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高考冲刺 集合与逻辑【高考展望】集合与常用逻辑用语是高考的必考内容，多为选择题或填空题，难度不大.集合命题以集合的基本运算，尤其是交集与补集的运算为主；常用逻辑用语多与函数、三角、数列、不等式等知识综合进行命题，难度不大，命题比较分散，命题的四种形式、充要条件的判断、含有逻辑联结词的命题的判断以及含量词的命题等考点均有涉及.【知识升华】一、集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言，并用集合语言表达数学问题，运用集合观点去研究和解决数学问题。1学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素，熟练运用集合的各种符号，如、=、，等等； 2强化对集合与集合关系题目的训练，理解集合中代表元素的真正意义，注意利用几何直观性研究问题，注意运用Venn图解题方法的训练，加强两种集合表示方法转换和化简训练；解决集合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容（即读懂问题中的集合）以及各个集合之间的关系，常常根据“Venn图”来加深对集合的理解，一个集合能化简（或求解），一般应考虑先化简（或求解）；3确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容，解决问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。 区别与、与、a与a、与、(1,2)与1,2； AB时，A有两种情况：A与A。若集合A中有个元素，则集合A的所有不同的子集个数为，所有真子集的个数是1, 所有非空真子集的个数是区分集合中元素的形式：如；。空集是指不含任何元素的集合。、和的区别；0与三者间的关系。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况。 符号“”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系 ；符号“”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系。二、常用逻辑用语1命题命题：可以判断真假的语句叫命题；逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词；简单命题：不含逻辑联结词的命题。复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题。常用小写的拉丁字母p，q，r，s，表示命题，故复合命题有三种形式：p或q；p且q；非p。2复合命题的真值“非p”形式复合命题的真假可以用下表表示： p非p真假假真“p且q”形式复合命题的真假可以用下表表示：pqp且q真真真真假假假真假假假假“p且q”形式复合命题的真假可以用下表表示：pqP或q真真真真假真假真真假假假注：1像上面表示命题真假的表叫真值表；2由真值表得：“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反；“p且q”形式复合命题当p与q同为真时为真，其他情况为假；“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况为真；3真值表是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容。3四种命题如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题；如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，这个命题叫做原命题的否命题；如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，这个命题叫做原命题的逆否命题。两个互为逆否命题的真假是相同的，即两个互为逆否命题是等价命题.若判断一个命题的真假较困难时，可转化为判断其逆否命题的真假。4充要条件一般地，如果已知pq，那么就说：p是q的充分条件；q是p的必要条件。一般地，如果既有pq，又有qp，就记作：pq.“”叫做等价符号。pq表示pq且qp。这时p既是q的充分条件，又是q的必要条件，则p是q的充分必要条件，简称充要条件。5全称命题与特称命题这里，短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号表示。含有全体量词的命题，叫做全称命题。短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题。【典型例题】类型一、集合概念例1.已知集合M=y|y=x21,xR,N=y|y=x1,xR，则MN=（ ）A（0，1），（1，2） B（0，1），（1，2）Cy|y=1,或y=2 Dy|y1【思路点拨】集合M、N是用描述法表示的，元素是实数y而不是实数对(x,y)，因此M、N分别表示函数y=x21(xR)，y=x1(xR)的值域，求MN即求两函数值域的交集【答案】D【解析】M=y|y=x21,xR=y|y1， N=y|y=x1,xR=y|yRMN=y|y1y|yR=y|y1,应选D【总结升华】本题求MN，经常发生解方程组 从而选B的错误，这是由于在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么事实上M、N的元素是数而不是点，因此M、N是数集而不是点集集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分x|y=x21、y|y=x21,xR、(x,y)|y=x21,xR，这三个集合是不同的举一反三：【变式】若集合M0,1,2，N(x，y)|xy0，x2y24，x，yM，则N中元素的个数为()A9 B6 C4 D2【答案】C【解析】由题意知（0,0），（1,0），（1,1），（2,0）符合，选C.例2.若P=y|y=x2,xR，Q=(x，y)|y=x2,xR，则必有（ ）APQ= BP Q CP=Q DP Q【思路点拨】有的同学一接触此题马上得到结论P=Q，这是由于他们仅仅看到两集合中的y=x2,xR相同，而没有注意到构成两个集合的元素是不同的，P集合是函数值域集合，Q集合是y=x2,xR上的点的集合，代表元素根本不是同一类事物【答案】A【解析】正确解法应为： P表示函数y=x2的值域，Q表示抛物线y=x2上的点组成的点集，因此PQ=应选A类型二、集合元素的互异性 集合元素的互异性，是集合的重要属性，教学实践告诉我们，集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略，从而导致解题的失败，下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素互异性的认识例3.若A=2，4, 3227,B=1, 1, 222, (238), 3237，且AB=2，5，则实数的值是_【解析】AB=2，5，3227=5,由此求得=2或=1 A=2,4,5，集合B中的元素是什么，它是否满足元素的互异性，有待于进一步考查当=1时，222=1，与元素的互异性相违背，故应舍去=1当=1时，B=1,0,5,2,4，与AB=2，5相矛盾，故又舍去=1当=2时，A=2，4，5,B=1,3,2,5,25，此时AB=2，5，满足题设故=2为所求举一反三：【变式】已知集合A=x|x23x2=0,B=x|x2x1=0，且AB=A，则的值为_【思路点拨】由AB=A而推出B有四种可能，进而求出的值【解析】 AB=A， A=1，2， B=或B=1或B=2或B=1，2若B=，则令0得R且2，把x=1代入方程得R，把x=2代入方程得=3综上的值为2或3【总结升华】本题不能直接写出B=1，1，因为1可能等于1，与集合元素的互异性矛盾，另外还要考虑到集合B有可能是空集，还有可能是单元素集的情况类型三、集合的关系与运算例4.已知全集，则（ ）A.B.C.D.【思路点拨】首先通过解不等式确定两个集合、，然后求出，再求.注意集合是满足条件的整数的集合.【解析】解，即，得，所以；解，得或，故或，所以，故.【答案】A【总结升华】解答集合间的包含与运算关系问题的一般思路：（1）正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性，代表意义；（2）根据集合的性质化简集合；（3）确定集合间的包含关系或运算结果，注意灵活利用数轴、韦恩图等直观表示各个集合.举一反三：【变式】设全集是实数集，则图中阴影部分所表示的集合是（）A BC D【答案】C【解析】由解得：，故；而，图中所示集合为，故选C.【变式2】记关于的不等式的解集为，不等式的解集为（I）若，求；（II）若，求正数的取值范围【思路点拨】先解不等式求得集合和【解析】（I）由，得（II）由，得，又，所以，即的取值范围是例5设集合,则满足的集合B的个数是（ ）A . 1 B .3 C .4 D . 8【解析】，则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有个.故选C.【总结升华】本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题，同时考查了等价转化思想.例6.设A=x|2x1，B=x|x2xb0，已知AB=x|x2，AB=x|1x3，求、b的值【思路点拨】可在数轴上画出图形，利用图形分析解答【解析】如图所示，设想集合B所表示的范围在数轴上移动，显然当且仅当B覆盖住集合x|1x2，且AB=x|10，求AB和AB【解析】 A=x|x25x60=x|6x1，B=x|x23x0=x|x0 如图所示， AB=x|6x1x|x0=R AB=x|6x1x|x0=x|6x3，或0x1【总结升华】本题采用数轴表示法，根据数轴表示的范围，可直观、准确的写出问题的结果类型四、空集的特殊性空集是一个特殊的重要集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集显然，空集与任何集合的交集为空集，与任何集合的并集仍等于这个集合当题设中隐含有空集参与的集合关系时，其特殊性很容易被忽视的，从而引发解题失误例7. 已知A=x|x23x2=0,B=x|x2=0且AB=A，则实数组成的集合C是_ 【思路点拨】对参数a进行讨论，同时注意空集的情况。【解析】由x23x2=0得x=1或2当x=1时，=2，当x=2时，=1这个结果是不完整的，上述解答只注意了B为非空集合，实际上，B=时，仍满足AB=A，当=0时，B=，符合题设，应补上，故正确答案为C=0，1，2例8已知集合，若，则实数的取值范围是【思路点拨】先确定已知集合A和B【解析】故实数的取值范围是例9. 已知集合A=x|x2(m2)x1=0,xR，若A=，则实数m的取值范围是_【思路点拨】从方程观点看，集合A是关于x的实系数一元二次方程x2(m2)x1=0的解集，而x=0不是方程的解，所以由A=可知该方程只有两个负根或无实数根，从而分别由判别式转化为关于m的不等式，并解出m的范围【解析】由A=又方程x2(m2)x1=0无零根，所以该方程只有两个负根或无实数根， 或=(m2)240解得m0或4m4【总结升华】此题容易发生的错误是由A=只片面地推出方程只有两个负根（因为两根之积为1，因为方程无零根），而把A=漏掉，因此要全面准确理解和识别集合语言举一反三：【变式】已知集合A=x|x23x100，集合B=x|p1x2p1若BA，则实数p的取值范围是_【解析】由x23x100得2x5 欲使BA，只须 p的取值范围是3p3上述解答忽略了空集是任何集合的子集这一结论，即B=时，符合题设应有：当B时，即p12p1p2由BA得：2p1且2p15由3p3 2p3.当B=时，即p12p1p2由、得：p3【总结升华】从以上解答应看到：解决有关AB=、AB=，AB等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题类型五、集合的新定义问题例10.设S是整数集Z的非空子集，如果a，bS，有abS，则称S关于数的乘法是封闭的，若T，V是Z的两个不相交的非空子集，TVZ，且a，b，cT，有abcT；x，y，zV，有xyzV，则下列结论恒成立的是()AT，V中至少有一个关于乘法是封闭的BT，V中至多有一个关于乘法是封闭的CT，V中有且只有一个关于乘法是封闭的DT，V中每一个关于乘法都是封闭的【思路点拨】根据新定义，就是要判断“a，bT，有abT”，“x，yV，有xyV”这两个全称命题的真假【解析】 AT全部是偶数，V全部是奇数，那么T，V对乘法是封闭的，但如果T是全部偶数和1,3，那么此时T，V都符合题目要求，但是在V里面，任意取的数是1和3，那么相乘等于3，而V里面没有3，所以V对乘法不封闭排除B、C、D选项，所以“至少一个”是对的【总结升华】集合的创新问题，通常需要弄清题目给出的新定义、新概念、新法则与教材上的知识间的联系，将新的定义、概念、法则转化为“常规数学”问题，然后求解例11.在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为k，即k5nk|nZ，k0，1，2，3，4。给出如下四个结论：20111；33；Z01234；“整数a，b属于同一类”的充要条件是“ab0。其中，正确结论的个数是（ ）A1 B2C3D4 【思路点拨】对各个选项进行分析：20115=4021；-35=-12，整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故Z=01234；从正反两个方面考虑即可得答案【答案】C【解析】20115=4021，20111，故正确；-3=5（-1）+2，-33，故错误；因为整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故Z=01234，故正确；整数a，b属于同一“类”，整数a，b被5除的余数相同，从而a-b被5除的余数为0，反之也成立，故“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a-b0”故正确故正确的是：，选C【总结升华】本题为同余的性质的考查，具有一定的创新，关键是对题中“类”的题解，属基础题举一反三：【变式】设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”(即对任意的a，bS，对于有序元素对(a，b)，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应)若对任意的a，bS，有a*(b*a)b，则对任意的a，bS，下列等式中不恒成立的是()A(a*b)*aaBa*(b*a)*(a*b)aCb*(b*b)bD(a*b)*b*(a*b)b【答案】A【解析】选项B中，a*(b*a)*(a*b)b*(a*b)a，成立；选项C中，b*(b*b)b，成立；选项D中，把(a*b)看做一个整体，记为c，则(a*b)*b*(a*b)c*(b*c)b，成立，故只有选项A中的结论不恒成立例12.定义集合运算：设,则集合的所有元素之和为 （ ）A0 B2 C3 D6【思路点拨】本题为新定义问题，可根据题中所定义的的定义，求出集合，而后再进一步求解【解析】由的定义可得：，故选D【总结升华】近年来，新定义问题也是高考命题的一大亮点，此类问题一般难度不大，需严格根据题中的新定义求解即可，切忌同脑海中已有的概念或定义相混淆关于逆命题、否命题、逆否命题，也可以有如下表述：第一：交换原命题的条件和结论，所得的命题为逆命题；第二：同时否定原命题的条件和结论，所得的命题为否命题；第三：交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题为逆否命题；类型六、命题与逻辑联结词例13.命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（ ）A“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B“若一个数的平方是正数，则它是负数” C“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”【答案】B【解析】因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，因此逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”举一反三：【变式1】命题：“若，则”的逆否命题是（ ）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】D.【变式2】命题“若，则”的否命题为_.【答案】若ab，则2a2b-1【总结升华】否命题不同于命题否定: 对命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定题设又否定结论.例14.已知命题函数的定义域为；命题函数是减函数.若命题和“或”为真，则实数的取值范围是 （ ） A. B. C. D.【思路点拨】先分别求出两个命题为真时实数的取值范围，然后根据含逻辑联结词的复合命题的真假判断两个命题的真假，求出相应的实数的取值范围.【答案】C【解析】为真，则，即；为真，则，即.因为命题和“或”为真，所以命题假，命题为真.故的取值范围是.【总结升华】命题真假的判定方法：（1）简单命题的判断根据所涉及到的只是直接进行判断；（2）四种命题的真假判断，互为逆否命题的两个命题的真假相同；（3）含有逻辑联结词的命题的真假根据真值表，记住相应的规律；（4）含有量词的命题的真假根据相关知识进行判断.举一反三：【变式】原命题：“设，若，则.”以及它的逆命题，否命题、逆否命题中，真命题共有（）个.A0 B1 C2 D4【解析】因为当时，故原命题是假命题，其逆否命题也是假命题.逆命题为：若，则.显然由可知（若，则，与已知矛盾），根据不等式乘法的单调性，两边同时乘以，可得.即逆命题是正确的，由因为逆命题和否命题互为逆否命题，所以否命题也是正确的.故原命题的逆命题和否命题是真命题，应选C.【答案】C例15.对于函数，.判断如下三个命题的真假：命题甲：是偶函数；命题乙：上是减函数，在区间上是增函数；命题丙：在上是增函数.能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（）A. B. C. D. 【答案】 D【总结升华】真假判断（真值表）可概括为: p或q：同假为假，一真为真； p且q：同真为真，一假为假；非p： 真假相反，真假假真举一反三：【变式】下列四个命题中，真命题的序号有 （写出所有真命题的序号）.将函数y=的图象按向量v=(1,0)平移，得到的图象对应的函数表达式为y=圆x2+y2+4x+2y+1=0与直线y=相交，所得弦长为2若sin(+)= ,sin()=,则tancot=5如图，已知正方体ABCD- A1B1C1D1，P为底面ABCD内一动点，P到平面AA1D1D的距离与到直线CC1的距离相等，则P点的轨迹是抛物线的一部分.【解析】错误，得到的图象对应的函数表达式应为y|x2|错误，圆心坐标为（2，1），到直线y=的距离为半径2，故圆与直线相离，正确，sin(+)=sincoscossin，sin()sincoscossin，两式相加，得2 sincos，两式相减，得2 cossin，故将上两式相除，即得tancot=5正确，点P到平面AD1的距离就是点P到直线AD的距离，点P到直线CC1就是点P到点C的距离，由抛物线的定义可知点P的轨迹是抛物线。类型七、充要条件例16.若，的二次方程的一个根大于零，另一根小于零，则是的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【思路点拨】先化简两个条件，即求出它们的充要条件，然后判断这两个条件之间的关系，也可直接利用两个集合之间的关系来判断.【答案】A【解析】方法一：（等价转化）由，解得；而方程的一根大于零，另一根小于零的充要条件是，即，解得.因为命题：“若，则”是真命题；而“若，则”是假命题，所以是的充分不必要条件，所以是充分不必要条件，选A.方法二：（集合法）由方法一可知，满足条件A的参数的取值集合为，满足条件B的参数的取值集合为，显然，所以是充分不必要条件，选A.【总结升华】解决此类问题的应该注意两个方面的问题：一是准确化简条件，也就是求出每个条件对应的充要条件；二是注意问题的形式，看清“是的”还是“的是”，如果是第二种形式，要先转为第一种形式，然后再判断；三是灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系，充要条件的判断常通过“”来判断，即转化为两个命题的判断，当比较难于判断的问题时，可借助两个集合之间的关系来判断.举一反三：【变式】在中，分别是角所对的边，则“”是“”的（ ）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由正弦定理可知，故，由，得，所以，即“”是“”的充分必要条件.【变式】下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（A）p:b+d , q:b且cd （B）p:a1,b1 q:的图像不过第二象限（C）p: x=1, q:（D）p:a1, q: 在上为增函数【解析】由b且cdb+d，而由b+d b且cd，可举反例。选A【总结升华】要判断A是B的什么条件，只要判断由A能否推出B和由B能否推出A即可例17. “”是“”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【思路点拨】简易逻辑考查重点是命题的真假情况，全称量词与存在量词，充要条件。全称量词与存在量词是新增内容，没有出现单独命题的情况，只