处的切线与垂直，所以直线gd与的斜率相同，故d点的直角坐标为，即.23. 【2014全国2，理20】（本小题满分10分）选修45：不等式选讲设函数=（）证明：2；（）若，求的取值范围.【解析】（）证明：由绝对值不等式的几何意义可知：，当且仅当时，取等号，所以.（）因为，所以 ，解得：.24. 【2014课标，理23】（本小题满分10分）选修44，坐标系与参数方程已知曲线，直线：（为参数）.（i）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；（ii）过曲线上任意一点作与夹角为的直线，交于点，的最大值与最小值【答案】（i）；（ii）最大值为，最小值为.【解析】（i）曲线c的参数方程为（为参数）直线的普通方程为（ii）曲线c上任意一点到的距离为则其中为锐角，且当时，取到最大值，最大值为当时，取到最小值，最小值为【考点定位】1、椭圆和直线的参数方程；2、点到直线的距离公式；3、解直角三角形25. 【2014课标，理24】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲若，且.（）求的最小值；（）是否存在，使得？并说明理由.【答案】（）；（）不存在【解析】（i）由，得，且当时取等号故，且当时取等号所以的最小值为（ii）由（i）知，由于，从而不存在，使得【考点定位】基本不等式【名师点睛】本题主要考查基本不等式在求函数最值中的应用,在使用基本不等式时一定要注意不等式成立的条件，要注意检验等号成立条件是否具备,本题考查了考生的计算能力和化归和转化问题的能力.26.【2015高考新课标1，理23】选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线:=2，圆：,以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（）求，的极坐标方程；（）若直线的极坐标方程为，设与的交点为, ,求的面积. 【答案】（）,（）【解析】试题分析：（）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得，的极坐标方程；（）将将代入即可求出|mn|，利用三角形面积公式即可求出的面积.试题解析：（）因为，的极坐标方程为，的极坐标方程为.5分 （）将代入，得，解得=，=，|mn|=，因为的半径为1，则的面积=.27.【2015高考新课标1，理24】选修45：不等式选讲已知函数fx=|x+1|-2|x-a|，a0.（）当a=1时，求不等式f(x)1的解集；（）若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.【答案】（）（）（2，+）【解析】（）当a=1时，不等式f(x)1化为|x+1|-2|x-1|1，等价于或或，解得，所以不等式f(x)1的解集为. 5分（）由题设可得， 所以函数的图像与轴围成的三角形的三个顶点分别为，所以abc的面积为.由题设得6，解得.所以的取值范围为（2，+）. 10分【考点定位】含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法【名师点睛】对含有两个绝对值的不等式问题，常用“零点分析法”去掉绝对值化为若干个不等式组问题，原不等式的解集是这些不等式组解集的并集；对函数多个绝对值的函数问题，常利用分类整合思想化为分段函数问题，若绝对值中未知数的系数相同，常用绝对值不等式的性质求最值，可减少计算.（2）（本小题满分7分）选修44：极坐标与参数方程 已知直线的参数方程为，（为参数），圆的参数方程为 ，（为常数）. （i）求直线和圆的普通方程； （ii）若直线与圆有公共点，求实数的取值范围. 【答案】（i）,;（ii）【解析】试题分析：（i）由已知直线的参数方程为，（为参数）,消去参数即可得直线的普通方程.由圆的参数方程 为，（为常数）消去参数,即可得圆的普通方程.（ii）由直线与圆有公共点,等价于圆心到直线的距离小于或等于圆的半径4,由点到直线的距离公式即可得到结论.试题解析：（i）直线的普通方程为.圆c的普通方程为.（ii）因为直线与圆有公共点,故圆c的圆心到直线的距离,解得.考点：1.参数方程.2.直线与圆的位置关系.（3）（本小题满分7分）选修45：不等式选将 已知定义在r上的函数的最小值为. （i）求的值； （ii）若为正实数，且，求证：.【答案】（i）;（ii）参考解析【解析】试题分析：（i）已知定义在r上的函数的最小值,由绝对值的性质可得函数的最小值.即可得到结论.（ii）由（i）可得,再根据柯西不等式即可得到结论.试题解析：（i）因为,当且仅当时,等号成立,所以的最小值等于3,即.（ii）由（i）知,又因为是正数,所以,即.考点：1.绝对值不等式.2.柯西不等式.28.【2015高考福建，理21】选修4-2：矩阵与变换已知矩阵()求a的逆矩阵；()求矩阵c，使得ac=b.【答案】()； ()【解析】(1)因为所以(2)由ac=b得,故24. 【2015高考福建，理21】选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，圆c的参数方程为.在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点o为极点，以轴非负半轴为极轴）中，直线l的方程为()求圆c的普通方程及直线l的直角坐标方程；()设圆心c到直线l的距离等于2，求m的值【答案】() ，；() 【解析】()消去参数t，得到圆的普通方程为,由，得,所以直线l的直角坐标方程为.()依题意，圆心c到直线l的距离等于2，即解得【考点定位】1、参数方程和普通方程的互化；2、极坐标方程和直角坐标方程的互化；3、点到直线距离公式【名师点睛】本题考查圆的参数方程和普通方程的转化、直线极坐标方程和直角坐标方程的转化以及点到直线距离公式，消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：代入消元法；加减消元法；乘除消元法；三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将和换成和即可29. 【2015高考福建，理21】选修4-5：不等式选讲已知，函数的最小值为4()求的值；()求的最小值【答案】()；()【解析】()因为，当且仅当时，等号成立，又，所以,所以的最小值为,所以()由(1)知，由柯西不等式得,即.当且仅当,即时，等号成立所以的最小值为.【考点定位】1、绝对值三角不等式；2、柯西不等式30. 【2015湖南理16】（）已知直线（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1） 将曲线c的极坐标方程化为直角坐标方程；（2） 设点的直角坐标为，直线与曲线c 的交点为，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）利用，即可将已知条件中的极坐标方程转化直角坐标方程；（2）联立直线的参数方程与圆的直角方程，利用参数的几何意义结合韦达定理即可求解.试题解析：（1）等价于，将，代入，记得曲线c的直角坐标方程为；（2）将代入，得，设这个方程的两个实数根分别为，则由参数的几何意义即知，.（）设，且.（1）；（2）与不可能同时成立.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）将已知条件中的式子可等价变形为，再由基本不等式即可得证；（2）利用反证法，假设假设与同时成立，可求得，从而与矛盾，即可得证试题解析：由，得，（1）由基本不等式及，有，即；（2）假设与同时成立，则由及得，同理，从而，这与矛盾，故与不可能成立.【考点定位】1.基本不等式；2.一元二次不等式；3.反证法.【名师点睛】本题主要考查了不等式的证明与反证法等知识点，属于中档题，第一小问需将条件中的式子作等价变形，再利用基本不等式即可求解，第二小问从问题不可能同时成立，可以考虑采用反证法证明，否定结论，从而推出矛盾，反证法作为一个相对冷门的数学方法，在后续复习时亦应予以关注.【名师点睛】近几年几何证明题多以圆为载体命制,在证明时要抓好“长度关系”与“角度关系的转化”,熟悉相关定理与性质.该部分内容命题点有：平行线分线段成比例定理；三角形的相似与性质；四点共圆；圆内接四边形的性质与判定；切割线定理.31.【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xy中,曲线c1的参数方程为（t为参数,a0）在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线c2：=.（i）说明c1是哪一种曲线,并将c1的方程化为极坐标方程；（ii）直线c3的极坐标方程为,其中满足tan=2,若曲线c1与c2的公共点都在c3上,求a【答案】（i）圆,（ii）1【解析】为以为圆心,为半径的圆方程为,即为的极坐标方程,两边同乘得,即：化为普通方程为,由题意：和的公共方程所在直线即为得：,即为,考点：参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用【名师点睛】“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟记极坐标方程与参数方程的互化公式及应用.32.【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）,选修45：不等式选讲已知函数.（i）在答题卡第（24）题图中画出的图像；（ii）求不等式的解集【答案】（i）见解析（ii）【解析】试题分析：（i）取绝对值得分段函数,然后作图；（ii）用零点分区间法分,分类求解,然后取并集试题解析：如图所示：,当,解得或,当,解得或或33.【2016高考新课标2理数】选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆的方程为（）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；（）直线的参数方程是（为参数）,与交于两点，求的斜率【答案】（）；（）.【解析】试题分析：（i）利用，可得c的极坐标方程；（ii）先求直线的极坐标方程，将的