用定积分来计算数列极限的基本原理和方法.pdf

解题技巧 与方法 释 用定积分来计算数列极限昀基本原理和方法 李海燕 张会景 石 家庄科技工程职业学 院0 5 0 8 0 0 I 摘要 由于大家一直对用定积分的方法求多项和数列 的极限的方法很 模糊 所 以本文 主要结台 具体 的例子 说 明 用定积分求多项 和数 列的极 限的基本 原理 和方 法 使 大 家 对如何用定 积分求极 限有一个清楚 的概念和思路 关键 词 定 积 分 数列 极 限 基 本原 理 定 理 方 法步 骤 例 子 数列极限是高等数 学 中的基础 知识 也是 高等 数学 学 习中的一个重点 求数列极限 的方 法很 多 其 中利用定 积分 的定义求数列的极 限是一 种很重要 的方 法 对 一些 特殊 的 多项相加的数列来说 利 用定积 分求极 限 是很 方便 的 但 是也是很容易被大家 忽略 的一种 方法 主要原 因在 于大家 不熟悉定积分的定 义 在学习过程 中一 带而过 本 文不从技 巧 的角度来讨 论它 的方法 而结合 具体 的例子 讲清楚 方法 的 原 理 和 根据 这种问题虽然计算量不大 技 巧性也不是很 高 但是概念 性却极强 非常基本 是历年考研 的一个热点 要弄懂 关 于可 用定积分来计算数列极 限问题 必须先弄明 白定积分 的定义 及可积的充分条件 我们就可以轻易地解决这个问题了 一 定 积 分 的 定 义 和 可 积 的 充 分 条 件 定义设 函数 在 n b 上有定义 在 a b 中任意 插入 n 1 个分点 k 1 Z 一1 满足 a 0 1 b 并记 A x 一 并任取 E 记 A m a x 厂 存在且与分点及取点 的取法无 关 则函数在 n 6 上可积 并记 可积的充分条件若 函数 厂 在 b 上连续 则该 函 数在 o b 上可积 此时既然极限存在 且与分 点及 取点 的取法 无关 我们 就 取 定 a 6 一 n U P 则 有 lim 三 宰 二 可用定积分来计算的数列极限问题的几个常用定理 根据可积的充分条 件 我 们可 以得 到如下 三个 可 用定 积分来计算的数列极限的定 理 定理 1 若 函数在 b 上连续 l i ra l ira J 定理 2 若 函数在 n b 上连续 lim 舳 定理 3若函数 在 0 1 上连续 a O 6 1 则数列 2 im J f x d x 从上 面三个定 理不难 看出 能 够应用 定积 分求 极 限的 集 中类 型 的 数 夕 lJ 为 能 够 写 成 如 彤 式 的 教 夕 U 砉 毫 1 且定理 3是 定理 1和定 理 2的特 殊情 况 即取 a 0 b 1时 但定理 3是通用的 只要定理 1和定 理 2能用来求 极限 则定理 3同样可 以用 只是被积 函数 和积分上 下限有 所不同罢了 如定理 1 l i ra l i ra b a j b a t 一1 b a 耋 6 一 a J 出 因 此 一 般 只 要学会应 用定理 3 求极 限就可以解决 这类 问题 了 下面以定理 3为例来说明用定积分求极限的方法步骤 1 将多 项相加的数列改写成 u n 的 形式 2 从 中分解提 出 3 将 剩下的部分中的 看成整体 即可写出 的 形式 4 则 可 得 u i1 I z 三 典 型 例 题 锯 析 例 计 算 分析按 步骤演示 过程 1 原 l i m 1 2 分 出 n 得 原 l im 1 熹 1 n 3 将 看 成 整 体 即 得 厂 11 I 凡 原 极 lim 客 1 I 1 解记 在 0 1 上连续 有 原 极 限 耋 1 2 参考文献 1 华东 师范大 学数学系 版 社 2 0 0 1 2 众 邦考试教 育研 究所 局 2 0 0 3 数学分析 北京 高等教