高考数学一轮复习专题10.1直线方程及位置关系练习（含解析）.docx

第1讲 直线方程与位置关系【套路秘籍】-千里之行始于足下一直线的倾斜角与斜率1直线的倾斜角定义当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴的正方向与直线l 向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.范围：倾斜角的范围为2直线的斜率定义一条直线的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即，倾斜角是90的直线没有斜率当直线与x轴平行或重合时, , .过两点的直线的斜率公式经过两点的直线的斜率公式为.3.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率倾斜角为90的直线斜率不存在4.直线的倾斜角、斜率k之间的大小变化关系：（1）当时，越大，斜率越大；（2）当时，越大，斜率越大.二.直线的方程1.直线的点斜式方程：直线经过点，且斜率为，则直线的方程为：.这个方程就叫做直线点斜式方程.特别地，直线过点，则直线的方程为：.这个方程叫做直线 的斜截式方程.2.直线的两点式方程直线过两点其中，则直线的方程为：.这个方程叫做直线的两点式方程.当时，直线与轴垂直，所以直线方程为：；当时，直线与轴垂直，直线方程为：.特别地，若直线过两点，则直线的方程为：，这个方程叫做直线的截距式方程.3.直线的一般式方程关于的二元一次方程（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程.由一般式方程可得，B不为0时，斜率，截距三.两条直线平行与垂直1两直线的平行关系(1) 对于两条不重合的直线，其斜率为，有. (2)对于两条直线，有.2两条直线的垂直关系(1) 对于两条直线，其斜率为，有.(2)对于两条直线，有.四.距离问题1两点间的距离公式设两点，则.2点到直线的距离公式设点，直线，则点到直线的距离.3两平行线间的距离公式设两条平行直线，则这两条平行线之间的距离.五.两条直线的交点1.两条直线相交：对于两条直线，若，则方程组有唯一解，两条直线就相交，方程组的解就是交点的坐标.2.两条直线，联立方程组，若方程组有无数组解，则重合六.对称问题1.中点坐标公式2两条直线的垂直关系(1) 对于两条直线，其斜率为，有.(2)对于两条直线，有.【修炼套路】-为君聊赋今日诗，努力请从今日始考向一 直线的斜率和倾斜角【例1】（1）已知点A(1,3)，B(-1,33)，则直线AB的倾斜角为 。（2） 已知直线的倾斜角的余弦值为，则此直线的斜率是 。（3） 已知点、三点共线，则实数的值是 。（4）已知两点，直线过点且与线段相交，直线的斜率的取值范围是 .【答案】（1）120（2）（3）-3 （4）【解析】（1）因为直线AB的斜率为33-3-1-1=-3，所以倾斜角为120（3）根据三点共线，可以确定，即，解得（4）如下图，直线的斜率为，直线的斜率为.由图可知直线的斜率的取值范围是.【举一反三】1.若过点P(1a,1a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是 。【答案】（-2,1）【解析】过点和的直线的倾斜角为钝角直线的斜率小于0，即.2. 已知直线方程为则直线的倾斜角为 。3.直线的倾斜角的取值范围是_.【答案】考向二 直线的方程【例2】（1）过点P（1，2），倾斜角为135的直线方程为 。（2）过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是 .（3） 求过点A(1,3)，斜率是直线y=-4x的斜率的13的直线方程；（4）求经过点A(-5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程 。.【答案】（1）x+y-1=0（2）4x3y=0或x+y7=0 （3）4x+3y-13=0. （4）x+2y+1=0或2x+5y=0.【解析】（1）x+y-1=0。由题意，直线的倾斜角为1350，所以k=tan1350=-1，由直线的点斜式方程可得过点P(-1,2)直线方程为y-2=-1(x+1)，即所求直线为x+y-1=0。(2)4x3y=0或x+y7=0当直线过原点时，直线方程为y=x，即4x3y=0；当直线不过原点时，设直线方程为x+y=a则3+4=a，得a=7直线方程为x+y7=0过点M（3，4）且在坐标轴上截距相等的直线方程为4x3y=0或x+y7=0（3）4x+3y-13=0所设求直线的斜率为k，依题意k=(-4)13=-43直线经过点A(1,3)所求直线方程为y-3=-43(x-1)，即4x+3y-13=0. （4）x+2y+1=0或2x+5y=0当直线不过原点时，设所求直线方程为x2a+ya=1(a0)将（-5,2）代入所设方程，解得a=12，所求直线方程为x+2y+1=0； 当直线过原点时，设所求直线方程为y=kx，将（-5,2）代入所设方程，解得k=-25，所求直线方程为y=-25x，即2x+5y=0； 综上：所求直线方程为x+2y+1=0或2x+5y=0.【举一反三】1. 将直线绕点按逆时针方向旋转，求所得直线的方程.【答案】【解析】。直线的倾斜角为，点直线上，绕点按逆时针方向旋转，所得直线的倾斜角为，其斜率为，所以由点斜式方程得，.即为所求.2.已知直线l过点（1，2）且在x，y轴上的截距相等（1）求直线l的一般方程；（2）若直线l在x，y轴上的截距不为0，点在直线上，求的最小值【解析】（1）或（2）（1）截距为0时，截距不为0时，综上的一般方程： 或由题意得， ， 的最小值时，当时，等号成立考向三 直线过定点【例3】直线mx+y-m+2=0恒经过定点 。【答案】（1，-2）【解析】直线mx+ym+2=0，化为：m（x1）+y+2=0，可知直线经过（1，2）【举一反三】1直线2kx+y-6k+1=0kR经过定点P，则点P为 。【答案】（3，-1）【解析】直线2kx+y-6k+1=0kR的方程可化为y+1=-2kx-3当x=3，y=-1时方程恒成立，直线过定点3，-12已知实数m,n满足2m-n=1，则直线mx-3y+n=0必过定点_.【答案】-2,-13【解析】由已知得n=2m-1，代入直线mx-3y+n=0得mx-3y+2m-1=0，即x+2m+-3y-1=0，由x+2=0-3y-1=0，解得x=-2y=-13，直线必过定点-2,-13，故答案为-2,-13.3.若k、-1、b三个数成等差数列，则直线y=kx+b必经过定点 。【答案】（1，-2）【解析】因为三个数成等差数列，所以k+b=2，所以当x=1时，y=k+b=-2，即直线过定点(1,-2)，考向四 直线的位置关系【例4】已知直线.若，则实数的值是 。【答案】0或-3.【解析】，则 即 经检验都符合题意【举一反三】1.设， 分别是两条直线， 的斜率，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C。【解析】因为 是两条不同的直线，所以若，则 ，反之，若，则.故选择C.2.已知命题：“”，命题：“直线与直线互相垂直”，则命题是命题的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要【答案】A。【解析】命题中，直线 的斜率是 所以 命题是命题成立的充分不必要条件.选A3.“”是“直线与直线垂直”的（ ）A 充分必要条件 B 充分而不必要条件C 必要而不充分条件 D 既不充分也不必要条件【答案】D4.已知直线： ，直线： ，若，则（ ）A B C D 【答案】D考向五 距离【例5】（1）点到直线的距离是_（2）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是【答案】（1）【解析】（1）点到直线的距离是（2）由题意，所以直线方程为，即，【举一反三】1.点到直线的距离是 。【答案】2.【解析】由得， 2两条平行线12x-5y+10=0与12x-5y-16=0的距离是 。【答案】2【解析】由两条平行线12x-5y+10=0与12x-5y-16=0，由两条平行线之间的距离公式可得d=10-(-16)122+(-5)2=23当点到直线的距离最大时， 的值为 。【答案】-1.【解析】直线过定点Q(2,1),所以点到直线的距离最大时PQ垂直直线,即考向六 对称【例6】（1）点P（2,5）关于x+y+1=0的对称点的坐标为 。（2）已知直线若直线与关于对称,则的方程是 。（3）直线关于点对称的直线方程为_.【答案】（1）（-6，-3） （2）x-2y-1=0 (3)【解析】（1）设关于的对称点为，则，解得，即关于的对称点坐标为(3)设对称直线为，则有，解这个方程得或.结合图形可看出时两直线都在点的同侧，故舍去.所以对称直线的方程中【套路总结】涉及对称问题，主要有以下几种情况：1若点关于直线对称，设对称点是，则线段的中点在直线上且直线，由此可得一方程组，解这个方程组得：的值，从而求得对称点的坐标.2若直线关于点对称，由于对称直线必与直线平行，故可设对称直线为.因为直线间的距离是点到直线的距离的二倍，则有，解这个方程可得的值（注意这里求出的有两个），再结合图形可求得对称直线的方程3若直线关于直线对称，则在直线上取两点，求出这两点关于直线对称的两点的坐标，再由两点式便可得直线关于直线对称的直线的方程【举一反三】1.点，若线段和有相同的垂直平分线，则点的坐标是 。【答案】（6,7）【解析】AB的中点为（0,2），直线AB的斜率为，线段AB的垂直平分线为，设，则CD中点为在上，且，D点坐标为.2点关于直线的对称点的坐标为 。【答案】（-2,9）【解析】令，设对称点的坐标为，可得的中点在直线上，故可得，又可得的斜率，由垂直关系可得，联立解得，即对称点的坐标为.3若直线l与直线2x-y-2=0关于直线x+y-4=0对称，则l的方程是_【答案】x-2y+2=0【解析】设直线l上任意一点为Px,y，则P关于直线x+y-4=0的对称点Pm,n在直线2x-y-2=0上，由对称性可得y-nx-m-1=-1x+m2+y+n2-4=0，解得m=4-yn=4-x，代入直线l可得24-y-4-x-2=0，化简可得所求直线方程为x-2y+2=0，故答案为x-2y+2=0.【运用套路】-纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行1已知过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与直线2x+y+1=0平行，则m的值为A -8 B 0 C 2 D 10【答案】A。【解析】因为直线2x+y+1=0的斜率等于-2，且过点A-2,m和Bm,4的直线与直线2x+y+1=0平行，所以kAB=-2,所以4-mm+2=-2，解得m=-8，故选A2直线x+3y-2=0的倾斜角是（ ）A 6 B 3 C 23 D 56【答案】D。【解析】由x+3y-2=0，得y=-33x+233，设直线的倾斜角为，则tan=-33，0,=56，3若直线l过点(-1,2)且与直线2x-3y+4=0垂直，则l的方程为A 3x+2y-1=0 B 2x+3y-1=0C 3x+2y+1=0 D 2x-3y-1=0【答案】A。【解析】因为直线2x-3y+4=0的斜率为23，直线l与直线2x-3y+4=0垂直，所以两直线的斜率之积为-1，直线l的斜率为-32，又因为直线l过点(-1,2)，所以直线l方程为y-2=-32x+1，即3x+2y-1=0，故选A。4若直线(1-a)x+ay-3=0与(2a+3)x+(a-1)y-2=0互相垂直，则a等于（ ）A -3 B 1 C 0或-32 D 1或3【答案】D。【解析】由题意，直线(1-a)x+ay-3=0与(2a+3)x+(a-1)y-2=0互相垂直，所以(1-a)(2a+3)+a(a-1)=0，即a2+2a-3=0，解得a=1或-3，故选D.5“a=1”是“直线(2a+1)x+ay+1=0和直线ax-3y+3=0垂直”的A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充要条件 D 既不充分也不必要条件【答案】A。【解析】当a=1时，直线(2a+1)x+ay+1=0的斜率为-3，直线ax-3y+3=0的斜率为13，两直线垂直；当a=0时，两直线也垂直，所以“a=1”是“直线(2a+1)x+ay+1=0和直线ax-3y+3=0垂直”的充分不必要的条件，故选A.6已知直线3x-y+1=0的倾斜角为，则12sin2+cos2=A 25 B -15 C 14 D -120【答案】A。【解析】详解：由题设有tan=3，12sin2+cos2=sincos+cos2cos2+sin2=tan+11+tan2=410=25.故选A.7过点2，1，且平行于向量v=2，1的直线方程为（ ）A x-2y+4=0 B x+2y-4=0 C x-2y-4=0 D x+2y+4=0【答案】A。【解析】由所求直线平行于向量v=(2,1)得到直线的斜率为k=12，又直线过点(-2,1)，由直线的点斜式方程可得直线方程为y-1=12(x+2)，即x-2y+4=0，故选A8已知直线经过两条直线l1：x+y=2，l2：2x-y=1的交点，且直线l的一个方向向量v=(-3,2)，则直线l的方程是（ ）A -3x+2y+1=0 B 3x-2y+1=0C 2x+3y-5=0 D 2x-3y+1=0【答案】C。【解析】解方程组x+y=22x-y=1得x=1,y=1,所以两直线的交点为（1,1）.因为直线l的一个方向向量v=(-3,2)，所以k=-23.所以直线的方程为y-1=-23(x-1)即2x+3y-5=0.故答案为：C9如果， ，那么直线不通过（ ）A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限【答案】C。【解析】把直线化为斜截式： ，又， ， 即斜率为负值，纵截距为正值，直线不通过第三象限故选：C10设x,yR，则3-4y-cosx2+4+3y+sinx2的最小值为（ ）A 4 B 16 C 5 D 25【答案】B。【解析】3-4y-cosx2+4+3y+sinx2表示点P(3-4y，4+3y)、Q(cosx，-sinx)两点距离的平方，由x=3-4yy=4+3y得点P的机迹方程为3x+4y-25=0，由x=cosxy=-sinx得点Q的轨迹方程为x2+y2=1，则PQmin=2532+42-1=4，PQmin2=16，即3-4y-cosx2+4+3y+sinx2的最小值为16.11点到直线的距离是（ ）A 1 B 2 C D 6【答案】B。【解析】由得， ，故选B.12线2cosxy1=0，6，23的倾斜角的取值范围是_【答案】0，334，)【解析】直线2cosxy1=0，6，23的斜率k=2cos1，3，1tan3，0，334，)故答案为：0，334，)13已知直线ax+y+a+1=0，不论a取何值，该直线恒过的定点是_【答案】（1，1）【解析】 由题意，直线ax+y+a+1=0变形为a(x+1)+y+1=0， 令x+1=0y+1=0，解得x=-1,y=-1，即该直线过定点(-1,-1).14设直线2x-y+4=0的倾斜角为，则tan(+4)的值为_【答案】3【解析】由题得tan=2,所以tan(+4)=tan+11-tan=2+11-2=-3，故答案为：-3.15平行线5x+12y-10=0和mx+6y+2=0的距离是_【答案】【解析】由题意，两直线5x+12y-10=0和mx+6y+2=0平行，可得5m=126，解得m=52，即5x+12y+4=0，由两平行直线之间的距离公式，可得d=-10-452+122=1413.16已知点P(-1,2)及圆(x-3)2+(y-4)2=4，一光线从点P出发，经x轴上一点Q反射后与圆相切于点T，则|PQ|+|QT|的值为_【答案】43.【解析】43点P关于x轴的对称点为P(-1，-2)，由反射的对称性可知，PQ与圆相切，PQ+QT=PT圆(x-3)2+(y-4)2=4的圆心坐标为A(3，4)，半径r=2；AP2=(-1-3)2+(-2-4)2=52，AT=r=2PQ+QT=PT=AP2-AT2=43故答案为43.17分别在曲线y=lnx与直线y=2x+6上各取一点M与N，则MN的最小值为_【答案】7+ln255【解析】由y=lnxx0，得y=1x，令1x=2，即x=12，y=ln12=-ln2，则曲线y=lnx上与直线y=2x+6平行的切线的切点坐标为12，-ln2，由点到直线的距离公式得d=212+ln2+65=7+ln255，即MN=7+ln255.18已知直线l1:ax+y-6=0与l2:x+(a-2)y+a-1=0相交于点P，若l1l2，则a=_，此时点P的坐标为_【答案】 1 (3,3)【解析】直线l1:ax+y-6=0与l2:x+(a-2)y+a-1=0相交于点P，且l1l2，a1+1（a2）=0，即a=1，联立方程x+y-6=0x-y=0，易得x=3，y=3，P（3，3）故答案为：1，（3，3）19已知点A(-1,1),B(1,3)，l：x+2y+3=0（1）求线段AB的中点P的坐标；（2）若直线l1过点B，且与直线l平行，求直线l1的方程【答案】(1)P(0,2);(2)x+2y-7=0.【解析】（1）线段AB的中点P(0,2)； （2）直线l的斜率为-12，因直线l1与直线l平行，则直线l1的斜率为-12，直线l1的方程y-3=-12(x-1)，即x+2y-7=020（1）求经过点且在轴上截距等于轴上截距的直线方程；（2）求过直线与的交点，且与直线垂直的直线方程.【答案】(1) 或 (2) 【解析】(1)当直线过原点时，直线方程为； 当直线不过原点时，由横纵截距相等可设横纵截距，直线方程为直线经过， 即直线方程为综上所述：直线方程为或(2)由得，交点为. 又因为所求直线与垂直，所以所求直线斜率故所求直线方程为21已知直线及点.（1）证明直线过某定点，并求该定点的坐标；（2）当点到直线的距离最大时，求直线的方程.【答案】(1)证明见解析，定点坐标为；(2)15x24y20.【解析】试题分析：（1）直线l的方程可化为 a(2xy1)b(xy1)0，由，即可解得定点；（2）证明：直线l的方程可化为 a(2xy1)b(xy1)0，由， 得，所以直线l恒过定点 （2）由（1）知直线l恒过定点A，当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大 又直线PA的斜率，所以直线l的