随机过程例题.ppt

例1 已知随机相位正弦波X t acos t 其中a 0 为常数 为在 0 2 内均匀分布的随机变量 求随机过程 X t t 0 的均值函数mX t 和相关函数RX s t 2随机过程的基本概念 例2 设X t 为信号过程 Y t 为噪声过程 令W t X t Y t 则W t 的均值函数为 其相关函数为 2随机过程的基本概念 例求在 0 1 区间均匀分布的独立随机序列的均值向量 自相关阵和协方差阵 设N 3 解 Xi的一维概率密度函数为 Xi的均值 Xi的自相关函数 均值向量 自相关阵 协方差阵 2随机过程的基本概念 例3 设复随机过程 其中A1 A2 An是相互独立且服从N 0 的随机变量 1 2 n为常数 求 Zt t 0 的均值函数mZ t 和相关函数RZ s t 2随机过程的基本概念 例1 设有随机相位过程X t asin t a 为常数 为 0 2 上服从均匀分布的随机变量 试讨论随机过程X t 的平稳性 解 因此X t 是平稳随机过程 3平稳过程 例2 白噪声序列 设 Xn n 0 1 2 是实的互不相关随机变量序列 且E Xn 0 D Xn 2 试讨论随机序列的平稳性 解 因为 1 E Xn 0 故随机序列的均值为常数 相关函数仅与 有关 因此它是平稳随机序列 3平稳过程 例3 设有随机相位过程X t acos t a 为常数 为 0 2 上服从均匀分布的随机变量 试问X t 是否为各态历经过程 故X t 是为各态历经过程 3平稳过程 例4 设有两个随机过程X t acos t 和Y t bsin t 其中a b 为常数 为 0 2 上服从均匀分布的随机变量 分析X t 和Y t 是否联合平稳 解 故X t 和Y t 均是平稳过程 所以X t 和Y t 是联合平稳的 3平稳过程 解 例1 设有随机过程X t acos 0t 其中a 0为常数 在下列情况下 求X t 的平均功率 1 是在 0 2 上服从均匀分布的随机变量 2 是在 0 2 上服从均匀分布的随机变量 1 随机过程X t 是平稳过程 相关函数 平均功率 2 平均功率 X t 是非平稳过程 4谱分析 例2 解 已知平稳过程的相关函数为 其中a 0 0为常数 求谱密度GX 4谱分析 解 例3设随机序列X n W n W n 1 其中W n 是高斯随机序列 mW 0 RW m 2 m 求X n 的均值 自相关函数和谱密度GX 4谱分析 例4 如图所示X t 是平稳过程 过程Y t X t X t T 也是平稳的 求Y t 的功率谱 解 4谱分析 例1 h t 的估计 设线性系统输入一个白噪声过程X t 其自相关函数为RX N0 则 通过测量互相关函数 可以估计线性系统的单位脉冲响应 假定过程X t 和Y t 是各态历经的 5随机信号通过线性系统的分析 例2 如图RC电路 若输入白噪声电压X t 其相关函数为RX N0 求输出电压Y t 的相关函数和平均功率 解 5随机信号通过线性系统的分析 例3 如图有两个LTI系统H1 和H2 若输入同一个均值为零的平稳过程X t 它们的输出分别为Y1 t 和Y2 t 如何设计H1 和H2 才能使Y1 t 和Y2 t 互不相关 解 互不相关 协方差为零 当两个LTI系统的幅频特性互不重叠时 则它们的输出Y1 t 和Y2 t 互不相关 5随机信号通过线性系统的分析 例1 已知仪器在 0 t 内发生振动的次数X t 是具有参数 的泊松过程 若仪器振动k k 1 次就会出现故障 求仪器在时刻t0正常工作的概率 解 故仪器在时刻t0正常工作的概率为 故障时刻就是仪器发生第k振动的时刻Wk 服从 分布 6泊松过程 参数为n和s t的二项分布 例2 设在 0 t 内事件A已经发生n次 且0 s t 对于0 k n 求在 0 s 内事件A发生k次的概率 6泊松过程 例3 设在 0 t 内事件A已经发生n次 求第k次 k n 事件A发生的时间Wk的条件概率密度函数 Beta分布 6泊松过程 例4 某电话交换台在 0 t 时间内收到的呼叫次数X t 是一个泊松过程 平均每分钟2次 1 求3分钟内接到5次呼叫概率 2 若3分钟内已接到5次 求前2分钟收到4次呼叫的概率 以及第2次呼叫发生在第1分钟内的概率 6泊松过程 马尔可夫链的几个简单例子 例1 二进制对称信道模型 是常用于表征通信系统的错误产生机制的离散无记忆信道模型 假设某级信道输入0 1数字信号后 其输出正确的概率为p 产生错误的概率为q 则该级信道输入状态和输出状态构成一个两状态的齐次马尔可夫链 一步转移概率矩阵 二步转移概率矩阵 7马尔可夫链 例2 具有吸收壁和反射壁的随机游动 设质点在线段 1 4 上作随机游动 假设它只能在时刻n T发生移动 且只能停留在1 2 3 4点上 当质点转移到2 3点时 它以1 3的概率向左或向右移动一格 或停留在原处 当质点移动到点1时 它以概率1停留在原处 当质点移动到点4时 它以概率1移动到点3 若以Xn表示质点在时刻n所处的位置 则 Xn n T 是一个齐次马尔可夫链 7马尔可夫链 7马尔可夫链 解 二步转移概率矩阵 7马尔可夫链 例4 设马尔可夫链的状态空间I 0 1 2 其转移概率为 分析各状态的类型 解 先考查状态0 可见状态0是非周期的 因而状态0也是遍历的 由归纳法可知 根据pij n 来判断 状态0为常返态 状态0为正常返态 因为其它i 0 故所有i也是遍历的 7马尔可夫链 例5 设马氏链 Xn 的状态空间I 1 2 3 4 5 转移矩阵为试分析其闭集及不可约性 3 1 4 1 4 3 1 4 2 3 都是闭集 其中 3 和 1 4 是不可约闭集 7马尔可夫链 例6 设状态空间I 1 2 6 转移矩阵为试分解此