高考数学一轮复习专题6.6独立性检验练习（含解析）.docx

6.6 独立性检验【套路秘籍】-千里之行始于足下独立性检验：22列联表B合计An11n12n1n21n22n2总计n1n2n构造一个随机变量，利用随机变量2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验：若，则有95%把握认为A与B有关；若，则有99%把握认为A与B有关；其中是判断是否有关系的临界值，应判断为没有充分证据显示A与B有关，而不能作为小于95%的量化值来判断【修炼套路】-为君聊赋今日诗，努力请从今日始【例1】某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的成绩，统计结果及对应的频率分布直方图如下所示：等级不合格合格得分20,4040,6060,8080,100频数6x24y（）若测试的同学中，分数段20,40)、40,60)、60,80)、80,100内女生的人数分别为2人、8人、16人、4人，完成22列联表，并判断：是否有90%以上的把握认为性别与安全意识有关？ 是否合格 性别 不合格合格总计男生女生总计（）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中，共选取10人进行座谈，现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为X，求X的分布列及数学期望E(X)；（）某评估机构以指标M（M=E(X)D(X)，其中D(X)表示X的方差）来评估该校安全教育活动的成效，若M0.7，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应调整安全教育方案.在（）的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？附表及公式：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d.P(K2k0)0.150.100.050.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635【答案】（）详见解析；（）详见解析；（）不需要调整安全教育方案.【解析】（）由频率分布直方图可知，得分在20,40)的频率为0.00520=0.1，故抽取的学生答卷总数为60.1=60，y=600.2=12,x=18.性别与合格情况的22列联表为： 是否合格 性别 不合格合格小计男生141630女生102030小计243660K2=60(1420-1016)230302436=1090.7.故我们认为该校的安全教育活动是有效的，不需要调整安全教育方案.【举一反三】1为推行“新课堂”教学法,某老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式在甲、乙两个平行班进行教学实验,为了解教学效果,期中考试后,分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计,作出如图所示的茎叶图,若成绩大于70分为“成绩优良”. (1)由统计数据填写下面22列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”?甲班乙班总计成绩优良成绩不优良总计(2)从甲、乙两班40个样本中,成绩在60分以下(不含60分)的学生中任意选取2人,求抽取的2人中恰有一人来自乙班的概率.附:，（）【答案】（1）见解析；（2）【解析】(1)根据茎叶图中的数据作出列联表如表所示：甲班乙班总计成绩优良101626成绩不优良10414总计202040根据列联表中的数据,得的观测值为,所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.(2)样本中成绩在60分以下的学生中甲班有4人,乙班有2人,所以的所有可能取值为,【运用套路】-纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行1我市某高中课题组通过随机询问名不同年级的学生是否能做到“扶跌倒老人”，得到如图所示的列联表，则下列结论正确的是（ ）做不到能做到高年级低年级附参照表：参考公式：，A在犯错误的概率不超过的前提下，认为“学生能否做到扶跌倒老人与年级高低有关”B在犯错误的概率不超过的前提下，认为“学生能否做到扶跌倒老人与年级高低无关”C有以上的把握认为“学生能否做到扶跌倒老人与年级高低有关”D有以上的把握认为“学生能否做到扶跌倒老人与年级高低无关”【答案】C【解析】由列联表数据可得：有以上的把握认为“学生能否做到扶跌倒老人与年级高低有关”本题正确选项：2“支付宝捐步”已经成为当下最热门的健身方式，为了了解是否使用支付宝捐步与年龄有关，研究人员随机抽取了5000名使用支付宝的人员进行调查，所得情况如下表所示：50岁以上50岁以下使用支付宝捐步10001000不使用支付宝捐步2500500（1）由上表数据，能否有99.9%的把握认为是否使用支付宝捐步与年龄有关？（2）55岁的老王在了解了捐步功能以后开启了自己的捐步计划，可知其在捐步的前5天，捐步的步数与天数呈线性相关第x天第1天第2天第3天第4天第5天步数yx40004200430050005500（i）根据上表数据，建立y关于x的线性回归方程y=bx+a；（ii）记由（i）中回归方程得到的预测步数为yx，若从5天中任取3天，记yx10.828，所以有99.9%的把握认为是否使用支付宝捐步与年龄有关；（2）（i）x=1+2+3+4+55=3,y=4000+4200+4300+5000+55005=4600,i=15xiyi=14000+24200+34300+45000+55500=72800,i=15xi2=12+22+32+42+52=55b=i=15(xi-x)(yi-y)i=15(xi-x)2=i=15xiyi-nxyi=15xi2-nx2=72800-53460055-59=380，a=y-bx=3460.所以y关于x的线性回归方程为y=380x+3460。（ii）根据线性回归方程，把x=1，2，3，4，5分别代入线性回归方程中，求出每天的预测步数，如下表所示：第x天第1天第2天第3天第4天第5天步数yx40004200430050005500预测步数为yx38404220460049805360由表中可知：yxyx的天数共有3天，从5天中任取3天，记yx6.635,所以有99%的把握认为是否应该下“禁奥令”与性别有关.(2)由题意，可知在这10人中，男、女生各5人，其中男生有4人、女生有2人认为不应该下“禁奥令”，所有可能取值有1,2,3,4.P(=1)=C41C11C32C52C52=12100;P(=2)=C42C32+C41C11C21C31C52C52=42100;P(=3)=C41C11C22+C42C21C31C52C52=40100;P(=4)=C42C22C52C52=6100.所以的分布列是所以E()=12+242+340+46100=2.4（人）4手机支付也称为移动支付，是指允许用户使用其移动终端(通常是手机)对所消费的商品或服务进行账务支付的一种服务方式随着信息技术的发展，手机支付越来越成为人们喜欢的支付方式某机构对某地区年龄在15到75岁的人群“是否使用手机支付”的情况进行了调查，随机抽取了100人，其年龄频率分布表和使用手机支付的人数如下所示：(年龄单位：岁)(1)若以45岁为分界点，根据以上统计数据填写下面的22列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关?(2)若从年龄在55，65)，65，75的样本中各随机选取2人进行座谈，记选中的4人中“使用手机支付”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望参考数据：参考公式：.【答案】（1）见解析.（2）见解析【解析】（1）由统计表可得，低于45岁人数为70人，不低于45岁人数为30人，可得列联表如下：年龄低于45岁年龄不低于45岁使用手机支付6015不使用手机支付1015于是有的观测值. 故可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关.（2）由题意可知，的所有可能取值为，相应的概率为：， 于是的分布列为:0123P所以.5随着教育信息化2.0时代的到来，依托网络进行线上培训越来越便捷，逐步成为实现全民终身学习的重要支撑最近某高校继续教育学院采用线上和线下相结合的方式开展了一次300名学员参加的“国学经典诵读”专题培训为了解参训学员对于线上培训、线下培训的满意程度，学院随机选取了50名学员，将他们分成两组，每组25人，分别对线上、线下两种培训进行满意度测评，根据学员的评分(满分100分)绘制了如下茎叶图：(1)根据茎叶图判断学员对于线上、线下哪种培训的满意度更高?并说明理由；(2)求50名学员满意度评分的中位数，并将评分不超过、超过分别视为“基本满意”、“非常满意”两个等级(i)利用样本估计总体的思想，估算本次培训共有多少学员对线上培训非常满意?(ii)根据茎叶图填写下面的列联表：并根据列联表判断能否有99.5的把握认为学员对两种培训方式的满意度有差异?附：【答案】（1）对线下培训满意度更高（2）（i）人（ii）有把握【解析】（1）对线下培训满意度更高理由如下：（i）由茎叶图可知：在线上培训中，有的学员满意度评分至多分，在线下培训中，有的学员评分至少分因此学员对线下培训满意度更高（ii）由茎叶图可知：线上培训满意度评分的中位数为分，线下评分的中位数为分因此学员对线下培训满意度更高（iii）由茎叶图可知：线上培训的满意度评分平均分高于分；线下培训的平均分低于分，因此学员对线下培训满意度更高（iv）由茎叶图可知：线上培训的满意度评分在茎上的最多，关于茎大致呈对称分布；线下培训的评分分布在茎上的最多，关于茎大致呈对称分布，又两种培训方式打分的分布区间相同，故可以认为线下培训评分比线上培训打分更高，因此线下培训的满意度更高.以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分（2）由茎叶图知 （i）参加线上培训满意度调查的名学员中共有名对线上培训非常满意，频率为，又本次培训共名学员，所以对线上培训满意的学员约为人.（ii）列联表如下：基本满意非常满意线上培训线下培训于是， 因为，所以有的把握认为学员对两种培训方式的满意度有差异6手机支付也称为移动支付，是指允许用户使用其移动终端(通常是手机)对所消费的商品或服务进行账务支付的一种服务方式随着信息技术的发展，手机支付越来越成为人们喜欢的支付方式某机构对某地区年龄在15到75岁的人群“是否使用手机支付”的情况进行了调查，随机抽取了100人，其年龄频率分布表和使用手机支付的人数如下所示：(年龄单位：岁)(1)若以45岁为分界点，根据以上统计数据填写下面的22列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关?(2)若从年龄在55，65)，65，75的样本中各随机选取2人进行座谈，记选中的4人中“使用手机支付”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望参考数据：参考公式：.【答案】（1）见解析.（2）见解析【解析】（1）由统计表可得，低于45岁人数为70人，不低于45岁人数为30人，可得列联表如下：年龄低于45岁年龄不低于45岁使用手机支付6015不使用手机支付1015于是有的观测值. 故可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关.（2）由题意可知，的所有可能取值为，相应的概率为：， 于是的分布列为:0123P所以.7近年，国家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科，某省采用3+3模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科目满分100分.为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生450人）中，采用分层抽样的方法从中抽取名学生进行调查.（1）已知抽取的名学生中含男生55人，求的值；（2）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），下表是根据调查结果得到的列联表. 请将列联表补充完整，并判断是否有 99%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；（3）在抽取到的女生中按（2）中的选课情况进行分层抽样，从中抽出9名女生，再从这9名女生中抽取4人，设这4人中选择“地理”的人数为，求的分布列及期望.附：，【答案】(1) ；(2) 有把握；(3) .【解析】（1）由题意得，解得 （2）列联表为：选择“物理”选择“地理”总计男生451055女生252045总计7030100，故有99%的把握认为选择科目与性别有关（3）从45名女生中分层抽样抽9名女生，所以这9名女生中有5人选择物理，4人选择地理，9名女生中再选择4名女生，则这4名女生中选择地理的人数可为0，1，2，3，4. 设事件发生概率为，则， . 所以的分布列为：01234期望.8某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额(单位：千元)，网购次数和支付方式等进行了问卷调査.经统计这100位居民的网购消费金额均在区间内，按，分成6组，其频率分布直方图如图所示.（1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；（2）将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”；男女合计网购迷20非网购迷45合计100（3）调査显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不. 影响.统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示：网购总次数支付宝支付次数银行卡支付次数微信支付次数甲80401624乙90601812将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为，求的数学期望.附：观测值公式：临界值表：0.010.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1) 中位数估计为17.5千元. (2)见解析；(3) 【解析】（1）在直方图中，从左至右前3个小矩形的面积之和为， 后2个小矩形的面积之和为，所以中位数位于区间内.设直方图的面积平分线为，则，得，所以该社区居民网购消费金额的中位数估计为17.5千元.（2）由直方图知，网购消费金额在20千元以上的频数为，所以“网购迷”共有35人，由列联表知，其中女性有20人，则男性有15人.所以补全的列联表如下：男女合计网购迷152035非网购迷452065合计6040100因为，查表得，所以有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关系”.（3）由表知，甲，乙两人每次网购采用支付宝支付的概率分别为，.设甲，乙两人采用支付宝支付的次数分别为，据题意，.所以，.因为，则，所以的数学期望为.92021年，辽宁省将实施新高考，2018年暑期入学的高一学生是新高考首批考生，新高考不再分文理科，采用模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科目满分100分.为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生450人）中，采用分层抽样的方法从中抽取名学生进行调查.（1）已知抽取的名学生中含女生45人，求的值及抽取到的男生人数；（2）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），下表是根据调查结果得到的列联表：选择“物理”选择“地理”总计男生10女生25总计请将上面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；（3）在抽取到的45名女生中按分层抽样再抽出9名女生，了解女生对“历史”的选课意向情况，在这9名女生中再抽取4人，设这4人中含选择“地理”的人数为，求的分布列及期望.0.0500.0103.8416.635附：，其中.【答案】（1）；男生55人（2）见解析；（3）见解析【解析】（1）由题意得： ，解得，男生人数为：人 （2）22列联表为：选择“物理”选择“地理”总计男生451