七群论基础PPT课件.ppt

7 5正规子群 商群与群的同态基本定理 定义7 5 1设H为群 G 的一个子群 若对任意的a G 都有aH Ha 则称H为G的正规子群 或不变子群 若G为交换群 则G的每个子群都是G的正规子群 反之 由aH Ha 不能说明元素a与H中的每个元素都可交换 一般的群G 至少有两个正规子群 一个是G的最小子群 e 另一个是G的最大子群G自身 这两个子群称为平凡的正规子群 1 例7 5 1设 G 是一个群 令Cg c c G c g g c g G 则Cg是G的正规子群 证由e Cg知 Cg是G的非空子集 对a b Cg g G 因 a b g a b g a g b a g b g a b g a b 又a 1 g g 1 a 1 a g 1 1 g a 1 所以a b a 1 Cg 故Cg是G的子群 对a G 由于aCg a c c Cg c a c Cg Cga 因此Cg是G的正规子群 2 例7 5 2H 1 12 是三次对称群S3的子群 但不是正规子群 因为 13 H H 13 23 H H 23 若取A 1 123 132 容易验证 A是S3的子群 并且是由 123 生成的循环子群 又因为 1 A 123 A 132 A A 1 A 123 A 132 1 123 132 12 A 13 A 23 A A 12 A 13 A 23 12 13 23 因此A是S3的正规子群 3 定理7 5 1群 G 的一个子群H是正规子群的充要条件是 对于 g G 都有gHg 1 H gHg 1 gH g 1 Hg g 1 Hgga 1 He H gH gH e gH g 1g gHg 1 g Hg定理7 5 2群 G 的一个子群H是正规子群的充要条件是 对于 g G h H 都有ghg 1 H 由定理7 5 1即可得 ghg 1 H gHg 1 H H a a 1Ha a 1 a 1Ha gHg 1 4 若H是群 G 正规子群 则H的右 或左 陪集称为H的陪集 若H是群 G 正规子群 则G关于 的商集记作G H 即由H的陪集构成的集合 并且 是 G 上的同余关系 定义G H上的运算 如下 Ha Hb H a b a b G于是 G H 是一个群 称为 G 关于正规子群H的商群 当G为有限群时 有 G H G H 5 2019 12 30 6 定理7 5 3任意一个群 G 的商群 G H 都是 G 的满同态像 自然同态f G G H g Hg是一个满同态 研究子群H的一个作用就是可以通过H来推测整个群G的性质 如果现在是一个正规子群H的话 那么就有两个群 正规子群H以及商群G H可以利用了 7 定义7 5 2设f是从群 G 到群 G 的一个满同态 则称G 的单位元i在f下的原像构成的G的子集 g f g i g G 为满同态f的核 记为Kerf 例如 f x y x是从群 R2 到群 R 的满同态 群 R 的单位元是0Kerf x y f x y 0 0 y y R 8 定理7 5 4若f是从群 G 到群 G 的一个满同态 则Kerf是 G 的正规子群 并且 G Kerf G 例 如前例f x y x Kerf 0 y y R R2 Kerf x x R x x y y R a b a b R2 Kerf R 9 定理7 5 5若f是从群 G 到群 G 的一个同态 并且H是 G 的子群 则H的像f H 是群 G 的子群 若f是满同态 则 G 的正规子群N的像f N 是群 G 的正规子群 定理7 5 6若f是从群 G 到群 G 的一个同态