二重积分与其简单应用ppt课件.ppt

1 4 6二重积分及其简单应用 一 2 二重积分及其简单应用 二重积分的概念 1 曲顶柱体 非负且连续函数 设是定义在有界闭区域上 我们称 以曲面为顶 面上 的区域为底 以平行于轴 且沿着底面区域的边界 曲线的直线围成的立体 称为曲顶柱体 3 二重积分及其简单应用 2 曲顶柱体的体积 特点 平顶 曲顶柱体体积 特点 曲顶 底面积高 柱体体积 4 二重积分及其简单应用 求曲顶柱体的体积的步骤 的面积为 分割 将区域任意 分割成个小 区域 第块小区域 5 二重积分及其简单应用 求近似代替 任取一点 求和 6 二重积分及其简单应用 取极限 3 二重积分的概念 设是定义在有界闭区域上的 有界函数 将任意分成个小区域 区域的面积 其中表示第块小 在每个小区域上任取 7 一点 作乘积 并作和 令 当时 和式的极限存在 且其值与 的分法和点的选法无关 并称此 极限值为在D上的二重积分 记作即 二重积分及其简单应用 8 其中 称为二重积分符号 D称为积分区域 二重积分及其简单应用 称为被积函数 称为积分变量 9 二重积分及其简单应用 说明 1 定义中对区域D的划分是任意的 2 若在闭区域D上连续 则函数 在该区域上可积 3 在直角坐标系中 一般用平行于坐标轴的 直线网来划分区域D 则面积元素为 10 二重积分及其简单应用 故二重积分可表示为 4 二重积分的几何意义 当被积函数大 的体积 二重积分是柱体 于零时 11 二重积分及其简单应用 当被积函数小 于零时 的体积的负值 二重积分是柱体 当被积函数有正有负时 二重积分的值就等于各个部分 区域上曲顶柱体体积的代数和 12 二重积分及其简单应用 13 二重积分及其简单应用 二重积分的性质 性质2 被积函数中的常数因子可以提到 积分号外面 即 为常数 性质1 有限个函数代数和的二重积分 等于各个函数二重积分的代数和 14 二重积分及其简单应用 即 性质3 若积分区域被一曲线分成两个 部分区域和则在上的二重积 分等于在和上二重积分的和 即 15 二重积分及其简单应用 性质4 若在区域上 且的面 积为则 性质5 若在区域上 恒有 则 16 二重积分及其简单应用 解 如图所示 三角形斜边方程 在内有 17 二重积分及其简单应用 由性质得 18 二重积分及其简单应用 性质6 设分别是函数在上的 19 解 如图所示 积分域的边界 为圆周区域的面积为 在上有 即 二重积分及其简单应用 20 二重积分及其简单应用 性质7 若函数在有界闭区域上连续 为的面积 则在内至少存在一 点使得 21 二重积分的计算 二重积分及其简单应用 类型1 积分区域是边平行于坐标轴的矩形域 设二元函数是定义于 上的连续函数 则二重积分 一 利用直角坐标计算二重积分 22 注 1 二重积分的计算就是分别对变量 和作两次定积分的计算 2 化二重积分为二次积分的关键是 选择积分次序和确定积分上 下限 即积分区域D是一矩形时 其积分 次序可交换 二重积分及其简单应用 23 二重积分及其简单应用 3 几种写法的比较 已知 比较 24 二重积分及其简单应用 已知 比较 25 二重积分及其简单应用 解法一 先对再对的累 次积分 对积分时要固定 为常数 26 二重积分及其简单应用 解法二 先对再对的累 次积分 对积分时要固定 为常数 27 二重积分及其简单应用 说明 1 若函数可积 且 则 如 28 二重积分及其简单应用 2 有的题用两种方法均可 且难移程度 相同 但有的题只能对一种可行 另一 种则不行或难移程度不同 解 29 二重积分及其简单应用 30 二重积分及其简单应用 解 31 二重积分及其简单应用 32 二重积分及其简单应用 注 利用直系计算二重积分的步骤 1 画出积分区域的图形 求出边界 3 确定积分限 化为二次定积分 2 根据积分域类型 确定积分次序 4 计算两次定积分 即可得出结果 曲线交点坐标 33 二重积分及其简单应用 积分限确定法 域中一线插 域边两线夹 内限定上下 外限依靠它 34 二重积分及其简单应用 此时D称为Y 型区域 若积分区域D用来表示 类型2 35 二重积分及其简单应用 Y型区域的特点 区域边界相交不多于两个交点 计算公式 穿过区域且平行于轴的直线与 36 二重积分及其简单应用 解 解方程组 如图所示 解得交点 37 二重积分及其简单应用 38 二重积分及其简单应用 39 二重积分及其简单应用 解 1 如图 解方程组 解得交点 40 二重积分及其简单应用 2 如图 解方程组 解得交点 41 二重积分及其简单应用 若积分区域D用来表示 类型3 此时D称为X 型区域 42 二重积分及其简单应用 X型区域的特点 计算公式 穿过区域且平行于轴的直线与 43 二重积分及其简单应用 解法一 如图所示 则可表示为 若按先对再对积分 44 二重积分及其简单应用 45 二重积分及其简单应用 解法二 如图所示 三条直线的交点为 若按先对再对积分 则可表示为 46 二重积分及其简单应用 47 二重积分及其简单应用 说明 在计算过程中 恰当地选择积分次序 是化二重积分为二次积分的关键 解 如图所示 若按先对再对积分 48 二重积分及其简单应用 则可表示为 49 二重积分及其简单应用 说明 本题如果先对积分 后对积分 则不 能计算出结果 因为没有初等函数 50 二重积分及其简单应用 解 1 如图所示 若按先对再对积分 则可表示为 51 二重