重庆大学概率论习题二.doc

习题二 A组1 一批产品中有13件正品2件次品，现从中不放回抽取3件，求抽到次品数的分布函数。解： X的所有可能取值为0、1、2。 。2 一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，从袋中同时取出3只，以表示取出的3只球中的最大号码，试求：1）的分布律；2）的分布函数，并画图。解：1）的可能取值为3,4,5， ； ； ； 3 4 5 0.1 0.3 0.6 2) 3 设一学生用同一台机床接连独立地制造3个同种零件，第个为不合格品的概率为，以表示3个零件中的合格品数，求的分布律。解：的可能取值：0，1，2，3设表示第i个零件是合格品， 。4 设随机变量的分布律为，且，试确定参数。解： 因为 利用几何级数，即，解出：。5 某建筑工地装有5个同类型的供水设备，设在同一时刻设备被使用的概率为0.2，各设备是否被使用相互独立，求在同一时刻下列事件的概率：（1）最多2个设备被使用； （2）至少有2个设备被使用；解：设为同一时刻使用的设备数，可能取值为：0，1，2，3，4，5，则，（1）；（2）6一电话总机每分钟收到呼唤次数服从参数为4的泊松分布。求（1）某一分钟恰有8次呼唤的概率；（2）某一分钟的呼唤次数大于3的概率。解：（1）；（2）。7 设，且，求。解：因为，所以 又，所以，即8 有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001。在某天的该段时间内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少？解：因为，所以9学校乘汽车到火车站的途中有4 个交通岗，设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是，以表示汽车停下时通过的交通岗个数，求的分布律。解：1234的可能取值：0，1，2，3，410设随机变量的分布函数为（1）求常数与；（2）求；（3）求的密度函数。解： （1）由分布函数的性质有 (2) (3) 11设随机变量的分布函数为（1）求概率；（2）的密度函数。解：（1）； ； （2） ；12设随机变量的密度函数为： （1）求的分布函数；并画出的图形；（2）求概率；解：（1） （2）。13设随机变量具有密度函数（1）求常数； （2）求; （3）求的分布函数。解：（1）由密度函数的性质有所以A=1/； （2）（3）当x-1时，当-1x1时，当1x时，所以X的分布函数为：14设随机变量具有密度函数，（1）求常数；（2）求；（3）求的分布函数。解：（1）由密度函数的性质有所以；（2）（3）当x0时，有当0x时，有所以X的分布函数为15设随机变量与同分布，具有密度函数已知事件与独立，且, 求常数。解：因为X与Y同分布，所以。因独立，所以，于是令，则所以t=1/2或3/2。显然t = 3/2不合题意，舍去，于是即 16设随机变量，（1）求概率；（2）确定常数，使得；解：（1）（2）17设一工厂生产的电子元件的寿命，若要求，允许最大为多少？解： 所以，查表得，于是 =31.25 18设 试确定a。解： 所以，查表得，于是a = 3.28。19设，求分点使分别落在的概率之比为3：4：5。解： 所以x1 = 57.975, x2 = 60.63。20在电源电压不超过200伏、200240伏和超过240伏三种情况下，某电子元件损坏的概率分别为0.1、0.001和0.2。假设电源电压服从正态分布，试求：（1）该电子元件损坏的概率。（2）当该电子元件损坏时，电子电压在200240伏的概率。解：设电源电压为，则设表示某电子元件损坏，已知，（1）（2）21设,现对的值进行四次独立观测，求至少有两次观测到的值大于3的概率。解： 表示四次独立观测中事件出现的次数，则， 。22设 ，求（1）的分布律；（2）。解：Y 0 1 P 0.617 0.383（1）所以 。23设具有分布律：X-2-1/2024P1/81/41/81/61/3求（1）+2；（2）-+1；（3） 的分布律。解：X-2-1/2024X+203/2246-X+133/21-1-3X241/40416P1/81/41/81/61/3所以X+2的分布律为：X+203/2246P1/81/41/81/61/3所以-X+1的分布律为：-X+133/21-1-3P1/81/41/81/61/3所以 的分布律为：X241/4016P7/241/41/81/324设，令，求的密度函数。因为，的反变换为所以，25设，求下列函数的密度函数：解： 因为，所以的密度函数为： （1） （2） 26设随机变量具有连续严格单调分布函数，求的分布。解：显然，当，当当时，所以，综合上述，得到27设随机变量具有密度函数（1）求常数a，使得； （2）求的密度函数；（3）求常数b，使得P2+1b=0.5；（4）求在5次独立重复试验中事件恰好出现两次的概率。解：（1）显然0 a 1，也即 即a 2 = 1/2，所以a = ;(2) 另Y2 = X2，即X2 U0，1。 (3) P2X+1b= = 0.5，显然有 。(4)先计算每次试验事件出现的概率， 令Y表示事件在5次重复独立试验中所出现的次数，则Y B(5, 1/16)，于是事件恰好出现两次的概率为28将长度为1的棒随机的折成两段，求较短段长度的密度函数。解：设棒折成长为Y，1-Y的两段，则X= min (Y，1-Y)。由题意Y U(0,1)，再因为Y取值于（0，1）区间，于是X的所有可能取值位于(0，1/2)当x0时，当时，当时，此时所以X的密度函数为：B组1设篮球队与进行比赛，若有一队胜4场则比赛结束。假定在每场比赛中获胜的概率都是1/2，试求需要比赛场数的分布律。解：的可能取值：4，5，6，7 45671/81/45/165/162设某机器加工一种产品的次品率为0.1, 检验员每天检验4次，每次随机地抽取5件产品进行检验，如果发现次品多于1件，就要调整机器，求一天中调整机器次数的分布律。解：设表示抽取5件产品，发现的次品数，表示调整机器数令则可以计算x01234p0.71170.25260.03360.001990.0.0003设试验成功的概率为，失败的概率为，做独立重复试验直到成功两次为止，用表示所需进行的试验次数，求的分布律。解：，x23.p9/169/32.4. 设随机变量的绝对值不大于1，；在事件 出现的条件下，在(-1，1)内的任一子区间上取值的条件概率与该区间长度成正比，试求的分布函数。解：由题意知， 设任意实数， 即， 特别地，当时， 又已知， 所以， 当时， 即，5设随机变量在2，5上服从均匀分布，现对进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率。解： 设表示3次独立观测，事件出现的次数，可能取值为：0，1，2，3 则 求6设随机变量的密度函数为 若存在常数，使得，则求常数的取值范围。解：因为，可以推出 根据的密度函数可以求的分布函数 由此得到，欲使，则。7设某工厂生产某种电子元件，其寿命(以年计)服从指数分布，其参数为，工厂规定出售的电子元件在一年内损坏可调换。若工厂出售一个电子元件赢利100元，调换一个需要花费300元，试解答以下各题：1） 求一个电子元件在一年内损坏的概率；2） 若某仪器装有5个这种电子元件，且它们独立工作，求在使用一年内恰有3个元件损坏的概率；3） 求出售一个电子元件赢利的分布律。解：1）因为 2）设表示5个元件在一年内损坏的个数，即的取值：0，1，2，3，4，5 所以 3）的分布律 100 -200 8假设随机变量在区间(1，2)上服从均匀分布，试求随机变量的概率密度。解：因为Y是严格单调函数，其反函数为，Y的取值范围是： 根据公式，其中 则9设，求的密度函数。解：因为当时，说明是严格单调递增函数。由A组26题知，。10一给水设备每次供水时间为2小时。已知