北航线性代数 试卷.pdf

一 判断题 在每小题后面的小括号内打 号或 号 1 任何实对称矩阵都可以表成一系列初等矩阵的乘积 2 方阵A与其转置阵 T A有相同的特征值 因此有相同的特征向量 3 设 ij A为n阶行列式 ij aD 中元素 ij a的代数余子式 若 ijij Aa 2 1 njiL 则0 D 4 若 r hhh 21 L为线性方程组0 AX的基础解系 则与 r hhh 21 L等价的向量组 也为此方程组的基础解系 5 设cba 是互不相等的数 则向量组 1 32 aaa 1 32 bbb 1 32 ccc 是线性无关的 二 单项选择题 1 设n阶方阵CBA 满足关系式EABC 则 成立 A EACB B ECBA C EBAC D EBCA 2 设n维向量 21 nm m aaaL线性无关 则n维向量 m bbb 21 L线性无关的 充要条件为 A 向量组 m aaa 21 L可由向量组 m bbb 21 L线性表示 B 向量组 m bbb 21 L可由向量组 m aaa 21 L线性表示 C 向量组 m aaa 21 L与向量组 m bbb 21 L等价 D 矩阵 A m aaa 21 L 与矩阵 B m bbb 21 L 等价 3 设非齐次线性方程组bAX 的两个不同解为 21 b b 它的导出组的一个基础解 系为 21 a a 则线性方程组bAX 的通解X 其中 21 k k为任意常 数 A 2 1 2121211 bbaaa kk B 2 1 2121211 bbaaa kk C 2 1 2121211 bbbba kk D 2 1 2121211 bbbba kk 4 设BA 均为 2 nn阶方阵 则必有 A BABA B BAAB C BAAB D 111 ABBA 5 n阶实对称矩阵A与 B 合同的充分必要条件是 A BRAR B A与B的正惯性指数相等 C A B为正定矩阵 D A B 同时成立 三 填空题 1 gba 为三维列向量 已知三阶行列式40 2 2 4 agbag 则行列式 gba 2 五阶方阵A的特征值为 1 1 2 2 3 E为五阶单位阵 则 4 EA 3 设BA 为同阶可逆矩阵 则 1 2 OB AO 4 设向量组 T 4 3 2 1 1 a T 5 4 3 2 2 a T 6 5 4 3 3 a T 7 6 5 4 4 a 则 4321 aaaaR 5 若方阵A相似于 2 2 1 则 31 A 6 已知BA 均为 2 nn阶矩阵 BA分别为它们的伴随矩阵 如果 nBRnAR 1 则 BAR 7 若齐次线性方程组 03 0 02 zx zax zyx 存在非零解 则系数a 8 设A 为三阶实对称矩阵 其特征值分别为 1 0 3 已知与特征值 1 3 对应的特征向量分别为 T 1 0 1 和 T 1 1 1 则与特征 值 0 对应的一个特征向量为 9 已 知二 次 型 2 332 2 221 2 1321 9622 xxxxxxxxxxf 它 的 标 准 形 为 10 设n阶实对称矩阵A的特征值分别为 1 2 3 n L 则当t 时 矩 阵AtE 为正定矩阵 四 计算题 1 1 试讨论ba 为何值时 1 b不能用 321 aaa线性表示 2 b可由 321 aaa唯一地表示 并求出表示式 3 b可由 321 aaa表示 但表示式不惟一 并求出表示式 2 2 设 1 1 2 a 求 1 aa T 的特征值与特征向量 2 一正交阵Q 使得QQ TT aa为对角阵 3 3 已知 3 R中的二组基 T 1 2 1 1 a T 3 3 2 2 a T 1 7 3 3 a T 4 1 3 1 b T 1 2 5 2 b T 6 1 1 3 b TTTT babaa 2 2 1 3 2 1 0 2 1 3 3 1 321 aaab 1 求由基 321 aaa到 321 bbb的过渡矩阵及坐标变换公式 2 求向量 321 2bbbb 在基 321 aaa下的坐标 3 求向量 321 42aaaa 在基 321 bbb下的坐标