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第四章快速傅里叶变换 FFT 1 主要内容 DIT FFT算法DIF FFT算法IDFT高效算法及实序列的FFT算法线性调频z变换 4 1引言 FFT FastFourierTransform1965年 Cooley Turky发表文章 机器计算傅里叶级数的一种算法 提出FFT算法 解决DFT运算量太大 在实际使用中受限制的问题 FFT的应用 频谱分析 滤波器实现 实时信号处理等 DSP芯片实现 TI公司的TMS320c30 10MHz时钟 基2 FFT1024点FFT时间15ms 典型应用 信号频谱计算 系统分析等 系统分析 频谱分析与功率谱计算 4 2直接计算DFT的问题及改进途径 1 DFT与IDFT 2 DFT与IDFT运算特点 同理 IDFT运算量与DFT相同 例用FFT算法处理一幅N N点的二维图像 如用每秒可做10万次复数乘法的计算机 当N 1024时 问需要多少时间 不考虑加法运算时间 解当N 1024点时 FFT算法处理一幅二维图像所需复数乘法约为次 仅为直接计算DFT所需时间的10万分之一 即原需要3000小时 现在只需要2分钟 3 降低DFT运算量的考虑 FFT算法分类 时间抽选法DIT Decimation In Time频率抽选法DIF Decimation In Frequency 4 3按时间抽取 DIT 的FFT算法 DecimationInTime 1 算法原理设序列点数N 2M M为整数 若不满足 则补零 将序列x n 按n的奇偶分成两组 N为2的整数幂的FFT算法称基 2FFT算法 将N点DFT定义式分解为两个长度为N 2的DFT 记 1 再利用周期性求X k 的后半部分 2019 12 31 13 将上式表达的运算用一个专用 蝶形 信流图表示 注 a 上支路为加法 下支路为减法 b 乘法运算的支路标箭头和系数 用 蝶形结 表示上面运算的分解 分解后的运算量 运算量减少了近一半 进一步分解 由于 仍为偶数 因此 两个点DFT又可同样进一步分解为4个点的DFT 蝶形 信流图表示 N点DFT分解为四个N 4点的DFT 类似的分解一直继续下去 直到分解为最后的两类蝶形运算为止 2点DFT 如上述N 8 23 N 4 2点中 类似进一步分解 进一步简化为蝶形流图 因此8点FFT时间抽取方法的信流图如下 由于每一步分解都是按输入序列在时间上的奇偶次序 分解成两个半长的子序列 所以称 按时间抽取算法 蝶形运算单元 FFT运算量与运算特点 1 N 2M时 共有M log2N级运算 每一级有N 2个蝶形结 2 每一级有N个数据中间数据 且每级只用到本级的转入中间数据 适合于迭代运算 3 计算量 每级N 2次复乘法 N次复加 每蝶形只乘一次 加减各一次 共有M N 2 N 2log2N次复乘法 复加法M N Nlog2N次 与直接DFT定义式运算量相比 倍数 N2
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