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。欧拉公式的证明著名的欧拉公式e(i)=cos+isin是人们公认的优美公式。原因是指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系，而在复数域中却发现了他们可以相互转化，并被一个非常简单的关系式联系在一起。特别是当=时，欧拉公式便写成了e(i)+1=0,就这个等式将数中最富有特色的五个数0，1，i , e , ,绝妙地联系在一起方法一：用幂级数展开形式证明，但这只是形式证明（严格的说，在实函数域带着i只是形式上的） 再抄一遍： 设z = x+iy 这样 ez = e(x+iy)=ex*e(iy),就是ez/ex = e(iy) 用牛顿幂级数展开式 ex = 1+x+x2/2!+x3/3!+.+xn/n!+. 把 e(iy) 展开，就得到 ez/ex = e(iy) =1+iy-y2/2!-iy3/3!+y4/4!+iy5/5!-y6/6!-. =(1-y2/2!+y4/4!-y6/6!+.) +i(y-y3/3!+y5/5!-.) 由于 cosy = 1-y2/2!+y4/4!-y6/6!+., siny = y-y3/3!+y5/5!-. 所以 e(x+iy)=ex*e(iy)=ex*(cosy+isiny) 即 e(iy) = (cosy+isiny)方法二：见复变函数第2章，在整个负数域内重新定义了sinz cosz而后根据关系推导出了欧拉公式。着个才是根基。由来缘于此。 方法一是不严格的。再 请看这2个积分 sqrt(x2-1)dx=x*sqrt(x2-1)/2-ln(2*sqrt(x2-1)+2x)/2 sqrt(1-x2)dx=arcsin(x)/2+x*sqrt(1-x2)/2; 上式左边相当于下式左边乘以i 于是上式右边相当于下式右边乘以i 然后化简就得到欧拉公式 这个证明方法不太严密 但很有启发性 历史上先是有人用上述方法得到了对数函数和反三角函数的关系 然后被欧拉看到了,才得到了欧拉公式设a t R,R+,a(it)z有: a(it)=(cos+isin) 1 因共轭解适合方程,用-i替换i有: a(-it)=(cos-isin) 2 由1,2得=1,点Pa(it)在单位圆上,a(it)可表达为: a(it)=cos+isin 3 设t=u(),对3微商有: a(it)*(lna)*u()*i=-sin+icos 整理有: a(it)*(lna)*u()*i=(cos+isin)(cos/2+isin/2)约去a(it)有: u()=logae 4 4取积分有: T=(logae)*+ 5 0时,t=limt=,带入3有: a(i)=1 即: =0 6 6代入5有: T=(logae)* 7 7代入3有: a(logae)(i)=cos+isin 化简得欧拉公式: e(i)=cos+isin（后两者才是
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