概率习题解答.doc

习 题 一 与 习 题 二 解 答（红色部分不要求）. 设、表示三个随机事件，试将下列事件用、及其运算符号表示出来：(1) 发生，、不发生；(2) 、不都发生，发生；(3) 、中至少有一个事件发生，但不发生；(4) 三个事件中至少有两个事件发生；(5) 三个事件中最多有两个事件发生；(6) 三个事件中只有一个事件发生解：（1） (2) (3) (4) (5) (6). 袋中有15只白球 5 只黑球，从中有放回地抽取四次，每次一只设表示“第i次取到白球”（i1，2，3，4 ），表示“至少有 3 次取到白球” 试用文字叙述下列事件：(1) ， (2) ,(3) ， (4) 解：（1）至少有一次取得白球（2）没有一次取得白球（3）最多有2次取得白球（4）第2次和第3次至少有一次取得白球. 设、为随机事件，说明以下式子中、之间的关系(1) （2）解：（1） (2). 设表示粮食产量不超过500公斤，表示产量为200-400公斤 ，表示产量低于300公斤，表示产量为250-500公斤，用区间表示下列事 件：(1) ， (2) ，(3) ，(4)，(5)解：(1); (2) (3) (4) (5). 在图书馆中任选一本书，设事件表示“数学书”，表示“中文版”， 表示“ 1970 年后出版”问：(1) 表示什么事件？(2) 在什么条件下，有成立？(3) 表示什么意思？(4) 如果，说明什么问题？解：（1）选了一本1970年或以前出版的中文版数学书（2）图书馆的数学书都是1970年后出版的中文书（3）表示1970年或以前出版的书都是中文版的书（4）说明所有的非数学书都是中文版的，而且所有的中文版的书都不是数学书. 互斥事件与对立事件有什么区别？试比较下列事件间的关系(1) X 20 与X 20 ；(2) X 20与X 18 ； (3) X 20与X 25 ；(4) 5 粒种子都出苗与5粒种子只有一粒不出苗；(5) 5 粒种子都出苗与5粒种子至少有一粒不出苗解：（1）对立; (2)互斥；（3）相容；（4）互斥；（5）对立(古). 抛掷三枚均匀的硬币，求出现“三个正面”的概率解：（古）. 在一本英汉词典中，由两个不同的字母组成的单词共有 55 个，现从26个英文字母中随机抽取两个排在一起，求能排成上述单词的概率解：0.0846（古）. 把 10 本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率是多少？解：首先将指定的三本书放在一起，共种放法，然后将进行排列，共有种不同排列方法。故0.067（古）10. 电话号码由 6 位数字组成，每个数字可以是 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 共 10 个数字中的任何一个数字（不考虑电话局的具体规定），求：(1) 电话号码中 6 个数字全不相同的概率；(2) 若某一用户的电话号码为 283125 ，如果不知道电话号码，问一次能打通电话的概率是多少？解：(1) ，(2) （古）11. 50 粒牧草种子中混有3粒杂草种子，从中任取4粒，求杂草种子数分别为0，1，23 粒的概律解： （古）12. 袋内放有两个伍分、三个贰分和五个壹分的硬币，从中任取五个，求钱额总和超过一角的概率解：设为事件“钱额总和超过一角”，则=两个五分其余任取3个+一个五分3个两分一个一分+一个五分2个两分2个一分，故：0.5（古）13. 10 把钥匙中有3把能打开门，今任取两把，求能打开门的概率解：，或0.53（古）14. 求习题 11 中至少有一粒杂草种子的概率解：本题与11解法有关，即为（几）15.有一码头，只能停泊一艘轮船，设有甲、乙两艘轮船在0道T小时这段时间内等可能地到达这个码头，到后都停小时，求两船不相遇的概率解：设分别为甲、乙船到达码头的时刻，A为事件“两船相遇”。则，。所求概率为（几）16.（蒲丰投针问题）设平面上画着一些有相等距离2a（a0）的平行线。向此平面上投一枚质地均匀的长为2l(la)的针，求针与直线相交的概率。解：设为针的中点到最近一条直线的距离为针与直线的夹角，则， ，于是有17. 某种动物由出生活到20岁的概率为0.8, 活到25岁的概率为0.4，求现在20岁的这种动物能活到25岁的概率。解：设A为该动物能活到20岁，B为能活到25岁，则，已知，所求概率为18由长期统计资料表明，某一地区6月份下雨（记为事件A）的概率为4/15，刮风（记为事件B）的概率为7/15，既下雨又刮风的概率为1/10，求解：由条件概率公式知 19为防止意外，在矿内设有两种报警系统，单独使用时，系统有效的概率为 0.92 ，系统有效的概率为 0.93 ，在系统失灵的条件下，系统有效的概 率为 0.85，求：(1) 发生意外时，这两种系统至少有一个系统有效的概率(2) 系统失灵的条件下，系统有效的概率解：由题意。（1）所求概率为：其中：（2）所求概率为 其中 20. 100件产品中有10件次品，用不放回的方式从中每次取1件，连取3 次，求第三次才取得正品的概率解：设第三次才取得正品的概率为A，样本空间为 所以（条件）21. 在空战中，甲机先向乙机开火，击落乙机的概率为 0.4 ；若乙机未被击落，就进行还击，击落甲机的概率为 0.5 ；若甲机仍未被击落，则再进攻乙机，击落乙机的概率为 0.6 求在这几个回合中(1) 甲机被击落的概率；(2) 乙机被击落的概率解：设A为甲机第一次被击落，为乙机第次被击落，这里互不相容。依题义有（1）所求概率为 （2）所求概率为 ,其中故所求概率为（全概）22. 一个袋子中装有6只白球，4只黑球，从中任取一只，然后放回，并同时加进2只与取出的球同色的球，再取第二只球，求第二只球是白色的概率解：设A为“第一次取得白球”，B为“第二次取得白球”（共4白2黑），则23. 10 张娱乐票中有4张电影票， 10个人依次抽签问第一个人与第二个人抽到电影票的概率是否相同？解：设为事件“第个人抽到电影票”，则 24. 发报台分别以概率 0.6 和 0.4发出信号“ ”和“ ”，由于通信系统受到干扰，当发出信号“ ”时，收报台分别以概率 0.8 及 0.2 收到信号 “ ”和“ ”，同样，当发报台发出信号“ ”时，收报台分别以概率 0 .9 和 0.1 收到信号“ ”和“ ”求(1) 收报台收到信号“ ”的概率(2) 当收报台收到信号“ ”时，发报台确系发出信号“ ”的概率解：设A，B分别为发出和接受信号“。”，分别为发出和接受信号“-”则依题意有（） 所求概率为 （） 所求概率为 25. 某工厂有甲、乙两车间生产同一种产品，两车间产品的次品率分别为0 .03 和 0.02 ，生产出来的产品放在一起，且知甲车间的产量比乙车间的产量多一倍，求：(1) 该厂产品的合格率；(2) 如果任取一个产品，经检验是次品，求它是由甲车间生产的概率解：设分别为甲、乙车间生产的产品，B为次品，则依题义有(1) 所求概率为 (2) 所求概率为 26. 在习题20 中，若第二只取到的是白球，问第一只球是白球的概率大还是黑球的概率大？解：已知第二只球是白球的概率 假设第一只球是白色时为事件，第一只球是黑球时为事件所以又因为是对立事件，而且事件B对都无影响所以 第一只球是白球的概率大27. 两射手彼此独立地向同一目标射击，设甲击中的概率为 0.9 ，乙击中的概率为 0.8 求(1) 目标被击中的概率；(2) 两人都击中的概率；(3) 甲中、乙不中的概率；(4)甲不中、乙中的概率解：A为甲击中，B为乙击中，则A，B独立，且所求概率分别为（1）（2），（3）（4）28. 加工一个零件要经过三道工序，各道工序的合格率分别为 0.95，0.9，0.85，设各道工序是否合格是独立的，求加工出来的零件的合格率解：设分别表示第一，第二，第三道工序出现的合格品，则依题意相互独立，且又设A表示加工出来的零件是合格品，则所以29. 某厂用两种工艺生产一种产品，第一种工艺有三道工序，各道工序出现废品的概率为0.05，0.1，0.15；第二种工艺有两道工序，各道工序出现废品的概率都是 0.15 ，各道工序独立工作设用这两种工艺在合格品中得到优等品的概率分别为0.95，0.85试比较用哪种工艺得到优等品的概率更大？解：第一道工序的合格率为，优等品率为第二道工序的合格率为，优等品率为30. 三个人独立地破译一个密码，他们能单独译出的概率分别为， 求此密码被译出的概率解：设A，B，C分别为甲、乙、丙三人能单独译出的事件，则A，B，C相互独立，所求概率为代入数据即可。或考虑逆事件的概率：31. 某动物的成活率为60% ，现饲养5只，设各动物是否成活互不影响，求：(1)恰有2只成活的概率； (2) 至少有2只成活的概率解：设A为动物能成活，则设为5只中的成活数，则，其中（） 所求概率为（） 所求概率为32. 某单位有 12 台个人计算机，各计算机是否被使用是独立的设计算机的使用率为 0.7 ，求在同一时刻有 9 台或更多计算机在使用的概率解：设A为事件“计算机被使用”则，设X为同时使用的计算机数目，则，所求概率为33.爱滋病普查 使用一种血液试验来检测人体内是否携带爱滋病病毒.设这种试验的假阴性比例为5%（即在携带病毒的人中，有5%的试验结果为阴性），假阳性比例为1%（即在不携带病毒的人中，有1%的试验结果为阳性）.据统计人群中携带病毒者约占1，若某人的血液检验结果呈阳性，试问该人携带爱滋病毒的概率.解：设A为检查为阳性，B为携带病毒，求。已知，由贝叶斯法则有习 题 三 解 答(3) 五张卡片上分别写有号码1，2，3，4，5。随即抽取其中三张，设随机变量X表示取出三张卡片上的最大号码。a) 写出X的所有可能取值；（2）求X的分布率。解：（1）显然是：3，4，5。b) X的分布律X345P0.10.30.6(4) 下面表中列出的是否时。某个随机变量的分布律（1）X135P0.50.30.2（2）X123P0.70.10.1答：（1）是 （2）不是3一批产品共有N件，其中M件次品。从中任意抽取n(n=M)件产品，求这n件产品中次品数X的分布律。（此分布律为超几何分布）解：抽取n件产品的抽法有种，抽取到次品的抽法有种，所以所求概率为：P=,k=0,1,2,3.n4.设随机变量X的分布律为PX=k=,k=1,2,3,4,5.求：（1）PX=1或X=2； （2）P; (3)P. 解：（1）PX=1或X=2PX=1 PX=2。 （2）PPPX=1 PX=2。 （3）PPX=1 PX=2。5一批产品共10件，其中7件正品，3件次品。从该批产品中每次任取一件，在下列两种情况下，分别求直至取得正品为止所需次数X的分布律。（1）每次取后不放回；（2）每次取后放回。X1234P解：（1） (2) （=1，2，）6.某射手每发子弹命中目标概率为0.8，现相互独立地射击5发子弹，求：（1）命中目标弹数地分布律；（2）命中目标的概率。解：（1）设X为命中目标的弹数，则其分布律为PX=K=,(k=0,1,2,3,4,5). (2)P命中目标1-PX=0=10.999687设随机变量X服从泊松分布P(),且PX=1=PX=2,求PX=4.解：由PX=1=PX=2得：ee解得：2或0（舍弃）。故：PX=4=e= e8.设随机变量X的分布律为：（1）PX=k=,k=1,2,.N(2) PX=k=a,k=0,1,2,试确定常数a解：（1）由1 得：N *=1,解得：a=1(2) 由1 得：1，解得：a= e9. 某车间有同类设备100台，各台设备工作互不影响。如果每台设备发生故障得概率是0.01且一台设备的故障可由一个人来处理，问至少配备多少维修工人，才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01（利用泊松定理近似计算）。 解：设X为发生故障设备得台数，则，即X近似服从参数为的poisson分布。设设备需要N个人看管“才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01”，则查表得10.设随机变量X的密度函数为f(x)=c e (-x+),求：（1）常数c;(2)X落在区间（0，1）内的概率；（3）P解：（1）因为1即：+1， ce=1,解得：c(2)P=(3)P=P=+=+= e11设随机变量X的密度函数为，求（1）常数c; (2)P0.3Xa=PXb=0.64; (5)X分布函数。解：(1) =+ =cxdx =1 所以，解得 C=2(2) P0.3X0.7=2xdx = =0.49-0.09 =0.4(3)由得：当a 1时，故，a不可能小于0或大于1；当0a1时，所以，即得：a（4）由题设可知，b的取值范围为：0b1，所以b0.6（5）当x 1时，F(x)12. 已知X的分布律 ： p(X=-1)=1/6, p(X=0)=1/3, p(X=1)=1/2, 求X的分布函数，并画图。解：由题设可知，把X的分布函数的取值范围分为四段：当x -1时，F(x)0；当-1 x 0时，F(x)；当0 x= 1时，F(x)113. 设随机变量X的分布函数为，求(1)PX2, PX 2解：（1）PX2 F(2) 1e2 0.8647 ；PX 2 1PX21-0.86470.1353；（2）设X的密度函数为f(x).当X0时，f(x)0；当X0时，f(x)；14. 设连续型随机变量X的分布函数为, 求（1）A和B （2）P-1X1， （3）X的密度函数：解：（1）1；即： ； 0；即： ；由式得：A，B（2）P-1X1F(1)F(-1)（）（）（3）X的密度函数：f(x)，（）17.解：设乘客候车时间为X分。由于乘客到达该汽车站的任一时刻是等可能的，且公共汽车每隔5分钟通过车站一次，所以，X在区间0,5内均匀分布。所以X的密度函数为所以，乘客候车时间不超过3分钟的概率为：0.618.解：因为X在-2 , 5上服从均匀分布，所以，X的密度函数为：而要方程有实根，则要求，即得：X-1或X2即，方程有实根的概率为：PX-1+PX219. 设XN（2，0.09)，查表计算 ，解：（1）0.9996（2）24. X的分布律为X-2024P1/8 1/41/81/6 1/3求（1）X+2；（2）1-X （3）X2的分布律解：X-2024X+202461X31-1-3X240416P25.设X的密度函数为，求Y=1-X的密度函数。解：因为Y1X是严格单调的函数，所以：当0y1时，即，0x1时，当Y为其他值时，即，X在区间0，1外时，所以：Y1X的密度函数为：或：解 Y=1-X的分布函数为 其中是的分布函数，它满足，而习 题 三 解 答1：设二维随变量（X，Y）只能取下列数组中的值：（0，0），（-1，1），（-1，1/3），（2，0），且取这几组值的概率依次为1/6，1/3，1/12，5/12。求此二维随机变量（X，Y）的分布列。解：此二维随机变量（X，Y）的分布列是： YX01/31-101/121/301/60025/12002一袋中有四个球，它们依次标有数字1，2，2，3。从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取球，设每次取球时，袋中每个球被取到的可能性相同。以X，Y分别记第一、二次取得的球上标有的数字，求（X，Y）的概率分布。解：由题意得：（X，Y）的可能取值为：（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2）。则由概率的乘法公式得：PX=1,Y=2=(1/4)(2/3)=1/6 PX=1,Y=3=(1/4)(1/3)=1/12 PX=2,Y=1=(2/4)(1/3)=1/6 PX=2,Y=2=(2/4)(1/3)=1/6 PX=2,Y=3=(2/4)(1/3)=1/6 PX=3,Y=1=(1/4(1/3)=1/12 PX=3,Y=2=(1/4)(2/3)=1/6 而事件(1,1),(3,3)为不可能事件，所以PX=1,Y=1=0，PX=3,Y=3=0。则（X，Y）的联合分布列为：YX123101/61/1221/61/61/631/121/60 3在一个箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只，考虑两种试验，（1）有放回抽样，（2）无放回抽样，我们定义随机变量X，Y如下 解：（1）所求联合概率分布为：YXX01025/365/3615/361/36 （2）所求联合概率分布为： YXX01045/6610/66110/661/664.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 =（1）确定常数k；（2）求（X，Y）的分布函数；（3）求P0X1，0Y2。解：（1）由概率密度函数的性质知 = =* =1 即 k=12.(2)由定义，有 当时 当时于是（3） = 7. 设随机变量（X,Y）的概率密度为求PX+Y.解：PX+Y1=1PX+Y1=1=8：设二维随机变量（X，Y）要区域D上服从均匀分布，其中D 是曲线y=和y=x所围成，试求（X，Y）的分布密度及边缘分布密度。解：面积则 （a）关于X的边缘概率密度当时, 当时所以（b）关于Y的边缘概率密度当时, 当时所以9（1）第1题中的随机变量X和Y是否相互独立（提示：考虑事件X=-1，y=1）？ （2）第6题中的随机变量X与Y是否相互独立（提示：考虑事件 ）？解：（1），而 根据定义得：X与Y不相互独立。（2）10已知二维随机变量（X，Y）的概率密度为：求边缘概率密度与；问X和Y是否相互独立？解：（1）当0x1时， 其它， 所以 所以关于X的概率密度为类似地，当0y1， 其它， 所以 （3）x=1，y=1时，（4y-3）(4x-3)=1此时所以X和Y不相互独立。11（1）如果（X，Y）在以原点为中心，边长为2的正方形内服从均匀分布，问X和Y是否相互独立？（2）如果（X，Y）在以原点为中心，R为半径的圆内服从均匀分布，问X和Y是否相互独立？解：（1）因为（X，Y）服从均匀分布，故当x1时，f(x,y)=0 所以当时， 于是得关于X的概率密度为同理可得关于Y得概率密度为，故X和Y是相互独立。（2）因为（X，Y）服从均匀分布，故当xR时，所以 当时，即同理得：, ,故X和Y不相互独立。15设（X,Y）的联合分布密度为 求k值。解：由概率密度的性质，由题意得， ， 所以 k=。16求15题中X和Y的边