中考数学压轴题解析.doc

例析中考新概念试题宁波市惠贞书院 王盛裕一、试题概述所谓新概念试题是指即时定义新概念、新公式、新运算、新法则、新方法，这些都是同学们从未接触过的，要求同学们在解题时能够运用已掌握的知识和方法理解“新定义”，做到“化生为熟”，现学现用，其目的是考查同学们的阅读理解能力、接受能力、应变能力和创新能力，培养同学们自主学习、主动探究的数学品质，在一定程度上促进教学方法和学习方法的转变.新概念试题是历年各地中考数学试题中的一朵奇葩，以其清雅、新颖的风格彰显出新课标中“由知识立意向能力立意”过渡的要求，是同学们“可持续发展”理念的具体体现，同时也警示我们的初中数学教学改变过去单一的教法和学法，重视同学们的数学阅读能力、数学迁移能力，以及运用数学方法解决实际问题和应用能力上要有进一步的突破. 纵观近几年全国各地中考数学试题,新概念试题通常占试题总数的10左右，而同学们解答这类试题的正确率却并不理想，另外此类试题重视数学学习潜能的综合考查，且命题中常引入初中数学教学中未曾见过的新概念，而这些新概念往往有着不可低估的作用.基于这些原因，对新概念试题进行深层次、多方位的研究，并在毕业复习中对同学们有意加强这方面的训练，就显得尤为重要.二、试题例析新概念试题要求同学们对给定的内容进行分析、研究、开发，然后加以运用。解决这类问题的关键是读懂题意，确定探索方向，然后运用归纳与类比的方法寻找合理的解题思路简而言之，同学们必须具备“给什么，用什么，怎么用”的能力1 定义“概念”例1 （2009年山东）“上升数”是一个数中右边数字比左边数字大的自然数（如，34，568，2469等）任取一个两位数，是上升数的概率是 解：最小的两位数是10，最大的两位数是99，一共有90个两位数，而在1019中，“上升数”有8个，在2029中，“上升数”有7个，在3039中，“上升数”有6个；在9099中，“上升数”有0个因此在1099中“上升数”共有8+7+6+5+4+3+2+1=36个所以任取一个两位数，是上升数的概率为P= 点评：这是一道边缘性的新概念试题，“上升数”是一种全新的、特殊的概念，要同学们在全面、准确地理解这种新概念含义的基础上，运用这种特殊概念去创造性地思考并解决问题；另此题也不同于以往中考单纯考查概率的知识点，使试题得到巧妙的创新2定义“运算”例2 （2009年定西）在实数范围内定义运算“”，其法则为：，求方程（43）的解解： ， 点评：将一个一元二次方程定义于新运算中，比直接给出一元二次方程求解要有新意，给人耳目一新之感正所谓化腐朽为神奇3定义“公式”例3（2009年益阳市）阅读材料：如图，过ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在ABC内部线段的长度叫ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.BC铅垂高水平宽h a xCOyABD11解答下列问题：如图2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求CAB的铅垂高CD及；（3）是否存在一点P，使SPAB=SCAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)设抛物线的解析式为： 1分把A（3,0）代入解析式求得所以3分设直线AB的解析式为：由求得B点的坐标为 4分把，代入中解得：所以6分(2)因为C点坐标为(,4)所以当x时，y14，y22所以CD4-228分(平方单位)10分(3)假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，PAB的铅垂高为h，则12分由SPAB=SCAB得：化简得：解得，将代入中，解得P点坐标为14分点评：本题给出了一个直角坐标系中求一般三角形的面积计算公式，并要求现学现用，总体来说本题难度不大4定义“点”例4（2009年台州）定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点如图1，则点就是四边形的准内点图3图2图4FEDCBAPGHJIBJIHGDCAP图1（1）如图2， 与的角平分线相交于点求证：点是四边形的准内点（2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）（3）判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假” 任意凸四边形一定存在准内点（ ）任意凸四边形一定只有一个准内点（ ）若是任意凸四边形的准内点，则或( ) 解：（1）如图2，过点作， 平分， 3分图2FEDCBAPGHJI 同理 1分是四边形的准内点1分图3（1）图4图3（2）（2） 4分平行四边形对角线的交点就是准内点，如图3（1）.或者取平行四边形两对边中点连线的交点就是准内点，如图3（2）；梯形两腰夹角的平分线与梯形中位线的交点就是准内点如图4.（3）真；真；假3分点评：本题要求同学们对“准内点”定义进行准确的理解，并能用新定义进行作图、证明，考了同学们的操作能力和演绎推理能力，题型有证明、作图和填空，知识点有角平分线的性质、中心对称、梯形中位线的性质，具有较强的综合性5 定义“线”例5（茂名市2009）已知：如图，直线：经过点一组抛物线的顶点（为正整数）依次是直线上的点，这组抛物线与轴正半轴的交点依次是：（为正整数），设 （1）求的值；（2分） （2）求经过点的抛物线的解析式（用含的代数式表示）（4分） （3）定义：若抛物线的顶点与轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”探究：当的大小变化时，这组抛物线中是否存在美丽抛物线？若存在，请你求出相应的的值（4分）解：（1）在上，2分 （2）由（1）得：， 在上，当时，3 分 yOMxnl123 设抛物线表达式为：，4分 又， ，5 分 经过点的抛物线的解析式为：6 分 （3）存在美丽抛物线7 分 由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰直角三角形，此等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，又，等腰直角三角形斜边的长小于2，等腰直角三角形斜边上的高必小于1，即抛物线的顶点的纵坐标必小于 1yOMxnl123当时，当时，当时，美丽抛物线的顶点只有8分若为顶点，由，则；9分若为顶点，由，则，综上所述，的值为或时，存在美丽抛物线10分点评：本题是一次函数和二次函数的综合题，在解题时，首先利用抛物线的对称性，确定直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰直角三角形，再利用直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的三线合一的性质，有一定的难度例6（2007年连云港市）如图1，点将线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为的图形分成两部分，这两部分的面积分别为，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线（1）研究小组猜想：在中，若点为边上的黄金分割点（如图2），则直线是的黄金分割线你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组在进一步探究中发现：过点任作一条直线交于点，再过点作直线，交于点，连接（如图3），则直线也是的黄金分割线请你说明理由（4）如图4，点是平行四边形ABCD的边的黄金分割点，过点作，交于点，显然直线是平行四边形ABCD的黄金分割线请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD各边黄金分割点A图1ADB图2CADB图3CFEFCBDEA图4（第27题图）解：（1）直线是的黄金分割线理由如下：设的边上的高为，所以，2分又因为点为边的黄金分割点，所以有因此所以，直线是的黄金分割线4分（2）因为三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，此时，即，所以三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线6分（3）因为，所以和的公共边DF边上的高也相等，所以有所以7分同理所以又因为，所以9分因此，直线也是的黄金分割线10分（4）画法不惟一，现提供两种画法；12分画法一：如答图，取的中点，再过点作一条直线分别交，于，点，则直线就是平行四边形ABCD的黄金分割线画法二：如答图，在上取一点，连接，再过点作交于点，连接，则直线就是平行四边形ABCD的黄金分割线FCBDEANMGFCBDEANM点评：第（1）小题是利用黄金分割点和黄金分割线的定义完成证明；第（2）小题较简单，用定义说明不满足即可；第（3）小题是利用两条平行直线距离处处相等和面积的等积变形来处理；问题（4）有点发散，但我们用类比的数学思想方法应不难得到一种黄金分割线6 定义“形”例 7（2008年衢州市）如图，四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，但ADCD，我们称这样的四边形为“半菱形”小明说“半菱形的面积等于两条对角线乘积的一半”，他的说法正确吗？请你判断并证明你的结论 解：正确证明如下：方法一：设AC，BD交于O，AB=AD，BC=DC，AC=AC，DABCAD，CBAC=DACOAAB=AD，AOBDB， 方法二：AB=AD，点A在线段BD的中垂线上又CB=CD，点C与在线段BD的中垂线上，AC所在的直线是线段BD的中垂线，即BDAC；设AC，BD交于O，点评：对某些满足一定条件的几何图形给以特定的名词，是几何图形类型的新概念命题这类问题要求同学们能够灵活运用已掌握的几何知识，解决题中设置的新问题此题就是要求同学们以现有的知识水平，应用现有的数学思想方法，在一个全新的情境中思考问题，探求问题的最终答案，进一步培养同学们思考问题和解决问题的能力其实本题的面积公式可以作更进一步的推广，只要是对角线垂直的四边形，它的面积就是对角线乘积的一半例8（2010年北京市顺义区中考二模数学试题压轴题）我们给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形请解答下列问题：（1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等邻角四边形的图形的名称；（2）如图1，在中，AB=AC，点D在BC上，且CD=CA，点E、F分别为BC、AD的中点，连接EF并延长交AB于点G求证：四边形AGEC是等邻角四边形；（3）如图2，若点D在的内部，（2）中的其他条件不变，EF与CD交于点H图中是否存在等邻角四边形，若存在，指出是哪个四边形，不必证明；若不存在，请说明理由解：（1）矩形，等腰梯形；（2）如图所示，连结AE，CF，AB=AC ，E是BC的中点，AEBC，又F是AD中点，EF=AF=DFFED=FDE而CD=CAFDE=CADFED=FDE=CAD而AB=ACB=ACB180-B-FED=180-ACD -FDE即BGE=CADBGE=CAD=FEDAGE=CEG故四边形AGEC是等邻角四边形（3）四边形AGHC是等邻角四边形点评：2010年北京市顺义区中考二模数学试题保持了06、07年北京市中考压轴题的风格，06年是等对角线四边形，07年是等对边四边形，好在第（2）小题的证明不是很难，第（3）小题仍是猜想而言，有兴趣的同学可以证明。例9（2007年宁波市中考压轴题）四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点如图l，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD=PB，PAPC，则点P为四边形ABCD的准等距点(1)如图2，画出菱形ABCD的一个准等距点 (2)如图3，作出四边形ABCD的一个准等距点(尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)(3)如图4，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PAPC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且CDF=CBE，CE=CF求证：点P是四边形AB CD的准等距点(4)试研究四边形的准等距点个数的情况(说出相应四边形的特征及准等距点的个数，不必证明)解：(1)如图2，点P即为所画点1分(答案不唯一画图正确，无文字说明不扣分；点P画在AC中点不给分) (2)如图3，点P即为所作点3分(答案不唯一作图正确，无文字说明不扣分；无痕迹或痕迹不清晰的酌情扣分) (3)连结DB， 在DCF与BCE中， DCF=BCE， CDF=CBE， CF=CE. DCFBCE(AAS)，5分 CD=CB， CDB=CBD.6分 PDB=PBD，7分 PD=PB， PAPC 点P是四边形ABCD的准等距点8分(4)当四边形的对角线互相垂直且任何一条对角线不平分另一对角线或者对角线互相平分且不垂直时，准等距点的个数为0个； 9分当四边形的对角线不互相垂直，又不互相平分，且有一条对角线的中垂线经过另一对角线的中点时，准等距点的个数为1个； 10分当四边形的对角线既不互相垂直又不互相平分，且任何一条对角线的中垂线都不经过另一条对角线的中点时，准等距点的个数为2个；11分四边形的对角线互相垂直且至少有一条对角线平分另一对角线时，准等距点有无数个1分(答案不唯一画图正确，无文字说明不扣分；点P画在A C中点不给分) 12分点评：本题是我们07年宁波市中考数学的压轴题，第（1）小题是新定义的简单运用，根据准等距点的涵义和菱形对角线的性质，从中发现菱形有无数个准等距点第（2）小题根据新定义的涵义作图，其实质作一对角线的中垂线与另一对角线的交点，且这一交点不在另一对角线的中点上；思维敏锐、镇定从容的同学，从作图中不难发现一般的四边形准等距点可能为0、1、2，无数个第（3）小题常中见新，利用新定义及三角形有关知