2018-2019学年北京市西城区高二第一学期期末考试数学试题(解析版).doc

2018-2019学年北京市西城区高二第一学期期末考试数学试题一、单选题1椭圆的离心率为（ ）A B C D【答案】B【解析】由椭圆方程得到的值，然后由求得的值，进而求得离心率.【详解】根据椭圆标准方程，得，故，所以椭圆的离心率为.故选B.【点睛】本小题主要考查根据椭圆的标准方程写出，根据椭圆的几何性质求离心率，属于基础题.2命题“对任意的，”的否定是（ ）A不存在，B存在，C存在，D对任意的，【答案】C【解析】根据全称命题的否定是特称命题，写出原命题的否定，注意否定结论.【详解】原命题是全称命题，故其否定是特称命题，主要到要否定结论，故原命题的否定是“存在，”.故选C.【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题，考查全称命题的否定是特称命题，属于基础题.3数列的前项和为，且，则等于（ ）A B C D【答案】D【解析】根据已知条件得到数列是等比数列，并且得到首项和公比，根据等比数列前项和公式求得.【详解】由可知数列为等比数列，且公比为，首项为，故.所以选D.【点睛】本小题主要考查等比数列的定义，考查等比数列前项和公式，属于基础题.4已知点，是中点，则点的坐标为（ ）A B C D【答案】A【解析】根据中点坐标公式，求得的中点的坐标.【详解】根据中点坐标公式得，即，故选A.【点睛】本小题主要考查空间坐标计算，考查空间两点中点坐标的求法，属于基础题.5平面经过三点，则平面的法向量可以是（ ）A B C D【答案】D【解析】对四个选项，通过计算判断是否是平面的法向量.【详解】设平面的法向量为，对于选项，故A选项错误.对于B选项，故B选项错误.对于C选项，故C选项错误.对于D选项，由于，故D选项符合题意.所以本题选D.【点睛】本小题主要考查空间法向量的概念以及法向量的判断，属于基础题.6如果，那么下列不等式中正确的是（ ）A B C D【答案】C【解析】利用的特殊值，代入选项逐一判断选项是否正确，由此得出正确选项.【详解】令.对于A选项，所以A选项错误.对于B选项，故B选项错误.对于C选项，C选项正确.对于D选项，故D选项错误.综上所述，本小题选C.【点睛】本小题主要考查比较数的大小，考查选择题的特殊值排除法，属于基础题.比较两个数的大小，对于对于选择题或者填空题来说，最主要的方法是特殊值法.还有的方法就是利用不等式的性质，或者指数函数单调性、对数函数的单调性来求解.如果问题较为复杂，还需要借助奇偶性，结合图像来求解.7已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点坐标，则双曲线的方程为（ ）A BC D【答案】C【解析】直接利用双曲线的渐近线方程以及焦点坐标，得到关系式，求出、，即可得到双曲线方程.【详解】双曲线的一条渐近线方程是，可得，它的一个焦点坐标为，可得，即，解得，所求双曲线方程为：.故选：C.【点睛】本题考查双曲线的方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力.8设数列是等比数列，则“”是“为递增数列”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当时，虽然有，但是数列不是递增数列，所以不充分；反之当数列是递增数列时，则必有，因此是必要条件，应选答案B。点睛：解答本题时，充分借助题设条件，先运用充分条件的定义进行判断，借助反例说明其不是充分条件，进而确定其逆命题是真命题，从而说明是必要条件，进而说明是必要不充分条件，选出正确答案。9已知. 将四个数按照一定顺序排列成一个数列，则（ ）A当时，存在满足已知条件的，四个数构成等比数列B当时，存在满足已知条件的，四个数构成等差数列C当时，存在满足已知条件的，四个数构成等比数列D当时，存在满足已知条件的，四个数构成等差数列【答案】D【解析】注意到时，符合题目的要求，由此得出正确选项.【详解】注意到时，且的值为，构成公差为的等差数列.由此判断出D选项正确.故选D.【点睛】本小题主要考查等比数列、等差数列的定义，考查分析求解能力，属于基础题.二、填空题10抛物线的焦点坐标为_.【答案】【解析】试题分析：根据抛物线方程求得p，则根据抛物线性质可求得抛物线的焦点坐标。解：抛物线方程中p=2，抛物线焦点坐标为（-1，0）故填写【考点】抛物线的简单性质点评：本题主要考查了抛物线的简单性质属基础题11在数列中，是它的第_项.【答案】【解析】注意到通项公式为，需要是的倍数，将代入验证可知是数列的第项.【详解】依题意可知数列的通项公式为，当时，.故是第项.【点睛】本小题主要考查数列的通项公式，考查分析和推理能力，属于基础题.12不等式的解集为_.【答案】【解析】因为，解集为，故答案为13设函数. 当时，在区间上的最小值为_； 若在区间上存在最小值，则满足条件的一个的值为_.【答案】 即可 【解析】当时，利用基本不等式求得最小值. 利用基本不等式，研究函数的最小值，并根据基本不等式等号成立的条件，求得的取值范围.【详解】当时，由基本不等式得，当且仅当时等号成立，故最小值为.由基本不等式得，当且仅当时等号成立，故，即.填的任意一个都符合题意.【点睛】本小题主要考查基本不等式的知识和应用，考查基本不等式“一正，二定，三相等”的要求，属于基础题.一正，即利用基本不等式，要确保为正数.二定是指基本不等式求得的结果为定值，不能含有变量.三相等是指等号成立的条件，也即当且仅当时，取得等号.14已知椭圆，抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为坐标原点.下表给出坐标的五个点中，有两个点在上，另有两个点在上. 则椭圆的方程为_，的左焦点到的准线之间的距离为_. 【答案】 【解析】首先判断出在椭圆上，进而判断出在抛物线上，求得抛物线方程，以及另一个抛物线上点的坐标.判断出在椭圆上，并由此求得椭圆方程，进而求得椭圆左焦点到抛物线的准线的距离.【详解】注意到在椭圆上，故，根据椭圆的范围可知，横坐标为的点不在椭圆上.设抛物线方程为，在抛物线上，即，即，且在抛物线的图像上，抛物线准线为.设椭圆的方程为，将代入，求得，不符合题意.将点代入，求得，符合题意，故椭圆方程为.故左焦点为.所以抛物线的准线和椭圆左焦点的距离为.【点睛】本小题主要考查抛物线标准方程的求解，考查抛物线的几何性质，考查椭圆标准方程的求解以及椭圆的几何性质，考查分析和推理的能力，属于中档题.椭圆和坐标轴轴有四个交点，而抛物线和坐标轴的交点为，因此，本题中的成为解题的突破口，由此可以判断其它点是椭圆还是在抛物线上.抛物线的方程只需要抛物线上一个点的坐标就可以求解出来.三、解答题15已知等差数列的公差为，且成等比数列. （）求的通项公式；（）设的前项和为，求的值.【答案】（）（）220【解析】（I）根据等比中项的性质，列出方程，并转化为的形式，由此求得的值，并求出数列的通项公式.（II）利用等差数列前项和公式，求得的值.【详解】（）因为成等比数列，所以所以， 又的公差为，所以，解得. 所以的通项公式为.（） . 所以，的值为.【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等差数列的基本量、通项公式和前项和.基本元的思想是在等差数列中有个基本量，利用等差数列的通项公式或前项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列，进而求得数列其它的一些量的值.16已知函数，.（）当时，求满足的的取值范围；（）解关于的不等式；（）若对于任意的，均成立，求的取值范围【答案】（）（）见解析【解析】（I）当时，解一元二次不等式求得的取值范围.（II）化简为一元二次不等式的形式并因式分解，对分成三类，求得不等式的解集.（III）将不等式分离常数，变为，根据的取值范围，求得的取值范围.【详解】（）当时，所以，即 解得.所以的解集为. （） 由，得 ，所以 ，当时，解集为；当 时，解集为空集；当时，解集为.（），即 ，所以 .因为对于任意的，均成立.所以对于任意的，均成立. 所以 .即的取值范围是.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查含有参数的一元二次不等式分类讨论，考查恒成立问题的解法.属于中档题.17已知椭圆长轴是短轴的倍，且右焦点为.（）求椭圆C的标准方程；（）直线交椭圆于两点，若线段中点的横坐标为，求直线的方程及的面积.【答案】（）（）1【解析】（I）根据焦点坐标求得，根据长轴和短轴的对应关系，以及列方程组，可求得的值，进而求得椭圆的标准方程.（II）联立直线的方程和椭圆的方程，消去并化简，写出韦达定理，根据中点的横坐标求得的值.利用弦长公式求得，利用点到直线的距离公式求得焦点到直线的距离，由此求得三角形的面积.【详解】（）因为长轴是短轴的倍，所以. 因为焦点的坐标为，所以.结合，得.所以椭圆方程为.（）设，.由得.则.因为线段中点的横坐标为，所以 .解得 ，即（符合题意） 所以直线的方程为， 因为 . 点到直线的距离. 所以的面积 .即的面积等于.【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求解，考查椭圆的几何性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查有关椭圆的三角形的面积和弦长公式.在解有关椭圆方程的题目过程中，主要是根据题意，列出有关三个量的关系式，解方程组求得的值，也即求得了椭圆的标准方程.18如图，四棱锥的底面是直角梯形， ，是的中点，.（）证明：平面； （）求二面角的大小； （）线段上是否存在一点，使得直线平面. 若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.【答案】（）见证明；（）；（）见解析【解析】（I）依题意易得两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系通过,证得平面.（II）通过计算平面和平面的法向量，由此计算出面面角的余弦值，进而求得二面角的大小.（III）设出的坐标，利用直线的方向向量和平面的法向量垂直，求出关于点坐标的参数，由此判断出点的位置.【详解】（）因为 平面.所以，又. 如图，以为原点建立空间直角坐标系由题意得所以,. 所以,所以,所以平面. （）设平面的法向量为，因为. 所以，即，令，则.于是. 因为平面，所以为平面的法向量，又.所以.因为所求二面角为钝角，所以二面角大小为.（）解：设，. 设平面的法向量，则，即 ，令，. 于是，如果直线平面，那么，解得 .所以，存在点为线段靠近点的三等分点，使得直线平面.【点睛】本小题主要考查利用空间向量法证明线面垂直，考查利用空间向量法求面面角的大小，考查利用空间向量法确定点的位置，属于中档题.19已知椭圆（）的离心率为，左顶点B与右焦点之间的距离为3（）求椭圆的标准方程；（）设直线交轴于点，过且斜率不为的直线与椭圆相交于两点，连接并延长分别与直线交于两点. 若，求点的坐标【答案】（）（）【解析】（I）根据椭圆的离心率和左顶点到右焦点的距离列方程组，求得的值，结合求得的值，由此求得椭圆的标准方程.（II）设出直线的方程，与椭圆方程联立，消去并化简，写出韦达定理.根据由三点共线以及由三点共线求得两点的纵坐标，根据题意得到，将已知条件代入，化简后可求得的值，求得的坐标.【详解】（）由题意可知 且， 解得，.所以.所以椭圆的方程是 （）设的坐标分别为，直线的方程为.将直线方程与椭圆方程联立，得.所以 ，. 设两点的坐标分别为，由三点共线，得：，从而； 由三点共线，得 ，从而； 因为，所以. 所以 ，即 ，整理得.又 ，所以（）. 将， 代入（），整理得. 解之，得或（舍）.所以点的坐标为.【点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程及几何意义，考查直线和椭圆的位置关系，属于中档题.20已知为实数，数列满足，.（）当和时，分别写出数列的前5项；（）证明：当时，存在正整数，使得；（）当时，是否存在实数及正整数，使得数列的前项和？若存在，求出实数及正整数的值；若不存在，请说明理由.【答案】（）见解析（）见证明；（）见解析【解析】（I）利用递推公式，依次计算出的值.（II）当时，此时数列为递减的等差数列，且公差为，故总有一项是不大于的.根据这一项在之间讨论，结合数列的递推公式，判断出正整数存在.（III）将分成三类，求得的表达式，由此判断出不存在实数正整数，使得.【详解】（）当时，； 当时，. （）当时，. 所以，在数列中直到第一个小于等于的项出现之前，数列是以为首项，为公差的递减的等差数列. 即. 所以，当足够大时，总可以找到，使. （1）若，令