高一数学同步练习(必修4第一章三角函数(一)).(教师版)doc.doc

高一数学同步练习必修四第一章三角函数（一）一、任意角、弧度制及任意角的三角函数A.基础梳理1任意角(1)角的概念的推广按旋转方向不同分为正角、负角、零角 按终边位置不同分为象限角和轴线角(2)终边相同的角 终边与角相同的角可写成k360(kZ)(3)弧度制1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角弧度与角度的换算：3602弧度；180弧度弧长公式：l|r， 扇形面积公式：S扇形lr|r2.2任意角的三角函数定义设是一个任意角，角的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为r(r0)，那么角的正弦、余弦、正切分别是：sin ，cos ，tan ，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数3三角函数线三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线B.方法与要点1、一条规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(2) 终边落在x轴上的角的集合|k，kZ；终边落在y轴上的角的集合；终边落在坐标轴上的角的集合可以表示为.2、两个技巧(1)在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP|r一定是正值(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧3、三个注意(1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角(2)角度制与弧度制可利用180 rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用(3)注意熟记0360间特殊角的弧度表示，以方便解题C.双基自测1(人教A版教材习题改编)下列与的终边相同的角的表达式中正确的是 ()A2k45(kZ) Bk360(kZ) Ck360315(kZ) Dk(kZ)解析与的终边相同的角可以写成2k(kZ)，但是角度制与弧度制不能混用。 答案C2若k18045(kZ)，则在()A第一或第三象限 B第一或第二象限 C第二或第四象限 D第三或第四象限解析当k2m1(mZ)时，2m180225m360225，故为第三象限角；当k2m(mZ)时，m36045，故为第一象限角 答案A3若sin 0且tan 0，则是()A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角解析由sin 0知是第三、四象限或y轴非正半轴上的角，由tan 0知是第一、三象限角是第三象限角 答案C4已知角的终边过点(1,2)，则cos 的值为()A B. C D解析由三角函数的定义可知，r，cos . 答案A5(2011江西)已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，若P(4，y)是角终边上一点，且sin ，则y_.解析根据正弦值为负数且不为1，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该角为第四象限角，y0，sin y8. 答案8D.考点解析考点一角的集合表示及象限角的判定【例1】(1)写出终边在直线yx上的角的集合；(2)若角的终边与角的终边相同，求在0,2)内终边与角的终边相同的角；(3)已知角是第二象限角，试确定2、所在的象限审题视点 利用终边相同的角进行表示及判断解(1)在(0，)内终边在直线yx上的角是，终边在直线yx上的角的集合为(2)2k(kZ)，(kZ)依题意02k，kZ.k0,1,2，即在0,2)内终边与相同的角为，.(3)是第二象限角，k36090k360180，kZ. 2k36018022k360360，kZ.2是第三、第四象限角或角的终边在y轴非正半轴上k18045k18090，kZ，当k2m(mZ)时，m36045m36090；当k2m1(mZ)时， m360225m360270； 为第一或第三象限角 (1)相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360的整数倍(2)角的集合的表示形式不是唯一的，如：终边在y轴非正半轴上的角的集合可以表示为，也可以表示为.【训练1】 角与角的终边互为反向延长线，则()A B180 Ck360(kZ) Dk360180(kZ)解析对于角与角的终边互为反向延长线，则k360180(kZ)k360180(kZ) 答案D考点二三角函数的定义【例2】已知角的终边经过点P(，m)(m0)且sin m，试判断角所在的象限，并求cos 和tan 的值审题视点 根据三角函数定义求m，再求cos 和tan .解由题意得，r，m，m0， m，故角是第二或第三象限角当m时，r2，点P的坐标为(，)，角是第二象限角，cos ， tan .当m时，r2，点P的坐标为(，)，角是第三象限角cos ， tan. 任意角的三角函数值仅与角的终边位置有关，而与角终边上点P的位置无关若角已经给出，则无论点P选择在终边上的什么位置，角的三角函数值都是确定的【训练2】 (2011课标全国)已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y2x上，则cos ()A B C. D. 解析取终边上一点(a,2a)，a0，根据任意角的三角函数定义，可得cos ，答案D考点三弧度制的应用【例3】已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.(1)求弦AB所对的圆心角的大小；(2)求所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.审题视点 (1)由已知条件可得AOB是等边三角形，可得圆心角的值；(2)利用弧长公式可求得弧长，再利用扇形面积公式可得扇形面积，从而可求弓形的面积解(1)由O的半径r10AB，知AOB是等边三角形， AOB60.(2)由(1)可知，r10，弧长lr10， S扇形lr10，而SAOBAB10， SS扇形SAOB50. 弧度制下的扇形的弧长与面积公式，比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多，用起来也方便得多因此，我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式【训练3】 已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？解设圆心角是，半径是r，则2rr40，Slrr(402r)r(20r)2100. 当且仅当r20r，即r10时，Smax100.当r10，2时，扇形面积最大，即半径为10，圆心角为2弧度时，扇形考点四三角函数线及其应用【例4】在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围并由此写出角的集合：(1)sin ；(2)cos .审题视点 作出满足sin ，cos 的角的终边，然后根据已知条件确定角终边的范围解(1)作直线y交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，则OA与OB围成的区域(图中阴影部分)即为角的终边的范围，故满足条件的角的集合为.(2)作直线x交单位圆于C、D两点，连接OC、OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角终边的范围，故满足条件的角的集合为. 利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤是：(1)用边界值定出角的终边位置； (2)根据不等式(组)定出角的范围；(3)求交集，找单位圆中公共的部分； (4)写出角的表达式【训练4】 求下列函数的定义域：(1)y； (2)ylg(34sin2x)解(1)2cos x10，cos x.由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)定义域为(kZ)(2)34sin2x0，sin2x，sin x.利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，定义域为(kZ)二、同角三角函数的基本关系与诱导公式A.基础梳理1同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2cos21； (2)商数关系：tan . （3）倒数关系：2诱导公式公式一：sin(2k)sin ，cos(2k)cos_， 其中kZ.公式二：sin()sin_，cos()cos_，tan()tan .公式三：sin()sin_，cos()cos_. 公式四：sin()sin ，cos()cos_.公式五：sincos_，cossin . 公式六：sincos_，cossin_.诱导公式可概括为k的各三角函数值的化简公式记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化若是奇数倍，则函数名称变为相应的余名函数；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号B.方法与要点一个口诀1、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan 化成正、余弦(2)和积转换法：利用(sin cos )212sin cos 的关系进行变形、转化（、三个式子知一可求二）(3)巧用“1”的变换：1sin2cos2cos2(1tan2)tan.（4）齐次式化切法：已知，则3、三个防范(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负脱周化锐 特别注意函数名称和符号的确定(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号(3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化C.双基自测1(人教A版教材习题改编)已知sin()，则cos 的值为()A B. C. D解析sin()sin ， sin .cos . 答案D2点A(sin 2 011，cos 2 011)在直角坐标平面上位于()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限解析2 0113605(18031)， sin 2 011sin3605(18031)sin 310，cos 2 011cos3605(18031)cos 310， 点A位于第三象限 答案C3已知cos ，(0，)，则tan 的值等于()A. B. C D解析(0，)，sin ，tan . 答案B4cossin的值是()A. B C0 D.解析coscoscoscos，sinsinsinsin.cossin. 答案A5已知是第二象限角，tan ，则cos _.解析由题意知cos 0，又sin2cos21，tan .cos . 答案D.考点解析考点一利用诱导公式化简、求值【例1】已知f()，求f.审题视点 先化简f()，再代入求解解f()cos ， fcos coscos . (1)化简是一种不指定答案的恒等变形，其结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值(2)诱导公式的应用原则：负化正、大化小，化到锐角为终了【训练1】 已知角终边上一点P(4,3)，则的值为_解析原式tan ，根据三角函数的定义，得tan . 答案考点二同角三角函数关系的应用题型1：已知一个三角函数值，求其他三角函数值【例21】已知，那么的值是（ ） A B C D 解析：由，.故选B【训练11】已知，求、的值解析：分类讨论（1）若，则是第一、四象限角当是第一象限角时，当是第四象限角时，（2）若，则是第二、三象限角当是第二象限角时，当是第三象限角时，（3）若，则是终边在轴上的界限角此时，没有意义.（1）已知一个三角函数值求其他三角函数值时，要确定角所在的象限后再用平方关系，只有用到平方关系时，才考虑根号前面的符号。（2）若不能确定的象限时，则需进行分类讨论.题型2：齐次化切法【例22】已知tan 2.求：(1)； (2)4sin23sin cos 5cos2.审题视点 (1)齐次化切法，方法：同除cos ；(2)利用1sin2cos2，把整式变为分式，再同除cos2.解(1)1.(2)4sin23sin cos 5cos21.【训练22】 已知5.则sin2sin cos _.解析依题意得：5，tan 2.sin2sin cos . 答案 (1)关于sin ，cos 的齐次式（分子、分母中的各项的方次相同），往往化为关于tan 的式子（2）具体方法：分子分母同除cos ；（或同除cos2.）.（必要时添加1sin2cos2）题型3：sin cos ，sin cos ，sin cos 三个式子知一求二【例23】已知，且 ，求（1）；（2）（3）（利用乘法公式：解析：（1），两边平方得：且，即是第二象限角，由得（2）、两式相加，得，两式相减得（3）【训练23】已知，求（1）；（2）（3）； 解析：（1），（2），由三角函数线知，（3）(1)对于sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求（2）转化的公式为(sin cos )212sin cos .考点三三角形中的诱导公式【例3】在ABC中，sin Acos A，cos Acos(B)，求ABC的三个内角审题视点 要求三角形的内角，需求得某一内角的某一三角函数值，故结合条件sin Acos A知先求角A，进而求其他角解由已知可得 sin， 因为0A，所以A.由已知可得cos Acos B，把A代入可得cos B，又0B，从而B，所以C. 在ABC中常用到以下结论：sin(AB)sin C，cos(AB)cos C，tan(AB)tan C，sincos，cossin.【训练3】 若将例3的已知条件“sin Acos A”改为“sin(2A)sin(B)”其余条件不变，求ABC的三个内角解由条件得：sin Asin B，即sin Asin B，cos Acos B，平方相加得：sin2 A3cos2 A22cos2 A1，cos A. 若cos A，则cos B，A，B均为钝角不可能故cos A，cos B，故A，B，C.自我检测题一、选择题1、集合|k+k+，kZ中的角所表示的范围（阴影部分）是（）A、B、C、 D解答：解：当k取偶数时，比如k=0时，+，故角的终边在第一象限当k取奇数时，比如k=1时，+，故角的终边在第三象限综上，角的终边在第一、或第三象限，故选 C2、已知角a的终边经过点P（4m，3m）（m0），则2sina+cosa的值是（）A、1或1B、或 C、1或 D、1或解答：解：，当m0时，；当m0时，故选B3、（2000天津）已知sinsin，那么下列命题成立的是（）A、若、是第一象限角，则coscosB、若、是第二象限角，则tantanC、若、是第三象限角，则coscosD、若、是第四象限角，则tantan解：若、同属于第一象限，则，coscos；故A错第二象限，则，tantan；故B错第三象限，则，coscos；故C错第四象限，则，tantan（均假定0，2）故D正确答选为D4、若|sin|=，5，则tan等于（）A、 B、 C、 D、解：|sin|=，5，sin，cos=，tan=故选C5.若costan (B)costansin(C)sintancos (D)tansincos【解析】选D.在单位圆上过角终边与单位圆的交点P向x轴引垂线PD,利用OPD与OTA中边的不等关系易知,ODDPAT,cossintan.6、设角的值等于（）A、B、C、D、解答：解：因为，则=故选C7、已知cos（+）=，则sin（）=（）A、B、C、D、解答：解：sin（）=cos（）=cos（+）=故选A8、已知sincos，且0，则tan的值为 ( )解答：解：由sincos，两边平方得由且0得，两式相加得，两式相减得，选C9、在ABC中，sin（A+B）+sinC；cos（B+C）+cosA；tantan；，其中恒为定值的是（）A、B、C、D、解答：解：sin（A+B）+sinC=sin（c）+sinC=2sinC，不是定值排除；cos（B+C）+cosA=cos（A）+cosA=cosA+cosA=0符合题意；tantan=tan（）tan=cottan=1