高考数学一轮复习专题6.4古典概型练习（含解析）.docx

6.4 古典概型【套路秘籍】-千里之行始于足下1基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和2古典概型满足以下两个条件的随机试验的概率模型称为古典概型(1)所有的基本事件只有有限个；(2)每个基本事件的发生都是等可能的3如果1次试验的等可能基本事件共有n个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是.如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为P(A).4古典概型的概率公式P(A).【修炼套路】-为君聊赋今日诗，努力请从今日始考向一 古典概型【例1 】(1)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为_(2)袋中有形状、大小都相同的4个球，其中1个白球，1个红球，2个黄球，从中一次随机摸出2个球，则这2个球颜色不同的概率为_【答案】（1） （2）【解析】（1）从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，所求概率P.（2）设取出的2个球颜色不同为事件A，基本事件有：(白，红)，(白，黄)，(白，黄)，(红，黄)，(红，黄)，(黄，黄)，共6种，事件A包含5种，故P(A).【套路总结】求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择【举一反三】1.某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为_【答案】【解析】记两个食堂为A，B，则甲、乙、丙在两个食堂用餐的所有情况有(A，A，A)，(A，A，B)，(A，B，A)，(A，B，B)，(B，A，A)，(B，A，B)，(B，B，A)，(B，B，B)，共8种，其中他们在同一个食堂用餐有2种情形，概率为.2甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡都送给丁的概率为（）ABCD【答案】C【解析】（甲送给丙、乙送给丁）、（甲送给丁，乙送给丙）、（甲、乙都送给丙）、（甲、乙都送给丁）共四种情况，其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种，所以甲、乙将贺年卡送给同一人丁的情况一种，概率是：，故选：C3我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如，在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为（ ）ABCD【答案】D【解析】不超过14的素数有2，3，5，7，11，13共6 个，从这6个素数中任取2个，有2与3，2与5，2与7，2与11，2与13，3与5，3与7，3与11，3与13，5与7，5与11，5与13，7与11，7与13，11与13共15种结果，其中和等于14的只有一组3与11，所以在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为,故选D.考向二古典概型与统计的综合应用【例2】 某县共有90个农村淘宝服务网点，随机抽取6个网点统计其元旦期间的网购金额(单位：万元)的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数(1)根据茎叶图计算样本数据的平均数；(2)若网购金额(单位：万元)不小于18的服务网点定义为优秀服务网点，其余为非优秀服务网点，根据茎叶图推断这90个服务网点中优秀服务网点的个数；(3)从随机抽取的6个服务网点中再任取2个作网购商品的调查，求恰有1个网点是优秀服务网点的概率【答案】（1）12 （2)30 (3)【解析】(1)由题意知，样本数据的平均数12.(2)样本中优秀服务网点有2个，概率为，由此估计这90个服务网点中优秀服务网点有9030(个)(3)样本中优秀服务网点有2个，分别记为a1，a2，非优秀服务网点有4个，分别记为b1，b2，b3，b4，从随机抽取的6个服务网点中再任取2个的可能情况有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4)，(b3，b4)，共15种，记“恰有1个是优秀服务网点”为事件M，则事件M包含的可能情况有：(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，共8种，故所求概率P(M).【举一反三】1海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区ABC数量50150100(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率【答案】（1）1、3、2 （2）.【解析】(1)A，B，C三个地区商品的总数量为50150100300，抽样比为，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是501,1503,1002.所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是1,3,2.(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为A；B1，B2，B3；C1，C2.则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为A，B1，A，B2，A，B3，A，C1，A，C2，B1，B2，B1，B3，B1，C1，B1，C2，B2，B3，B2，C1，B2，C2，B3，C1，B3，C2，C1，C2，共15个每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有：B1，B2，B1，B3，B2，B3，C1，C2，共4个所以P(D)，即这2件商品来自相同地区的概率为【运用套路】-纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行1一个袋中有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号之和不小于15的概率为（ ）.A132 B164 C364 D332【答案】D【解析】基本事件为(1,1),(1,2),(1,8),(2,1),(2,2),(8,8),共64种.两球编号之和不小于15的情况有三种,分别为(7,8),(8,7),(8,8),所求概率为364.故选D.2从含有3个元素的集合的所有子集中任取一个，所取得子集是含有2个元素的集合的概率（ ）ABCD【答案】D【解析】因为含有3个元素的集合共有子集个数，含有2个元素的子集有个，所以,故选D.3已知等差数列中，为其前项和，（其中为圆周率），现从此数列的前30项中随机选取一个元素，则该元素的余弦值为负数的概率为( )ABCD【答案】A【解析】等差数列中，为其前项和，（其中为圆周率），解得，前30项中，第6至14项和第26项至第30项的余弦值是负数，现从此数列的前30项中随机选取一个元素，则该元素的余弦值为负数的概率为，故选A4从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )ABCD【答案】D【解析】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的基本事件总数；抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)共有10个基本事件，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率,故选D5现有三张识字卡片，分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是.ABCD【答案】D【解析】把这三张卡片排序有“中国梦”，“中梦国”，“国中梦”，“国梦中”，“梦中国”，“梦国中”，共有种能组成“中国梦” 的只有种，故所求概率为本题正确选项：6盒子里有25个外形相同的球，其中10个白的，5个黄的，10个黑的，从盒子中任意取出一球，已知它不是白球，则它是黑球的概率为_.【答案】【解析】由题可知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从盒子中取出一个不是白球的小球，共有种结果，满足条件的事件是取出的球是一个黑球，共有种结果，所以根据等可能事件的概率得到7为了检验学习情况，某培训机构于近期举办一场竞赛活动，分别从甲、乙两班各抽取10名学员的成绩进行统计分析，其成绩的茎叶图如图所示（单位：分），假设成绩不低于90分者命名为“优秀学员”.（1）分别求甲、乙两班学员成绩的平均分（结果保留一位小数）；（2）从甲班4名优秀学员中抽取两人，从乙班2名80分以下的学员中抽取一人，求三人平均分不低于90分的概率.【答案】（1）见解析（2）56【解析】（1）甲组的平均分为88.1；乙组的平均分为89.0（2）抽取情况为：92，94，78； 92，94，79； 92，106，78； 92，106，79； 92，108，78； 92，108，79； 94，106，78； 94，106，79； 94，108，78；94，108，79； 106，108，78； 106，108，79总共有12种这12种平均分不低于90分的情况有10种所以三人平均分不低于90分的概率为568工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标Y进行检测，一共抽取了48件产品，并得到如下统计表该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标Y有关，具体见下表.质量指标Y9.4,9.89.8,10.210.2,10.6频数82416一年内所需维护次数201（1）以每个区间的中点值作为每组指标的代表，用上述样本数据估计该厂产品的质量指标Y的平均值（保留两位小数）；（2）用分层抽样的方法从上述样本中先抽取6件产品，再从6件产品中随机抽取2件产品，求这2件产品的指标Y都在9.8，10.2内的概率；（3）已知该厂产品的维护费用为300元/次，工厂现推出一项服务：若消费者在购买该厂产品时每件多加100元，该产品即可一年内免费维护一次.将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用.假设这48件产品每件都购买该服务，或者每件都不购买该服务，就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用，并以此为决策依据，判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务？【答案】（1）1007；（2）15；（3）该服务值得购买【解析】（1）指标Y的平均值9616+1036+104261007（2）由分层抽样法知，先抽取的6件产品中，指标Y在9.4，9.8）内的有3件，记为A1、A2、A3；指标Y在（10.2，10.6内的有2件，记为B1、B2：指标Y在9.4，9.8）内的有1件，记为C从6件产品中随机抽取2件产品，共有基本事件15个A1,A2、A1,A3、A1,B1、A1,B2、A1,C、A2,A3、A2,B1、A2,B2、A2,C、A3,B1、A3,B2、A3,C、B1,B2、B1,C、B2,C.其中，指标Y都在9.8,10.2内的基本事件有3个：A1,A2、A1,A3、A2,A3所以由古典概型可知，2件产品的指标Y都在9.8,10.2内的概率为P=315=15.（3）不妨设每件产品的售价为x元，假设这48件样品每件都不购买该服务，则购买支出为48x元其中有16件产品一年内的维护费用为300元件，有8件产品一年内的维护费用为600元件，此时平均每件产品的消费费用为=14848x+16300+8600=x+200元；假设为这48件产品每件产品都购买该项服务，则购买支出为48x+100元，一年内只有8件产品要花费维护，需支出8300=2400元，平均每件产品的消费费用=14848x+100+8300=x+150元.所以该服务值得消费者购买.9衡阳市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者，现从符合条件的志愿者中随机抽取100名后按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，则应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的条件下，该市决定在第3，4组的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.【答案】（1）；（2） .【解析】（1）第组的人数为；第组的人数为；第组的人数为因为第组共有名志愿者，所以利用分层抽样的方法在名志愿者中抽取名每组抽取的人数分别为：第组：；第组：；第组：所以应从第组中分别抽取人，人，人（2）记第组的名志愿者为，第组的名志愿者为则从名志愿者中抽取名志愿者有：，共种其中第组的名志愿者至少有一名志愿者被抽中的有：，共种所以第组至少有一名志愿都被抽中的概率为：10有两个不透明的箱子，每个箱子都装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字1,2,3,4.(1)甲从其中一个箱子中摸出一个球，乙从另一个箱子摸出一个球，谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同则为平局），求甲获胜的概率；(2)摸球方法与（1）同，若规定：两人摸到的球上所标数字相同甲获胜，所标数字不相同则乙获胜，这样规定公平吗？请说明理由。【答案】（1）；（2）不公平【解析】（1）记甲，乙摸出的数字为，则共有种情况，则的有：共6种情况，故甲获胜的概率为；（2）摸到的球上所标数字相同的情况有共4种情况，故甲获胜的概率为，乙获胜的概率为；故不公平11本市摄影协会准备在2019年10月举办主题为“庆祖国70华诞我们都是追梦人”摄影图片展.通过平常人的镜头记录国强民富的幸福生活，向祖国母亲的生日献礼.摄影协会收到了来自社会各界的大量作品，打算从众多照片中选取100张照片展出，其参赛者年龄集中在之间，根据统计结果，做出频率分布直方图如图：（1）根据频率分布直方图，求这100位摄影者年龄的样本平均数和中位数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）为了展示不同年龄作者眼中的祖国形象，摄影协会按照分层抽样的方法，计划从这100件照片中评出20个最佳作品，并邀请作者参加“讲述照片背后的故事”座谈会.在答题卡上的统计表中填出每组应抽取的人数；年龄人数若从较年轻的前三组作者中选出2人把这些图片和故事整理成册，求这2人至少有一人的年龄在的概率.【答案】（1）平均数60，中位数（2）详见解析；.【解析】（1）在频率分布直方图中，这100位参赛者年龄的样本平均数.设中位数为，由，解得（或答55.57）.（2）每组应各抽取人数如下表：年龄抽取人数123743根据分层抽样的原理，年龄在前三组内分别有1人、2人、3人，设在第一组的是，在第二组的是，在第三组的是，列举选出2人的所有可能如下：，.共15种情况.设“这2人至少有一人的年龄在区间”为事件，所有可能如下：， ，共9种情况.则.12某校高三共有1000位学生，为了分析某次的数学考试成绩，采取随机抽样的方法抽取了50位高三学生的成绩进行统计分析，得到如图所示频数分布表：分组频数31118126（1）根据频数分布表计算成绩在的频率并计算这组数据的平均值（同组的数据用该组区间的中点值代替）；（2）用分层抽样的方法从成绩在和的学生中共抽取5人，从这5人中任取2人，求成绩在和中各有1人的概率.【答案】（1） （2）【解析】（1）根据频率分布表知成绩在内的概率为，.（2）根据分层抽样得应在和中分别抽取3人和2人，将中的3人编号为1，2，3，将中的2人编号为，则此事件中的所有基本事件为，共10个，记成绩在和中各有1人为事件，事件包含的基本事件有6个，则.13设甲、乙、丙三个乒乓球协会分别选派3，1，2名运动员参加某次比赛，甲协会运动员编号分别为，乙协会编号为，丙协会编号分别为，若从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.（1）用所给编号列出所有可能抽取的结果；（2）求丙协会至少有一名运动员参加双打比赛的概率；（3）求参加双打比赛的两名运动员来自同一协会的概率.【答案】（1）15种；（2）；（3）【解析】（1）由题意，从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛，所有可能的结果为，共15种.（2）因为丙协会至少有一名运动员参加双打比赛，所以编号为，的两名运动员至少有一人被抽到，其结果为：设“丙协会至少有一名运动员参加双打比赛”为事件，共9种，所以丙协会至少有一名运动员参加双打比赛的概率.（3）两名运动员来自同一协会有，共4种，参加双打比赛的两名运动员来自同一协会的概率为.14高一某班级在学校数学嘉年华活动中推出了一款数学游戏，受到大家的一致追捧.游戏规则如下：游戏参与者连续抛掷一颗质地均匀的骰子，记第i次得到的点数为，若存在正整数n，使得，则称为游戏参与者的幸运数字。（I）求游戏参与者的幸运数字为1的概率；（）求游戏参与者的幸运数字为2的概率，【答案】（I）；（）【解析】（I）设“游戏参与者的幸运数字为1”为事件A，由题意知,抛掷了1次骰子，相应的基本事件空间为，共有6个基本事件， 而，只有1个基本事件，所以（）设“游戏参与者的幸运数字为2”为事件B， 由题意知，抛掷了2次骰子，相应的基本事件空间为共有36个基本事件， 而，共有5个基本事件 ,所以.15过去大多数人采用储蓄的方式将钱储蓄起来，以保证自己生活的稳定，考虑到通货膨胀的压力，如果我们把所有的钱都用来储蓄，这并不是一种很好的方式，随着金融业的发展，普通人能够使用的投资理财工具也多了起来，为了研究某种理财工具的使用情况，现对年龄段的人员进行了调查研究，将各年龄段人数分成5组：，并整理得到频率分布直方图：（1）求图中的值；（2）采用分层抽样的方法，从第二组、第三组、第四组中共抽取8人，则三个组中各抽取多少人？（3）在（2）中抽取的8人中，随机抽取2人，则这2人都来自于第三组的概率是多少？【答案】（1）0.020；（2）2，4，2；（3）【解析】（1）由频率分布直方图的性质可得，解得；（2）第二组、第三组、第四组的频率比为，三个组依次抽取的人数为2，4，2.（3）记第一组两人分别为，第二组四人分别为，第三组两人分别为从8人中抽取两人共包含，,，28个基本事件，而都来自于第三组为，故其概率为.16是亚太区域国家与地区加强多边经济联系、交流与合作的重要组织，其宗旨和目标是“相互依存、共同利益，坚持开放性多边贸易体制和减少区域间贸易壁垒.”2017年会议于11月10日至11日在越南岘港举行.某研究机构为了了解各年龄层对会议的关注程度，随机选取