趋势变动.ppt

第二节长期趋势分析 时间序列的构成要素与模型线性趋势非线性趋势趋势线的选择 时间序列的构成要素与模型 构成要素与测定方法 循环变动C Cyclical 不规则变动I Irregular 季节变动S Seasonal 时间序列的构成要素与模型 要点 构成因素长期趋势 Seculartrend 季节变动 SeasonalFluctuation 循环波动 CyclicalMovement 不规则波动 IrregularVariations 模型乘法模型 Yi Ti Si Ci Ii加法模型 Yi Ti Si Ci Ii 加法模型 Y T S C I 乘法模型 Y T S C IY T S IY T C I 时间数列分析模型取决于对各因素组合模式的理解 同时也决定时间数列的分析方法 长期趋势 现象在较长时期内持续发展变化的一种趋向或状态由影响时间序列的基本因素作用形成时间序列的主要构成要素有线性趋势和非线性趋势 测定长期趋势的目的主要有三个 把握现象的趋势变化 从数量方面研究现象发展的规律性 探求合适趋势线 为测定季节变动的需要 测定长期趋势常用的主要方法有 间隔扩大法 趋势法 长期趋势的类型基本有二种 直线趋势 非直线趋势 即趋势曲线 间隔扩大法 某工厂某年各月增加值完成情况单位 万元 通过扩大时间间隔 编制成如下新的动态数列 由月资料整理的季度资料 趋势明显是不断增长的 原来的月资料则表现出波动 将季度资料也可改用间隔扩大平均数编制成如下数列 上表也可看出其逐期增长的趋势 线性趋势 线性趋势 现象随时间的推移呈现出稳定增长或下降的线性变化规律测定方法有移动平均法线性模型法指数平滑法 移动平均法 MovingAverageMethod 测定长期趋势的一种较简单的常用方法通过扩大原时间序列的时间间隔 并按一定的间隔长度逐期移动 计算出一系列移动平均数由移动平均数形成的新的时间序列对原时间序列的波动起到修匀作用 从而呈现出现象发展的变动趋势移动步长为K 1 K n 的移动平均序列为 移动平均法 Movingaverages 通过平均每一个连续数列值来修匀时间数列的方法 是平滑法 smoothing 的一种 移动平均法的概念 三项移动平均线 移动平均法的计算 奇数项移动 偶数项移动 原数列 移动平均 新数列 原数列 移动平均 移正平均 新数列 原数列 三项移动平均 五项移动平均 四项移动平均 其他的移动平均法 原三项移动平均线 将三项移动平均线的起点对准第三期 将三项移动平均线的起点对准第四期 本期或下期预测值 移动平均法 实例 例9 已知1981 1998年我汽车产量数据如表11 6 分别计算三年和五年移动平均趋势值 以及三项和五项移动中位数 并作图与原序列比较 移动平均法 趋势图 移动平均法 应注意的问题 移动平均后的趋势值应放在各移动项的中间位置对于偶数项移动平均需要进行 中心化 移动间隔的长度应长短适中如果现象的发展具有一定的周期性 应以周期长度作为移动间隔的长度若时间序列是季度资料 应采用4项移动平均若为月份资料 应采用12项移动平均 一般的移动平均方法使原数列首尾各去除了若干项 因此不能用于外推预测 当数列没有明显的长期趋势 季节变动和循环变动时 可以用移动平均法进行预测 但要进行特别的计算处理 简单移动平均法 将每个观察值都给予相同的权数只使用最近期的数据 在每次计算移动平均值时 移动的间隔都为k主要适合对较为平稳的时间序列进行预测应用时 关键是确定合理的移动间隔长对于同一个时间序列 采用不同的移动步长预测的准确性是不同的选择移动步长时 可通过试验的办法 选择一个使均方误差达到最小的移动步长 加权移动平均法 weightedmovingaverage 对近期的观察值和远期的观察值赋予不同的权数后再进行预测当时间序列的波动较大时 最近期的观察值应赋予最大的权数 较远的时期的观察值赋予的权数依次递减当时间序列的波动不是很大时 对各期的观察值应赋予近似相等的权数所选择的各期的权数之和必须等于1对移动间隔 步长 和权数的选择 也应以预测精度来评定 即用均方误差来测度预测精度 选择一个均方误差最小的移动间隔和权数的组合 指数平滑法 exponentialsmoothing 是加权平均的一种特殊形式对过去的观察值加权平均进行预测的一种方法观察值时间越远 其权数也跟着呈现指数的下降 因而称为指数平滑有一次指数平滑 二次指数平滑 三次指数平滑等一次指数平滑法也可用于对时间序列进行修匀 以消除随机波动 找出序列的变化趋势 一次指数平滑 singleexponentialsmoothing 只有一个平滑系数观察值离预测时期越久远 权数变得越小以一段时期的预测值与观察值的线性组合作为第t 1期的预测值 其预测模型为 Yt为第t期的实际观察值Ft为第t期的预测值 为平滑系数 0 1 一次指数平滑 在开始计算时 没有第1期的预测值F1 通常可以设F1等于第1期的实际观察值 即F1 Y1第2期的预测值为第3期的预测值为 一次指数平滑 预测误差 预测精度 用误差均方来衡量Ft 1是第t期的预测值Ft加上用 调整的第t期的预测误差 Yt Ft 一次指数平滑 的确定 不同的 会对预测结果产生不同的影响一般而言 当时间序列有较大的随机波动时 宜选较大的 以便能很快跟上近期的变化当时间序列比较平稳时 宜选较小的 选择 时 还应考虑预测误差误差均方来衡量预测误差的大小确定 时 可选择几个进行预测 然后找出预测误差最小的作为最后的值 趋势线拟合法的基本程序 判断趋势类型 计算待定参数 利用方程预测 线性模型法 概念要点与基本形式 现象的发展按线性趋势变化时 可用线性模型表示线性模型的形式为 时间序列的趋势值t 时间标号a 趋势线在Y轴上的截距b 趋势线的斜率 表示时间t变动一个单位时观察值的平均变动数量 线性模型法 a和b的最小二乘估计 趋势方程中的两个未知常数a和b按最小二乘法 Least squareMethod 求得根据回归分析中的最小二乘法原理使各实际观察值与趋势值的离差平方和为最小最小二乘法既可以配合趋势直线 也可用于配合趋势曲线根据趋势线计算出各个时期的趋势值 线性模型法 a和b的最小二乘估计 1 根据最小二乘法得到求解a和b的标准方程为 取时间序列的中间时期为原点时有 t 0 上式可化简为 解得 解得 线性模型法 实例及计算过程 例10 利用表11 6中的数据 根据最小二乘法确定汽车产量的直线趋势方程 计算出1981 1998年各年汽车产量的趋势值 并预测2000年的汽车产量 作图与原序列比较 线性模型法 计算结果 根据上表得a和b结果如下 线性模型法 趋势图 非线性趋势 现象的发展趋势为抛物线形态一般形式为 二次曲线 SecondDegreeCurve a b c为未知常数根据最小二乘法求得 二次曲线 SecondDegreeCurve 取时间序列的中间时期为原点时有 根据最小二乘法得到求解a b c的标准方程为 二次曲线 实例 例11 已知我国1978 1992年针织内衣零售量数据如表11 9 试配合二次曲线 计算出1978 1992年零售量的趋势值 并预测1993年的零售量 作图与原序列比较 二次曲线 计算过程 二次曲线 计算结果 根据计算表得a b c的结果如下 二次曲线 趋势图 用于描述以几何级数递增或递减的现象一般形式为 指数曲线 Exponentialcurve a b为未知常数若b 1 增长率随着时间t的增加而增加若b0 b 1 趋势值逐渐降低到以0为极限 指数曲线 a b的求解方法 取时间序列的中间时期为原点 上式可化简为 采取 线性化 手段将其化为对数直线形式根据最小二乘法 得到求解lga lgb的标准方程为 指数曲线 实例及计算结果 例12 根据表11 6中的资料 确定1981 1998年我国汽车产量的指数曲线方程 求出各年汽车产量的趋势值 并预测2000年的汽车产量 作图与原序列比较 汽车产量的指数曲线方程为 2000年汽车产量的预测值为 指数曲线 趋势图 指数曲线与直线的比较 比一般的趋势直线有着更广泛的应用可以反应出现象的相对发展变化程度上例中 b 1 14698表示1981 1998年汽车产量趋势值的平均发展速度不同序列的指数曲线可以进行比较比较分析相对增长程度 在一般指数曲线的基础上增加一个常数K一般形式为 修正指数曲线 Modifiedexponentialcurve K a b为未知常数K 0 a 0 0 b 1 修正指数曲线用于描述的现象 初期增长迅速 随后增长率逐渐降低 最终则以K为增长极限 修正指数曲线 求解k a b的三和法 趋势值K无法事先确定时采用将时间序列观察值等分为三个部分 每部分有m个时期令趋势值的三个局部总和分别等于原序列观察值的三个局部总和 修正指数曲线 求解k a b的三和法 根据三和法求得 设观察值的三个局部总和分别为S1 S2 S3 修正指数曲线 实例 例13 已知1978 1995年我国小麦单位面积产量的数据如表11 12 试确定小麦单位面积产量的修正指数曲线方程 求出各年单位面积产量的趋势值 并预测2000年的小麦单位面积产量 作图与原序列比较 修正指数曲线 计算结果 解得K a b如下 修正指数曲线 计算结果 修正指数曲线 趋势图 以英国统计学家和数学家B Gompertz而命名一般形式为 K a b为未知常数K 0 0 a 1 0 b 1 龚铂茨曲线 Gompertzcurve 所描述的现象 初期增长缓慢 以后逐渐加快 当达到一定程度后 增长率又逐渐下降 最后接近一条水平线两端都有渐近线 上渐近线为Y K 下渐近线为Y 0 将其改写为对数形式 Gompertz曲线 求解k a b的三和法 仿照修正指数曲线的常数确定方法 求出lga lgK b取lga lgK的反对数求得a和K令 则有 Gompertz曲线 实例 例14 根据表11 12的数据 试确定小麦单位面积产量的Gompertz曲线方程 求出各年单位面积产量的趋势值 并预测2000年的小麦单位面积产量 作图与原序列比较 Gompertz曲线 计算结果 Gompertz曲线 计算结果 小麦单位面积产量的Gompertz曲线方程为 2000年小麦单位面积产量的预测值为 Gompertz曲线 趋势图 罗吉斯蒂曲线 LogisticCurve K a b为未知常数K 0 a 0 0 b 1 1838年比利时数学家Verhulst所确定的名称该曲线所描述的现象的特征与Gompertz曲线类似3