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人教版九年级数学上册知识点总结人教版九年级数学上册知识点总结 第二十一章第二十一章 二次根式二次根式 21 1 二次根式二次根式 知识点一知识点一 二次根式的概念二次根式的概念 1 一般一般地地 我们把形如我们把形如a a 0 的式子叫做二次根式 二次根式的式子叫做二次根式 二次根式a的实质是一个非负数的实质是一个非负数 a的算术平方根 其中 的算术平方根 其中 叫做二次根 叫做二次根 号 号 2 2 正确理解二次根式的概念 要把握以下几点 正确理解二次根式的概念 要把握以下几点 二次根式是在形式上定义的 必须含有二次根号 二次根式是在形式上定义的 必须含有二次根号 如 如4是二次根式 虽然是二次根式 虽然4 2 2 但 但 2 2 不是二次根式 不是二次根式 被开方数被开方数 a a 必须是非负数 即必须是非负数 即 a a 0 0 如如3 就不是二次根式 但式子就不是二次根式 但式子 3 2 2是二次根式 是二次根式 的根指数为 的根指数为 2 2 即 即 2 一般省略根指数 一般省略根指数 2 2 写作 写作 注意 不可误认为根指数是 注意 不可误认为根指数是 1 1 或 或 0 0 提示 判断是不是二次根式 一看形式 二看数值 即形式上要有二次根号 被开方数要是非负数 提示 判断是不是二次根式 一看形式 二看数值 即形式上要有二次根号 被开方数要是非负数 知识点二知识点二 二次根式的性质二次根式的性质 1 1 a a a 0 0 既是二次根式 又是非负数的算术平方根 所以它一定是非负数 即 既是二次根式 又是非负数的算术平方根 所以它一定是非负数 即a a a 0 0 我们把这个性质叫做二次 我们把这个性质叫做二次 根式的非负性 根式的非负性 2 2 a 2 2 a a a a 0 0 这个性质可以正用 也可以逆用 正用时常用于二次根式的化简和计算 可以去掉根号 逆用时可以把 这个性质可以正用 也可以逆用 正用时常用于二次根式的化简和计算 可以去掉根号 逆用时可以把 一个非负数写成完整平方数的形式 常用于多项式的因式分解 一个非负数写成完整平方数的形式 常用于多项式的因式分解 3 3 a 2 2 a a a a 0 0 这个性质可以正用 也可以逆用 正用时用于二次根式的化简 即当被开方数能化为完全平方数 式 时 这个性质可以正用 也可以逆用 正用时用于二次根式的化简 即当被开方数能化为完全平方数 式 时 就可以利用该性质去掉根号 逆用时可以把一个非负数化为一个二次根式 就可以利用该性质去掉根号 逆用时可以把一个非负数化为一个二次根式 知识点三知识点三 代数式代数式 定义 用基本运算符号 基本定义 用基本运算符号 基本运算包括加 减 乘 除 乘方和开方 把数和表示数的字母连接起来的式子 叫做代数式 运算包括加 减 乘 除 乘方和开方 把数和表示数的字母连接起来的式子 叫做代数式 21 2 21 2 二次根式的乘除二次根式的乘除 知识点一知识点一 二次根式的乘法法则二次根式的乘法法则 一般地 对二次根式的乘法规定 一般地 对二次根式的乘法规定 a b ab a a 0 b0 b 0 0 即二次根式相乘 把被开方数相乘 根指数不变 即二次根式相乘 把被开方数相乘 根指数不变 知识点二知识点二 积的算术平方根的性质积的算术平方根的性质 ab a b a a 0 0 b b 0 0 积的算术平方根等于积中各个因式的算术平方根的积 积的算术平方根等于积中各个因式的算术平方根的积 知识点三知识点三 二次根式的除法法则二次根式的除法法则 一般地 对二次根式的除法规定 一般地 对二次根式的除法规定 b a b a a a 0 0 b b 0 0 即两个二次根式相除 把被开方数相除 根指数不变 即两个二次根式相除 把被开方数相除 根指数不变 知识点四知识点四 商的算术平方根的性质商的算术平方根的性质 b a b a a a 0 b0 b 0 0 即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 知识点五知识点五 最简二次根式最简二次根式 必须满足以下两个条件 必须满足以下两个条件 1 1 被开方数不含分母 被开方数不含分母 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 21 3 21 3 二次根式的加减二次根式的加减 知识点一知识点一 二次根式的加减二次根式的加减 二次根式加减时 可以先将二次根式化成最简二次根式 再将被开方数相同的二次根式合并 二次根式加减法的实质是将被开方数相同二次根式加减时 可以先将二次根式化成最简二次根式 再将被开方数相同的二次根式合并 二次根式加减法的实质是将被开方数相同 的二次根式合并 合并时只把系数相加减 根指数和被开方数不变 的二次根式合并 合并时只把系数相加减 根指数和被开方数不变 知识点二知识点二 二次根式的混合运算二次根式的混合运算 1 1 二次根式的混合运算顺序与整二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序相同式的混合运算顺序相同 先乘方开方 再乘除 最后加减 有括号的先算括号里面的 先乘方开方 再乘除 最后加减 有括号的先算括号里面的 2 2 在二次根式的运算中乘法法则和乘法公式仍然适用 在二次根式的运算中乘法法则和乘法公式仍然适用 22 1 22 1 一元二次方程一元二次方程 知识点一知识点一 一元二次方程的定义一元二次方程的定义 等号两边都是整式 只含有一个未知数 一元 并且未知数的最高次数是等号两边都是整式 只含有一个未知数 一元 并且未知数的最高次数是 2 2 二次 的方程 叫做一元二次方程 二次 的方程 叫做一元二次方程 注意一下几点 注意一下几点 只含有一个未知数 未知数的最高次数是只含有一个未知数 未知数的最高次数是 2 2 是整式方程 是整式方程 知识点二知识点二 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式 一般形式 一般形式 axax 2 2 bx c 0 a bx c 0 a 0 0 其中 其中 axax 2 2 是二次项 是二次项 a a 是二次项系数 是二次项系数 bxbx 是一次项 是一次项 b b 是一次项是一次项系数 系数 c c 是常数项 是常数项 知识点三知识点三 一元二次方程的根一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解 也叫做一元二次方程的根 方程的解的定义是解方程过程中验根的使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解 也叫做一元二次方程的根 方程的解的定义是解方程过程中验根的 依据 依据 22 2 22 2 降次降次 解一元二次方程解一元二次方程 22 2 1 22 2 1 配方法配方法 知识点一知识点一 直接开平方法解一元二次方程直接开平方法解一元二次方程 1 1 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方 另一边是非负数 可以直接开平方 一般地 对于形如如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方 另一边是非负数 可以直接开平方 一般地 对于形如x x 2 2 a a a a 0 0 的方程 的方程 根据平方根的定义可解得根据平方根的定义可解得 x x1 1 a x x2 2 a 2 2 直接开平方法适用于解形如直接开平方法适用于解形如 x x 2 2 p p 或或 mx a mx a 2 2 p m p m 0 0 形式的方程 如果形式的方程 如果 p p 0 0 就可以利用直接开平方法 就可以利用直接开平方法 3 3 用直接开平方法求一元二次方程的根 要正确运用平方根的性质 即正数的平方根有两个 它们互为相反数 零的平方根用直接开平方法求一元二次方程的根 要正确运用平方根的性质 即正数的平方根有两个 它们互为相反数 零的平方根是零 是零 负数没有平方根 负数没有平方根 4 4 直接开平方法解一元二次方程的步骤是 移项 使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为直接开平方法解一元二次方程的步骤是 移项 使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为 1 1 两边直接开平 两边直接开平 方 使原方程变为两个一元二次方程 解一元一次方程 求出原方程的根 方 使原方程变为两个一元二次方程 解一元一次方程 求出原方程的根 知识点二知识点二 配方法解一元二次方程配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法 叫做配方法 配方的目的是降次 把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解 程的方法 叫做配方法 配方的目的是降次 把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解 配方法的一般步骤可以总结为 一移 二除 三配 四开 配方法的一般步骤可以总结为 一移 二除 三配 四开 1 1 把常数项移到等号的右边 把常数项移到等号的右边 方程两边都除以二次项系数 方程两边都除以二次项系数 方程两边都加上一次项系数一半的平方 把左边配成完全平方式 方程两边都加上一次项系数一半的平方 把左边配成完全平方式 若等号右边为非负数 直接开平方求出方程的解 若等号右边为非负数 直接开平方求出方程的解 22 2 2 22 2 2 公式法公式法 知识点一知识点一 公式法解一元二次方程公式法解一元二次方程 1 1 一般地 对于一元二次方程一般地 对于一元二次方程axax 2 2 bx c 0 a bx c 0 a 0 0 如果如果 b b 2 2 4ac 4ac 0 0 那么方程的两个根为 那么方程的两个根为 x x a acbb 2 4 2 这个公 这个公 式叫做一元二式叫做一元二次方程的求根公式 利用求根公式 我们可以由一元二方程次方程的求根公式 利用求根公式 我们可以由一元二方程的系数的系数 a b ca b c 的值直接求得方程的解 这种解方程的的值直接求得方程的解 这种解方程的 方法叫做公式法 方法叫做公式法 2 2 一元二次方程求根公式的推导过程 就是用配方法解一般形式的一元二次方程一元二次方程求根公式的推导过程 就是用配方法解一般形式的一元二次方程 axax 2 2 bx c 0 a bx c 0 a 0 0 的过程 的过程 3 3 公式法解一元二次方程的具体步骤 公式法解一元二次方程的具体步骤 方程化为一般形式 方程化为一般形式 axax 2 2 bx c 0 a bx c 0 a 0 0 一般 一般 a a 化为正值化为正值 确定公式中确定公式中 a b ca b c 的值 注意符号 的值 注意符号 求出求出 b b 2 2 4ac 4ac 的值 的值 若若 b b 2 2 4ac 4ac 0 0 则把 则把 a b ca b c 和和 b b 4ac4ac 的值代入公式即可求解 的值代入公式即可求解 若若 b b 2 2 4ac 4ac 0 0 则方程无实数根 则方程无实数根 知识点二知识点二 一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式 式子式子 b b 2 2 4ac 4ac 叫做方程叫做方程 axax 2 2 bx c 0 a bx c 0 a 0 0 根的判别式根的判别式 通常用希腊字母 表示它 即 通常用希腊字母 表示它 即 b b 2 2 4ac 4ac 0 0 方程 方程 axax 2 2 bx c 0 a bx c 0 a 0 0 有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根 一元二次方程一元二次方程 0 0 方程 方程 axax 2 2 bx c 0 a bx c 0 a 0 0 有两个相等的实数根有两个相等的实数根 根的判别式根的判别式 0 0 方程 方程 axax 2 2 bx c 0 a bx c 0 a 0 0 无实数根无实数根 22 222 2 3 3 因式分解法因式分解法 知识点一知识点一 因式分解法解一元二次方程因式分解法解一元二次方程 1 1 把一元二次方程的一边化为把一元二次方程的一边化为 0 0 而另一边分解成两个一次因式的积 进而转化为求两个求一元一次方程的解 这种解方程的方 而另一边分解成两个一次因式的积 进而转化为求两个求一元一次方程的解 这种解方程的方 法叫做因式分解法 法叫做因式分解法 2 2 因式分解法的详细步骤 因式分解法的详细步骤 移项 将所有的项都移到左边 右边化为移项 将所有的项都移到左边 右边化为 0 0 把方程的左边分解成两个因式的积 可用的方法有提公因式 平方差公式和完全平方公式 把方程的左边分解成两个因式的积 可用的方法有提公因式 平方差公式和完全平方公式 令每一个因式分别为零 得到一元一次方程 令每一个因式分别为零 得到一元一次方程 解一元一次方程即可得到原方程的解 解一元一次方程即可得到原方程的解 知识点二知识点二 用合适的方用合适的方法解一元一次方程法解一元一次方程 方法名称方法名称 理论依据理论依据 适用范围适用范围 直接开平方法直接开平方法 平方根的意义平方根的意义 形如形如 x x 2 2 p p 或 或 mx nmx n 2 2 p p p p 0 0 配方法配方法 完全平方公式完全平方公式 所有一元二次方程所有一元二次方程 公式法公式法 配方法配方法 所有一元二次方程所有一元二次方程 因式分解法因式分解法 当当 ab 0ab 0 则 则 a 0a 0 或或 b 0b 0 一边为一边为 0 0 另一边易于分解成两个一次因 另一边易于分解成两个一次因 式的积的一元二次方程 式的积的一元二次方程 22 2 4 22 2 4 一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系 若一元二次方程若一元二次方程 x x 2 2 px q 0 px q 0 的两个根为的两个根为 x x1 1 x x2 2 则有则有 x x1 1 x x2 2 p xp x1 1x x2 2 q q 若一元二次方程若一元二次方程 a a 2 2x bx c 0 a x bx c 0 a 0 0 有两个实数根有两个实数根 x x1 1 x x2 2 则有则有 x x1 1 x x2 2 a b x x1 1x x2 2 a c 22 3 22 3 实际问题与一元二次方程实际问题与一元二次方程 知识点一知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤 列一元二次方程解应用题的一般步骤 1 1 审 是指读懂题目 弄清题意 明确哪些是已知量 哪些是未知量以及它们之间的等量关系 审 是指读懂题目 弄清题意 明确哪些是已知量 哪些是未知量以及它们之间的等量关系 2 2 设 设 是指设元 也就是设出未知数 是指设元 也就是设出未知数 3 3 列 就是列方程列 就是列方程 这是关键步骤 这是关键步骤 一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义 然后列代数式表示这个相等关系一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义 然后列代数式表示这个相等关系中的中的 各个量 就得到含有未知数的等式 即方程 各个量 就得到含有未知数的等式 即方程 4 4 解 就是解方程 求出未知数的值 解 就是解方程 求出未知数的值 5 5 验 是指检验方程的解是否保证实际问题有意义 符合题意 验 是指检验方程的解是否保证实际问题有意义 符合题意 6 6 答 写出答案 答 写出答案 知识点二知识点二 列一元二次方程解应用题的几种常见类型列一元二次方程解应用题的几种常见类型 1 1 数字问题数字问题 三个连续整数 若设中间的一个数为三个连续整数 若设中间的一个数为 x x 则另两个数分别为 则另两个数分别为 x x 1 1 x 1x 1 三个连续偶数 奇数 若中间的一个数为三个连续偶数 奇数 若中间的一个数为 x x 则另两个数分别为 则另两个数分别为 x x 2 x 22 x 2 三位数的表示方法 设百位 十位 个位上的数字分别为三位数的表示方法 设百位 十位 个位上的数字分别为 a b ca b c 则这个三位数是则这个三位数是 100a 10b c 100a 10b c 2 2 增长率问题增长率问题 设初始量为设初始量为 a a 终止量为 终止量为 b b 平均增 平均增长率或平均降低率为长率或平均降低率为 x x 则经过两次的增长或降低后的等量关系为 则经过两次的增长或降低后的等量关系为 a a 1 1x 2 2 b b 3 3 利润问题 利润问题 利润问题常用的相等关系式有 总利润利润问题常用的相等关系式有 总利润 总销售价总销售价 总成本 总利润总成本 总利润 单位利润 总销售量 利润单位利润 总销售量 利润 成本 利润率成本 利润率 4 4 图形的面积问题 图形的面积问题 根据图形的面积与图形的边 高等相关元素的关系 将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来 建立一元二次方程 根据图形的面积与图形的边 高等相关元素的关系 将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来 建立一元二次方程 第二十三章第二十三章 旋转旋转 23 1 23 1 图形的旋转图形的旋转 知识点一知识点一 旋转的定义旋转的定义 在平面内 把一个平面图形绕着平面内某一点在平面内 把一个平面图形绕着平面内某一点 O O 转动一个角度 就叫做图转动一个角度 就叫做图形的旋转 点形的旋转 点 O O 叫做旋转中心 转动的角叫做旋转角 叫做旋转中心 转动的角叫做旋转角 我们把旋转中心 旋转角度 旋转方向称为旋转的三要素 我们把旋转中心 旋转角度 旋转方向称为旋转的三要素 知识点二知识点二 旋转的性质旋转的性质 旋转的特征 旋转的特征 1 1 对应点到旋转中心的距离相等 对应点到旋转中心的距离相等 2 2 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 3 3 旋转前后的图形全等 旋转前后的图形全等 理解以下几点 理解以下几点 1 1 图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度 图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度 2 2 对应点到旋转中心的距离相等 对应线段相等 对应角相等 对应点到旋转中心的距离相等 对应线段相等 对应角相等 3 3 图形的大小和形状都没有发生改变 只改变了图形的位置 图形的大小和形状都没有发生改变 只改变了图形的位置 知识点三知识点三 利用旋转性质作图利用旋转性质作图 旋转有两条重要性质 旋转有两条重要性质 1 1 任意一对对应点与旋转中心 任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 所连线段的夹角等于旋转角 2 2 对应点到旋转中心的距离相等 它是利用旋转 对应点到旋转中心的距离相等 它是利用旋转 的性质作图的关键 步骤可分为 的性质作图的关键 步骤可分为 连 即连接图形中每一个关键点与旋转中心 连 即连接图形中每一个关键点与旋转中心 转 即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度 作旋转角 转 即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度 作旋转角 截 即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离 得到各点的对应点 截 即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离 得到各点的对应点 接 即连接到所连接的各点 接 即连接到所连接的各点 23 2 23 2 中心对称中心对称 知识点一知识点一 中心对称的定义中心对称的定义 中心对称 把一个图形绕着某一个点旋转中心对称 把一个图形绕着某一个点旋转 180180 如果它能够与另一个图形重合 那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称 这 如果它能够与另一个图形重合 那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称 这 个点叫做对称中心 个点叫做对称中心 注意以下几点注意以下几点 中心对称指的是两个图形的位置关系 只有一个对称中心 绕对称中心旋转中心对称指的是两个图形的位置关系 只有一个对称中心 绕对称中心旋转 180180 两个图形能够完全重合 两个图形能够完全重合 知识点二知识点二 作一个图形关于某点对称的图形作一个图形关于某点对称的图形 要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形 关键是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点 最后将对称点按照原图形的形状要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形 关键是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点 最后将对称点按照原图形的形状 连接起来 即可得出成中心对称图形 连接起来 即可得出成中心对称图形 知识点三知识点三 中心对称的性质中心对称的性质 有以下几点 有以下几点 1 1 关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心 并且都被对称中心平分 关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心 并且都被对称中心平分 2 2 关于中心对称的两个图形能够互相重合 是全等形 关于中心对称的两个图形能够互相重合 是全等形 3 3 关于中心对称的两个图形 对应线段平行 或共线 且相关于中心对称的两个图形 对应线段平行 或共线 且相等 等 知识点四知识点四 中心对称图形的定义中心对称图形的定义 把一个图形绕着某一个点旋转把一个图形绕着某一个点旋转 180180 如果旋转后的图形能够与原来的图形重合 那么这个图形叫做中心对称图形 这个点就是它的对 如果旋转后的图形能够与原来的图形重合 那么这个图形叫做中心对称图形 这个点就是它的对 称中心 称中心 知识点五知识点五 关于原点对称的点的坐标关于原点对称的点的坐标 在平面直角坐标系中 如果两个点关于原点对称 它们的坐标符号相反 即点在平面直角坐标系中 如果两个点关于原点对称 它们的坐标符号相反 即点 p p x yx y 关于原点对称点为 关于原点对称点为 x x y y 第二十四章第二十四章 圆圆 24 1 24 1 圆圆 24 1 1 24 1 1 圆圆 知识点一知识点一 圆的定义圆的定义 圆的定义 圆的定义 第一种 在一个平面内 线段第一种 在一个平面内 线段 OAOA 绕它固定的一个端点绕它固定的一个端点 O O 旋转一周 另一个端点旋转一周 另一个端点 A A 所形成的图形所形成的图形叫作圆 固定的端点叫作圆 固定的端点 O O 叫作叫作 圆心 线段圆心 线段 OAOA 叫作半径 第二种 圆心为叫作半径 第二种 圆心为 O O 半径为 半径为 r r 的圆可以看成是所有到定点的圆可以看成是所有到定点 O O 的距离等于定长的距离等于定长 r r 的点的集合 的点的集合 比较圆的两种定义可知 第一种定义是圆的形成进行描述的 第二种是运用集合的观点下的定义 但是都说明确定了定点与定长 比较圆的两种定义可知 第一种定义是圆的形成进行描述的 第二种是运用集合的观点下的定义 但是都说明确定了定点与定长 也就确定了圆 也就确定了圆 知识点二知识点二 圆的相关概念圆的相关概念 1 1 弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦 经过圆心的弦叫作直径 弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦 经过圆心的弦叫作直径 2 2 弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧 简称弧 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧 每一条弧都叫做半圆 弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧 简称弧 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧 每一条弧都叫做半圆 3 3 等圆 等够重合的两个圆叫做等圆 等圆 等够重合的两个圆叫做等圆 4 4 等弧 在同圆或等圆中 能够互相等弧 在同圆或等圆中 能够互相重合的弧叫做等弧 重合的弧叫做等弧 弦是线段 弧是曲线 判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中 只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧 而不是长度相等的弧 弦是线段 弧是曲线 判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中 只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧 而不是长度相等的弧 24 1 2 24 1 2 垂直于弦的直径垂直于弦的直径 知识点一知识点一 圆的对称性圆的对称性 圆是轴对称图形 任何一条直径所在直线都是它的对称轴 圆是轴对称图形 任何一条直径所在直线都是它的对称轴 知识点二知识点二 垂径定理垂径定理 1 1 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所对的两条弧 如图所示 直径为 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所对的两条弧 如图所示 直径为 CDCD ABAB 是弦 且是弦 且 CDCD ABAB AM BM AM BM 垂足为垂足为 M ACM AC BC BC AD BDAD BD 垂径定理的推论 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧垂径定理的推论 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 如上图所示 直径如上图所示 直径 CDCD 与非直径弦与非直径弦 ABAB 相交于点相交于点 M M CDCD ABAB AM BM AC BCAM BM AC BC AD BDAD BD 注意 因为圆的两条直径必须互相平分 所以垂径定理的推论中 被平分的弦必须不是直径 否则结论不成立 注意 因为圆的两条直径必须互相平分 所以垂径定理的推论中 被平分的弦必须不是直径 否则结论不成立 24 1 3 24 1 3 弧 弦 圆心角弧 弦 圆心角 知识点知识点 弦 弧 圆心角的关系弦 弧 圆心角的关系 1 1 弦 弧 圆心角之间的关系定理 在同圆或等圆中 相等的圆心角所对的弧相等 所对的弦也相等 弦 弧 圆心角之间的关系定理 在同圆或等圆中 相等的圆心角所对的弧相等 所对的弦也相等 2 2 在同圆或等圆中 如果两个圆心角 两条弧 两条弦中有一组量相等 那么它们所对应的其余的各组量也相等 在同圆或等圆中 如果两个圆心角 两条弧 两条弦中有一组量相等 那么它们所对应的其余的各组量也相等 3 3 注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件 如果丢掉这个条件 即使圆心角相等 所对的弧 弦也不一注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件 如果丢掉这个条件 即使圆心角相等 所对的弧 弦也不一定相等 比如两个定相等 比如两个 同心圆中 两个圆心角相同 但此时弧 弦不一定相等 同心圆中 两个圆心角相同 但此时弧 弦不一定相等 24 1 4 24 1 4 圆周角圆周角 知识点一知识点一 圆周角定理圆周角定理 1 1 圆周角定理 在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角相等 都等于这条弧所对的圆心角的一半 圆周角定理 在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角相等 都等于这条弧所对的圆心角的一半 2 2 圆周角定理的推论 半圆 或直径 所对的圆周角是直角 圆周角定理的推论 半圆 或直径 所对的圆周角是直角 9090 的圆周角所对弦是直径 的圆周角所对弦是直径 3 3 圆周角定理揭示了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系 同弧或等弧 是不能改为 同弦或等弦 圆周角定理揭示了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系 同弧或等弧 是不能改为 同弦或等弦 的 否则就不成的 否则就不成 立了 因为一条弦所对的圆周角有两类 立了 因为一条弦所对的圆周角有两类 知识点二知识点二 圆内接四边形及其性质圆内接四边形及其性质 圆内接多边形 如果一个多边形的所有顶点都在同一圆内接多边形 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上 这个多边形叫做圆内接多边形 这个圆叫做这个多边形的外接圆 个圆上 这个多边形叫做圆内接多边形 这个圆叫做这个多边形的外接圆 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补 24 2 24 2 点 直线 圆和圆的位置关系点 直线 圆和圆的位置关系 24 2 1 24 2 1 点和圆的位置关系点和圆的位置关系 知识点一知识点一 点与圆的位置关系点与圆的位置关系 1 1 点与圆的位置关系有 点在圆外 点在圆上 点在圆内三种 点与圆的位置关系有 点在圆外 点在圆上 点在圆内三种 2 2 用数量关系表示 若设 用数量关系表示 若设 O O 的半径是的半径是 r r 点 点 P P 到圆的距离到圆的距离 OP dOP d 则有 则有 C M A B D 点点 P P 在圆外在圆外 d d r r 点 点 p p 在圆上在圆上 d rd r 点 点 p p 在圆内在圆内 d d r r 知识点二知识点二 过已知点作圆过已知点作圆 1 1 经过一个点的圆 如点经过一个点的圆 如点 A A 以点以点 A A 外的任意外的任意一点 如点一点 如点 O O 为圆心 以 为圆心 以 OAOA 为半径作圆即可 如图 这样的圆可以作无数个 为半径作圆即可 如图 这样的圆可以作无数个 O O1 1 A A O O2 2 O O3 3 2 2 经过两点的圆 如点经过两点的圆 如点 A A B B 以线段以线段 ABAB 的垂直平分线上的任意一点 如点的垂直平分线上的任意一点 如点 O O 为圆心 以 为圆心 以 OAOA 或 或 OBOB 为半径作圆即可 如图 这样的圆可以作无数个 为半径作圆即可 如图 这样的圆可以作无数个 A A B B 3 3 经过三点的圆经过三点的圆 经过在同一条直线上的三个点不能作圆经过在同一条直线上的三个点不能作圆 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 即经过不在同一条直线上的三个点可以作圆 且只能作一个圆 如经过不在同一条直线上即经过不在同一条直线上的三个点可以作圆 且只能作一个圆 如经过不在同一条直线上 的三个点的三个点 A A B B C C 作圆 作法 连接作圆 作法 连接 ABAB BCBC 或 或 ABAB ACAC 或或 BCBC ACAC 并作它们的垂直平分线 两条垂直平分线相交于点 并作它们的垂直平分线 两条垂直平分线相交于点 O O 以点 以点 O O 为圆心 以为圆心 以 OAOA 或 或 OBOB OCOC 的长为半径作圆即可 如图 这样的圆只能作一个 的长为半径作圆即可 如图 这样的圆只能作一个 知识点三知识点三 三角形的外接三角形的外接圆与外心圆与外心 1 1 经过三角形三个顶点可以作一个圆 这个圆叫做三角形的外接圆 经过三角形三个顶点可以作一个圆 这个圆叫做三角形的外接圆 2 2 外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点 叫做这个三角形的外心 外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点 叫做这个三角形的外心 知识点四知识点四 反证法反证法 1 1 反证法 假设命题的结论不成立 经过推理得出矛盾 由矛盾断定所作假设不正确 从而得到原命题成立 这种证明命题的方反证法 假设命题的结论不成立 经过推理得出矛盾 由矛盾断定所作假设不正确 从而得到原命题成立 这种证明命题的方 法叫做反证法 法叫做反证法 2 2 反证法的一般步骤 反证法的一般步骤 假设命题的结论不成立 假设命题的结论不成立 从假设出发 经过逻辑推理 推出或与定义 或与公理 或与定理 或与已知等相矛盾的结论 从假设出发 经过逻辑推理 推出或与定义 或与公理 或与定理 或与已知等相矛盾的结论 由矛盾判定假设不正确 从而得出原命题正确 由矛盾判定假设不正确 从而得出原命题正确 24 2 2 24 2 2 直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系 知识点一知识点一 直线与圆的直线与圆的位置关系位置关系 1 1 直线与圆的位置关系有 相交 相切 相离三种 直线与圆的位置关系有 相交 相切 相离三种 2 2 直线与圆的位置关系可以用数量关系表示直线与圆的位置关系可以用数量关系表示 若设 若设 O O 的半径是的半径是 r r 直线 直线 l l 与圆心与圆心 0 0 的距离为的距离为 d d 则有 则有 直线直线 l l 和 和 O O 相交相交 d d r r 直线直线 l l 和 和 O O 相切相切 d rd r 直线直线 l l 和 和 O O 相离相离 d d r r 知识点二知识点二 切线的判定和性质切线的判定和性质 1 1 切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 2 2 切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径 切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径 3 3 切线的其他性质 切线与圆只有一个公共点 切线到圆心的距离等于半径 经过圆心且垂直于切切线的其他性质 切线与圆只有一个公共点 切线到圆心的距离等于半径 经过圆心且垂直于切线的直线必过切点 必过切点线的直线必过切点 必过切点 A B O C 且垂直于切线的直线必经过圆心 且垂直于切线的直线必经过圆心 知识点三知识点三 切线长定理切线长定理 1 1 切线长的定义 经过园外一点作圆的切线 这点和切点之间的线段的长 叫做这点到圆的切线长 切线长的定义 经过园外一点作圆的切线 这点和切点之间的线段的长 叫做这点到圆的切线长 2 2 切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线 它们的切线长相等 这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线 它们的切线长相等 这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 3 3 注意 切线注意 切线和切线长是两个完全不同的概念 必须弄清楚切线是直线 是不能度量的 切线长是一条线段的长 这条线段的两和切线长是两个完全不同的概念 必须弄清楚切线是直线 是不能度量的 切线长是一条线段的长 这条线段的两 个端点一个是在圆外一点 另一个是切点 个端点一个是在圆外一点 另一个是切点 知识点四知识点四 三角形的内切圆和内心三角形的内切圆和内心 1 1 三角形的内切圆定义 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 三角形的内切圆定义 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 这个三角形叫做圆的外切三角形 这个三角形叫做圆的外切三角形 2 2 三角形的内心 三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心 三角形的内心 三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心 3 3 注意 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点 所以当三角形的内心已知时 过三角形的顶点和内心的射线 必平分三角形的注意 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点 所以当三角形的内心已知时 过三角形的顶点和内心的射线 必平分三角形的 内角 内角 24 2 3 24 2 3 圆和圆的位置关系圆和圆的位置关系 知识点一知识点一 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系 1 1 圆与圆的位置关系有五种 圆与圆的位置关系有五种 如果两个圆没有公共点 就说这两个圆相离 包括外离和内含两种 如果两个圆没有公共点 就说这两个圆相离 包括外离和内含两种 如果两个圆只有一个公共点 就说这两个圆相切 包括内切和外切两种 如果两个圆只有一个公共点 就说这两个圆相切 包括内切和外切两种 如果两个圆有两个公共点 就说这两个圆相交 如果两个圆有两个公共点 就说这两个圆相交 2 2 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系可以用数量关系来表示 可以用数量关系来表示 若设两圆若设两圆圆心之间的距离为圆心之间的距离为 d d 两圆的半径分别是 两圆的半径分别是 r r1 1 r r2 2 且且 r r1 1 r r2 2 则有 则有 两圆外离两圆外离 d d r r1 1 r r2 2 两圆外切两圆外切 d rd r1 1 r r2 2 两圆相交两圆相交 r r2 2 r r1 1 d d r r1 1 r r2 2 两圆内切两圆内切 d rd r2 2 r r1 1 两圆内含两圆内含 d d r r2 2 r r1 1 24 3 24 3 正多边形和圆正多边形和圆 知识点一知识点一 正多边形的外接圆和圆的内接正多边形正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 正多边形与圆的关系非常密切 把圆分成正多边形与圆的关系非常密切 把圆分成 n n n n 是大于是大于 2 2 的自然数 等份 顺次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形 这的自然数 等份 顺次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形 这 个圆就是这个正多边形的外接圆 个圆就是这个正多边形的外接圆 正正多边形的中心 一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心 多边形的中心 一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心 正多边形的半径 外接圆的半径叫做正多边形的半径 正多边形的半径 外接圆的半径叫做正多边形的半径 正多边形的中心角 正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角 正多边形的中心角 正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角 正多边形的边心距 中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距 正多边形的边心距 中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距 知识点二知识点二 正多边形的性质正多边形的性质 1 1 正正 n n 边形的半径和边心距把正多边形分成边形的半径和边心距把正多边形分成 2n2n 个全等的直角三角形 个全等的直角三角形 2 2 所有的正多边形都是轴对称图形 每个正所有的正多边形都是轴对称图形 每个正 n n 边形共有边形共有 n n 条对称轴 每条对称轴都经过正条对称轴 每条对称轴都经过正 n n 边形的中心 当正边形的中心 当正 n n 边形的边数为偶边形的边数为偶 数时 这个正数时 这个正 n n 边形也是中心对称图形 正边形也是中心对称图形 正 n n 边形的中心就是对称中心边形的中心就是对称中心 3 3 正正 n n 边形的每一个边形的每一个内角等于内角等于 n n 180 2 中心角和外角相等 等于 中心角和外角相等 等于 n 360 24 4 24 4 弧长和扇形面积弧长和扇形面积 知识点一知识点一 弧长公式弧长公式 l l 180 Rn 在半径为在半径为 R R 的圆中 的圆中 360360 的圆心角所对的弧长就是圆的周长 的圆心角所对的弧长就是圆的周长 C 2C 2 R R 所以 所以 n n 的圆心角所对的弧长的计算公式 的圆心角所对的弧长的计算公式 l l 360 n 2 2 R R 180 Rn 知识点二知识点二 扇形扇形面积公式面积公式 在半径为在半径为 R R 的圆中 的圆中 360360 的圆心角所对的扇形面积就是圆的面积 的圆心角所对的扇形面积就是圆的面积 S S R R 2 2 所以圆心角为 所以圆心角为 n n 的扇形的面积为 的扇形的面积为 S S扇形 扇形 360 2 Rn 比较扇形的弧长公式和面积公式发现 比较扇形的弧长公式和面积公式发现 S S扇形 扇形 lRlRR RnRn s 2 1 2 1 2 1 180360 2 扇形 所以 知识点三知识点三 圆锥的侧面积和全面积圆锥的侧面积和全面积 圆锥的侧面积是曲面 沿着圆锥的一条母线将圆锥的侧面展开 容易得到圆锥的侧面展开图是一个扇形 设圆锥的母线长为圆锥的侧面积是曲面 沿着圆锥的一条母线将圆锥的侧面展开 容易得到圆锥的侧面展开图是一个扇形 设圆锥的母线长为 l l 底面圆 底面圆 的半径为的半径为 r r 那么这个扇形的半径为 那么这个扇形的半径为 l l 扇形的弧长为 扇形的弧长为 2 2 r r 因此圆锥的侧面积 因此圆锥的侧面积rllr s 2 2 1 圆锥侧 圆锥的全面积为 圆锥的全面积为 2 rrl sss 底圆锥侧圆锥全 25 1 25 1 随机事件与概率随机事件与概率 25 1 1 25 1 1 随机事件随机事件 知识点一知识点一 必然事件 不可能事件 随机事件必然事件 不可能事件 随机事件 在一定条件下 有些事件必然会发生 这样的事件称为必然事件 相反地 有些事件必然不会发生 这样的事件称为不可能事件 在一在一定条件下 有些事件必然会发生 这样的事件称为必然事件 相反地 有些事件必然不会发生 这样的事件称为不可能事件 在一 定条件下 可能发生也可能不会发生的事件称为随机