毕业论文矩阵初等变换的若干应用.doc

矩矩阵阵初初等等变变换换的的若若干干应应用用 Some applications of elementary transformation of matrix 专 业 数学与应用数学 作 者 指导老师 学校 二 一 摘摘 要要 本文介绍了矩阵初等变换在高等代数中的一些应用 总结了其在求矩阵和向量组 的秩 求逆矩阵 化二次型为标准形 求解矩阵方程以及求一元多项式最大公因式中 的应用 关键字 初等变换 秩 逆矩阵 标准形 矩阵方程 最大公因式 AbstractAbstract In this paper we introduce some applications of elementary transformation of matrix in algebra and summarizes the applications of elementary transformation of matrix in the rank of a matrix and vector the inverse matrix changing quadratic form as the standard form solving the matrix equation and the monadic polynomial greatest common factor Keywords elementary transformation rank inverse matrix standard form matrix equation greatest common factor 目 录 摘 要 I ABSTRACT II 0 引言 1 1 矩阵的初等变换与初等矩阵的基本概念 1 2 用初等变换求矩阵和向量组的秩 2 3 用初等变换法求逆矩阵 3 4 用初等变换化二次型为标准形 4 5 用初等变换求解矩阵方程 5 5 1 当 B可逆时线性矩阵方程BAX 的解 5A 5 2 当A B不可逆时线性矩阵方程BAX 的解 6 6 用初等变换讨论一元多项式最大公因式的求法 8 参考文献 11 0 引言 矩阵理论是代数的主要内容之一 在数学及其它科学领域中有着广泛的应用 在 矩阵的应用中 矩阵的初等变换起着关键作用 关于矩阵初等变换的应用 前人已经 得出了很多有价值的结论 本文在前人理论的基础上对矩阵的初等变换在代数中的若 干应用进行了一些讨论 归纳了初等变换在求矩阵和向量组的秩 矩阵的逆 化二次 型为标准形 线性矩阵方程的解以及求一元多项式的最大公因式等方面的应用 1 矩阵的初等变换与初等矩阵的基本概念 我们先来看看有关矩阵初等变换和初等矩阵的相关知识 1 对矩阵施以以下三种变换 称为矩阵的初等变换 i 交换矩阵的两行 列 ii 以一个非零数乘矩阵的某行 列 k iii 矩阵的某行 列 加上另一行 列 的倍 k 2 矩阵的初等变换用如下形式表示 i 交换矩阵的第 行 列 与第行 列 或 ij ji rr ji cc ii 非零常数乘矩阵的第 行 列 或 ki i kr i kc iii 矩阵的第 行 列 加上第行 列 的倍 或 ijk ji krr ji kcc 3 初等矩阵 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵 共 3 类 E i 交换的第 行与第行 或第 列与第列 得到的初等矩阵 jiPEijij ii 或 用数域中的非零数乘的第 行 或第列 kiP kjPPkEij 得到的初等矩阵 iii 把的第行的倍加到第 行 或第 列的倍加到列 得 kjiPEjkiikj 到的初等矩阵 2 用初等变换求矩阵和向量组的秩 由于初等变换不改变矩阵的秩 且任意一个矩阵均可以经过一系列行初等变nm 换化为梯形矩阵 因此 我们要确定一个矩阵的秩 首先要用行初等变换将其化nm 为梯形矩阵 然后再由梯形矩阵的秩确定原矩阵的秩 例 1 设 求矩阵的秩 03341 43121 01101 22413 AA 解 03341 43121 01101 22413 A 02240 42220 01101 21110 24 23 21 3 rr rr rr 00000 86200 21110 01101 4321 14 13 4 2 rrrr rr rr 因此矩阵的秩为 3 A 如果我们要求向量组的秩 可以把每一向量作为矩阵的一行 从而向量组就转化 为了一个矩阵 使求向量组的秩转化成求矩阵的秩 自然使问题简单化了 例 2 求向量组 4 2 0 1 1 2 1 3 1 2 4 5 1 3 3 0 2 1 1 4 3 5 1 2 5 的秩 解 以为列 构造矩阵 再对进行行初等变换 化为梯形矩阵 54321 AA 30424 52512 11130 21311 54321 A 1141660 14110 11130 21311 14 13 4 2 rr rr 17201000 14110 413200 21311 3432 1 63rrrr r 3785000 413200 14110 21311 34 32 5rr rr 因此 矩阵的秩是 4 从而向量组的秩也是 4 A 54321 3 用初等变换法求逆矩阵 如果是阶可逆矩阵 我们将与并排放到一起 形成一个的矩阵AnAEnn2 因为 所以对矩阵作一系列行初等变换 将其左 EA 11 AEEAA EA 半部分化为单位矩阵 这时右半部分就是 1 A 例 3 设 求 111 142 251 A 1 A 解 EA 100111 010142 001251 101140 012360 001251 13 12 2 rr rr 1 3 2 3 1 100 0 6 1 3 1 2 1 10 0 6 5 3 2 2 1 01 2123 2 54 6 1 rrrr r 1 3 2 3 1 100 2 1 6 1 6 1 010 2 1 2 1 2 1 001 32 31 2 1 2 1 rr rr 因此 1 3 2 3 1 2 1 6 1 6 1 2 1 2 1 2 1 1 A 同理 如果是阶可逆矩阵 我们将与并列放到一起 形成一个 的AnAEnn 2 矩阵 因为 所以对矩阵作一系列列初等变换 将其上半部分 E A 1 1 A E E A A E A 化为单位矩阵 这时下半部分就是 用初等变换法求逆矩阵是一种通用而较简便的 1 A 方法 正确地选择和使用它们能更快更好地解决各类求逆矩阵问题 4 用初等变换化二次型为标准形 对任意二次型一定存在可逆非退化线性替换将其化AXXxxxf n 21 CYX 为标准形 即为对称矩阵找一个可逆矩阵 使得为对角矩阵 而可逆矩ACDACC 阵可以写成若干个初等矩阵的乘积 所以存在初等矩阵有 s PPP 21 s PPPC 21 从而有是一个对角矩阵 DPPAPPPP ss 2112 由上式可得到用初等变换法化二次型为标准形的步骤如下 首先 写出二次型的矩阵 构造矩阵 然后对矩阵每进行一次行初nn 2 E A E A 等变换后 就对进行一次同样的列初等变换 当矩阵化为对角矩阵时 单位矩 E A A 阵将化为可逆矩阵 此时 最后得到可逆矩阵和非退化线性变换ECDACC C 在这个变换下二次型化为标准形 CYX DYYf 例 4 化二次型 323121 2 3 2 1321 6442 xxxxxxxxxxxf 为标准形 并写出所用的非退化线性替换 解 题中二次型的矩阵为 由上面的初等变换法化二次型为标准形 232 302 221 A 的步骤可知 E A 1 0 0 1 0 0 0 2 0 3 1 2 3 2 0 2 2 1 1313 1212 22 22 ccrr ccrr 1 0 0 1 0 0 2 2 2 1 1 0 1 0 4 0 0 1 100 4 1 10 2 3 21 4 7 00 040 001 23 23 4 1 4 1 cc rr 400 110 621 2800 040 001 3 3 4 4 c r 从而非退化线性替换为 原二次型化为 3 2 1 x x x 3 2 1 400 110 621 y y y 2 3 2 2 2 1 284yyyf 在运用矩阵初等变换来化二次型为标准形的关键 对矩阵进行的行初等变换 E A 和列初等变换必须是一致的 5 用初等变换求解矩阵方程 5 1 当 可逆时线性矩阵方程BAX 的解AB 我们知道的解为BAX 1 实际上就是计算形如BA 1 的矩阵乘积 因为BAX 11 BAEBAA 所以经过行初等变换可使 BA化为 1B AE 也即对nn2 矩 阵 BA作初等行变换 当A处变成单位矩阵E时 B处得到的矩阵就是BA 1 例 5 求解矩阵方程BAX 其中 121 011 322 A 321 011 324 B 解 321121 011011 324322 BA 330110 302340 011011 13 12 21 2 rr rr rr 9122100 330110 011011 3 23 23 4 r rr rr 9122100 692010 683001 21 32 rr rr 因此 9122 692 683 1B AX 5 2 当 不可逆时线性矩阵方程的解ABBAX 当 不可逆时我们将要用到新的初等变换法来解这种矩阵方程 AB 定理 5 2 1 如果矩阵方程有解 且可逆矩阵使 那BAX QP和 00 0 r E PAQ 么该矩阵方程的通解为 其中为的前 行组成的矩阵 中的元素可 1 X BP QX P Pr 1 X 以任意取值 证明见参考文献 5 以上定理可给出求解矩阵方程的具体方法 BAX 1 把 放到一起 组成一个矩阵 然后对其做初等行变换 使ABE EBA 得经过行变换后得到矩阵 其中是上阶三角矩阵 从而可确定矩阵和矩 11 PBA 1 AA 阵的秩 判断方程是否有解 同时取的前面 行作成 它满足 且 BAPr P 1 APA 为的前 行 B P 1 Br 2 如果上述方程有解 则对作初等列变换 经过列变换后变成其中 E A1 Q D 必有 00 0 r E DDPAQ 3 从而由定理 5 2 1 可知 的通解公式为 BAX 1 X BP QX 例 6 设 5163 3121 4142 1021 A 14102 860 1181 321 B 求矩阵方程的通解 BAX 解 根据求解矩阵方程的步骤 首先将放到一起 组成一个矩阵BAX EBA 如下 EBA 1000141025163 01008603121 001011814142 00013211021 EBA 然后对其作一系列初等行变换 使得为上三角矩阵 即A 行变换行变换 PBA 10110000000 01110000000 00125412100 00013211021 11 很明显 矩阵和矩阵的秩都是 2 故该方程有解 A BA 取 有 接下来对作初等列变换 P 0 0 0 0 1 0 2 1 P B 5 3 4 2 1 1 E A1 1000 2010 0100 1201 0000 0000 0010 0001 1000 0100 0010 0001 0000 0000 2100 1021 1列变换 E A 经过列变换后我们可得到 1000 2010 0100 1201 Q 从而 由定理 5 2 1 知 该方程的通解为 1 X BP QX 6 3 5 2 4 1 5 3 4 2 1 1 1000 2010 0100 1201 x x x x x x 1 1 2 0 1 0 0 1 2 0 5 0 3 0 4 0 2 0 1 0 1 X 其中是任意的矩阵 1 X32 矩阵方程的通解公式和解法与上面类似 详见参考文献 2 或 5 应用BXA 矩阵的初等变换来求解矩阵方程具有很大优点 不但通俗易懂 而且容易掌握 6 用初等变换讨论一元多项式最大公因式的求法 求一元多项式最大公因式的方法 目前最常用的方法是辗转相除法和因式分解法 下面给出用矩阵及其初等变换来求一元多项式的最大公因式 而且方便快捷 定理 6 1 设 令 则对实施一系列 21 xPxfxf 10 01 21 xfxf xA xA 初等列变换后得 此时 且是 22 11 0 xu xu xd xB 2211 xdxuxfxuxf xd 与的最大公因式 1 xf 2 xf 证明 若不全为零 则必有一个次数相对较低的多项式 不妨设为 21 xfxf 对进行初等列变换 第一列乘以一个适当的多项式加到第二列上 消去 1 xf xA 的最高项 由于的次数有限 重复上述过程 必然出现矩阵中第一 2 xf 21 xfxf 行只有一个非零元 而其它均为零的情形 即 22 11 0 xu xu xd xB 以上对所实施的变换 即存在初等矩阵 使得 xA 43 21 xpxp xpxp xP 22 11 43 21 21 0 10 01 xu xu xd xpxp xpxp xfxf 因而 3211 xdxpxfxpxf 11 xuxp 23 xuxp 即 2211 xdxuxfxuxf 设矩阵的逆矩阵为 显然也是初等矩阵 由于 xP 43 211 xqxq xqxq xP 1 xP 因而 即 xPxAxB 1 xAxPxB 10 01 0 21 43 21 22 11 xfxf xqxq xqxq xu xu xd 于是 从而是与的公因式 从而 11 xfxqxd 22 xfxqxd xd 1 xf 2 xf 可知 是与的最大公因式 xd 1 xf 2 xf 例 7 求 其中 xf xg的最大公因式 242 234 xxxxxf22 234 xxxxxg 解 10 01 xgxf xA 10 01 22242 234234 xxxxxxxx 21 11 22 23 1212 21 x x xxx ccxcc cc 因为 所以 且同时还满足 2 2 32 xxx 2 2 xgxfx 2 1 2 2 xgxxfxx 上述方法可灵活运用 不一定必须用次数最低的多项式去消其它多项式 也可以 用次数较高的多项式去消次数更高的多项式 以达到逐渐消去各多项式最高项 使第 一行只剩下一个非零元素的目的 以上方法只讨论了列的情形 行的情形与列相同 此时 行初等变换的结果是第一列只剩下一个非零元素 该元素 10 01 2 1 xf xf xA 即为多项式的最大公因式 详见参考文献 2 对于求两个多项式的最大公因式 辗转相除法是一种比较好的方法 但对于求多 个多项式的最大公因式 辗转相除法在理论上可行 在实际操作中却是非常繁琐的 本文介绍的方法 对求多个多项式的最大公因式是一种行之有效的方法 致谢致谢 本文是在 的指导和帮助下完成的 在此对汪教授表示衷心的感谢 参考文献 1 北京大学数学系 高等代数 第 3 版 M 北京 高等教育出版社 2003 2 王文省 姚忠平 初等变换的思想方法在高等代数中的应用 J 聊城师范学报 自然科学版 2003 13 3 3 樊恽 钱吉林等 代数学词典 M 武汉 华中师范大学出版社 1994 4 钱吉林 线性代数概论 M 武汉 华中师范大学出版社 2000 5 林亨成 陈群 矩阵的初等变换在线性代数中的一些应用 J 成都教育学院学报 2006 91 92 6 戴天时 陈殿友 大学数学 线性代数 M 北京 高等教育出版社 2004 7 赵树嫄 线性代数 3 版 M 北京 中国人民大学出版社 2005 061 8 Bebiano Newdevelopmentsb on the Marcus Oliveira conjecture N Linear Algebra Applic 1994 197 198 793 803 9 Fuchs The explicit inverse of the sti ness matrix M B Int J Solids Struct 29 1992 2101 2113 10 N H Scott A New Canonical Form for Complex Symmetric Matrices Proc R Soc Lond A 1993 441 625 640 袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁 芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇 葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄 螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄 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