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第五章 平面向量与复数 复数的几何意义及其应用 第37讲 复数的加减法的运算 点评 变式练习1 已知复平面上正方形abcd的三个顶点是a 1 2 b 2 1 c 1 2 求它的第四个顶点d对应的复数 利用 z1 z2 的几何意义解题 例2 已知复数z满足2 z i 4 试说明复数z在复平面内所对应的点的轨迹 解析 因为 z i 的几何意义是动点z到定点 i的距离 所以满足2 z i 4的动点z的轨迹是以 i为圆心 2为半径的圆外 含边界 和以 i为圆心 4为半径的圆内 含边界 之间的圆环 含边界 如右图阴影部分所示 点评 1 z 表示圆上动点m到原点的距离 所以 z max 3 z min 1 2 因为2 ma2 mb2 ab2 2mo 2 所以 z 1 2 z 1 2 2 2mo2 而mo最大值为3 最小值为1 所以 z 1 2 z 1 2最大值和最小值分别为20和4 复数的模及几何意义 例3 若复数z满足 z 2 z 2 8 求 z 2 的最大值和最小值 解析 在复平面内满足 z 2 z 2 8的复数z对应的点的轨迹是以点 2 0 和 2 0 为焦点 8为长轴长的椭圆 z 2 表示椭圆上的点到焦点 2 0 的距离 椭圆长轴上的两个顶点到焦点的距离分别是最大值和最小值 因此 当z 4时 z 2 有最大值6 当z 4时 z 2 有最小值2 点评 此题若令z x yi 问题的条件和结论都是较复杂的式子 不好处理 从复数的加 减法的几何意义去理解 则是一道简单的几何问题 变式练习3 已知 z 1 设复数u z2 2 求 u 的最大值与最小值 方法2 不等式法 因为 z 2 2 z2 2 z 2 2 把 z 1代入 得1 z2 2 3 故 u min 1 u max 3 圆 3 平行四边形abcd中 点a b c分别对应复数4 i 3 4i 3 5i 则点d对应的复数是 4 设复数z满足z 2 3i 6 4i 则z的模为 复数问题几何化 利用复数 复
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