函数ppt课件 (5).ppt

1 第一章 高等数学基础 函数 极限 连续 研究对象 研究方法 研究桥梁 函数与极限 机动目录上页下页返回结束 2 第一章 二 区间与邻域 三 函数的概念 一 集合 第一节 机动目录上页下页返回结束 函数 3 一 集合 1 定义及表示法 具有某种特定性质的事物的总体称为一个集合 组成集合的事物称为元素 注1 集合通常用大写的英文字母 表示 其元素则用小写的英文字母 表示 注2 元素a属于集合A 记作 元素a不属于集合A 记作 注3 含有有限个元素的集合称为有限集 不是有限集的集合称为无限集 机动目录上页下页返回结束 4 注4 不含任何元素的集合称为空集 注5 对于数集 习惯上有如下记号 全体自然数的集合记作 全体整数的集合记作 全体有理数的集合记作 全体实数的集合记作 注6 M为数集 表示M中排除0的集 表示M中排除0与负数的集 记作 机动目录上页下页返回结束 5 表示法 1 列举法 按某种方式列出集合中的全体元素 例 有限集合 自然数集 2 描述法 x所具有的特征 例 整数集合 或 实数集合 x为有理数或无理数 机动目录上页下页返回结束 6 是B的子集 或称B包含A 2 集合之间的关系及运算 定义2 则称A 若 且 则称A与B相等 例如 显然有下列关系 若 设有集合 记作 记作 必有 机动目录上页下页返回结束 7 定义3 给定两个集合A B 并集 交集 且 差集 且 定义下列运算 A余集或补集 机动目录上页下页返回结束 或 其中集合I称为全集或基本集 8 二 区间与邻域 机动目录上页下页返回结束 区间 是指介于某两个实数之间的全体实数 这两个实数叫做区间的端点 称为开区间 称为闭区间 记作 记作 9 机动目录上页下页返回结束 无限区间 半开区间 注 两端点间的距离称为区间的长度 10 机动目录上页下页返回结束 点a的 邻域 其中 a称为邻域中心 称为邻域半径 去心 邻域 左 邻域 右 邻域 邻域 以为中心的任何开区间均是点的邻域 11 机动目录上页下页返回结束 例1 表示以点 为中心 为半径的邻域 也就是开区间 例2 以点 以2为半径的去心邻域为 即 以1 为中心 12 定义域 三 函数的概念 定义 记为 机动目录上页下页返回结束 自变量 因变量 是一个给定的数集 如果对于每个数 有确定的数值和它对应 则称是的函数 注 构成函数的要素为 定义域与对应法则 两函数相等 它们的定义域和对应法则均相同 13 对应法则 值域 定义域 定义域 函数的表示方法 解析法 图象法 列表法 使表达式及实际问题都有意义的自变量集合 例如 绝对值函数 定义域 值域 机动目录上页下页返回结束 14 分段函数 符号函数 当x 0 当x 0 当x 0 取整函数 当 机动目录上页下页返回结束 在自变量的不同变化范围中 对应法则用不同的式子来表示的函数 表示不超过x的最大整数 阶梯曲线 注 15 例3 判断下面函数是否相同 并说明理由 与 与 解 虽然这两个函数的表现形式不同 但它们 的定义域 与对应法则均相同 所以这 两个函数相同 虽然它们的自变量与因变量所用的字母不同 和对应法则均相同 所以 这两个函数相同 机动目录上页下页返回结束 16 例4判断下列函数是否为相同的函数 不是 是 不是 机动目录上页下页返回结束 两个函数是否相同 仅取决于D和f 而与f的表达形式无关 也与变量的记号无关 17 例5 求函数 义域 解 即 为整数 的定 机动目录上页下页返回结束 18 例6 设 定义域 解 机动目录上页下页返回结束 19 四 函数的几种特性 设函数 且有区间 1 单调性 时 称 为I上的 称 为I上的 单调增函数 单调减函数 机动目录上页下页返回结束 单调增加或单调减少的函数统称为单调函数 注函数单调与否同所论区间有关 20 设函数 机动目录上页下页返回结束 2 奇偶性 且有 若 则称f x 为偶函数 若 则称f x 为奇函数 说明 若 在x 0有定义 则当 为奇函数时 必有 偶函数的图形关于y轴对称奇函数的图形关于原点对称 21 例判断下列函数的奇偶性 非奇非偶 偶函数 奇函数 奇函数 机动目录上页下页返回结束 22 则称 在X上有界 为有界函数 3 有界性 机动目录上页下页返回结束 否则称为无界 设函数 的定义域为 数集 若 在D上有界 23 设函数 的定义域为 数集 若 则称 若 则称 由上述定义易见有下列结论 机动目录上页下页返回结束 有下界 在上有界 在上既有上界又 上界 下界 24 例如 故函数有界 且是它的上界 是它的下界 注意 有界 无界是相对于区间而言的 机动目录上页下页返回结束 是无界的 有界 无界 无界 25 证明 的定义域为 机动目录上页下页返回结束 故取M 1 则对 都有 26 4 周期性 且 则称 为周期函数 若 称T为周期 周期为 周期为 通常说周期函数的周期是指其最小正周期 机动目录上页下页返回结束 27 例如 常量函数 注 并非任何一个周期函数都有最小正周期 每一个正数都是其周期 但这个函数无最小正周期 机动目录上页下页返回结束 一般地 函数的周期性主要是指三角函数 如y sinx y cosx的最小正周期是2 y tanx y cotx的最小正周期是 28 注意 两个周期函数的和或积是不是周期函数 取决于这两个周期函数的周期之比是否是有理数 例下列函数是不是周期函数 是 不是 机动目录上页下页返回结束 29 定义 设函数y f x 的定义域为D 值域是f D 如果对于每一个y f D 都有惟一确定的且满足y f x 的x D与之对应 从而得到一个以y为自变量 x为因变量的函数 我们称此函数为y f x 的反函数 记作 习惯上 的反函数记成 机动目录上页下页返回结束 五 反函数与复合函数 例如 函数 其反函数为 30 性质 1 y f x 单调递增 其反函数 减 存在 且也单调递增 减 机动目录上页下页返回结束 2 函数 与其反函数 的图形关于直线 对称 3 互为反函数的两个函数 如果原函数为奇函数 则反函数也是奇函数 31 例 对数函数 互为反函数 它们都单调递增 机动目录上页下页返回结束 指数函数 4 互为反函数的两个函数及有 32 例 解 分段函数的反函数应当逐段求 解得 反函数为 解得 反函数为 又对于直接函数y x3来说其值域为 1 8 故反函数的定义域为 1 8 x 1 8 机动目录上页下页返回结束 33 解得 反函数为 综上所述 所求反函数为 机动目录上页下页返回结束 34 反三角函数 机动目录上页下页返回结束 35 它是奇的增函数 机动目录上页下页返回结束 36 它是减函数 机动目录上页下页返回结束 37 它是奇的增函数 机动目录上页下页返回结束 38 它是减函数 机动目录上页下页返回结束 39 一些恒等式 机动目录上页下页返回结束 40 2 复合函数 则 设有函数链 称为由 确定的复合函数 机动目录上页下页返回结束 注意 构成复合函数的条件 不可少 例如 函数链 函数 但函数链 不能构成复合函数 可定义复合 内函数 外函数 41 机动目录上页下页返回结束 两个以上函数也可构成复合函数 例如 可定义复合函数 42 例 将下列函数分解成基本初等函数的复合 解 是由 是由 四个函数复合而成 三个函数复合而成 是由 六个函数复合在而成 机动目录上页下页返回结束 43 分段函数的复合运算 例 设 求 解 或 或 机动目录上页下页返回结束 44 或 或 所以 机动目录上页下页返回结束 45 1 幂函数 六 初等函数 1 基本初等函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数 机动目录上页下页返回结束 46 2 指数函数 机动目录上页下页返回结束 47 3 对数函数 机动目录上页下页返回结束 48 4 三角函数 正弦函数 机动目录上页下页返回结束 49 余弦函数 机动目录上页下页返回结束 50 正切函数 机动目录上页下页返回结束 51 余切函数 机动目录上页下页返回结束 52 正割函数 机动目录上页下页返回结束 53 余割函数 机动目录上页下页返回结束 54 2 初等函数 由常数及基本初等函数 否则称为非初等函数 例如 并可用一个式子表示的函数 经过有限次四则运算和复合步 骤所构成 称为初等函数 可表为 故为初等函数 机动目录上页下页返回结束 注 一般地分段函数不是初等函数 形式上分段但可化为一个解析表达式的函数可能是初等函数 55 内容小结 1 集合 区间 邻域的概念 定义域对应规律 3 函数的特性 有界性 单调性 奇偶性 周期性 4 初等函数的结构 作业P101 2 3 6 2 15 2