勾股定理与方程ppt课件.ppt

1 勾股定理的方程思想 2 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 勾股定理 3 勾股定理的常见表达式和变形式 4 在直角三角中 如果已知两边的长 利用勾股定理就可以求第三边的长 那么如果已知一条边长及另两边的数量关系 能否求各边长呢 5 感受新知1 6 二 例题 问题1 如何在实际问题中 利用勾股定理解决问题呢 例1 有一个水池 水面是一个边长为l0尺的正方形 在水池正中央有一根芦苇 它高出水面l尺 如果把这根芦苇拉向水池一边的中点 它的顶端恰好到达池边的水面 水的深度与这根芦苇的长度分别是多少 7 例1 有一个水池 水面是一个边长为l0尺的正方形 在水池正中央有一根芦苇 它高出水面l尺 如果把这根芦苇拉向水池一边的中点 它的顶端恰好到达池边的水面 水的深度与这根芦苇的长度分别是多少 设计意图 1 能利用勾股定理解决简单的实际问题 2 通过用代数式 方程等表述数量关系的过程 体会模型的思想 建立符号意识 3 初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题 并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题 增强应用意识 提高实践能力 4 本题是我国古代数学著作 九章算术 中的问题 展现我国古人在勾股定理应用研究方面的成果 8 9 解决与勾股定理有关的实际问题时 先要抽象出几何图形 从中找出直角三角形 再设未知数 找出各边的数量关系 最后根据勾股定理求解 小结 10 AB的中垂线DE交BC于点D AD BD BC 3 BD CD AD CD 3 如图 在Rt ABC中 C 90 AC 1 BC 3 AB的中垂线DE交BC于点D 连结AD 则AD的长为 x 3 x 感受新知2 11 在直角三角形中 已知两边的数量关系 设其中一边为x 利用勾股定理列方程 解方程 求各边长 基本过程 12 如图 有一张直角三角形纸片 两直角边AC 6cm BC 8cm 现将直角边沿直线AD折叠 使点C落在斜边AB上的点E 求CD的长 6 6 例1 13 解 在Rt ABC中AC 6cm BC 8cm AB 10cm 设CD DE xcm 则BD 8 x cm 由折叠可知AE AC 6cm CD DE C AED 90 解得x 3 CD DE 3cm BE 10 6 4cm BED 90 在Rt BDE中由勾股定理可得 8 x 2 x2 42 例1 14 问题2 如果一道题目中有多个直角三角形 我们如何选择在哪个直角三角形中利用勾股定理求解呢 例2 已知矩形ABCD沿直线BD折叠 使点C落在同一平面内C 处 BC 与AD交于点E AD 8 AB 4 求DE的长 15 例2 已知矩形ABCD沿直线BD折叠 使点C落在同一平面内C 处 BC 与AD交于点E AD 8 AB 4 求DE的长 方法一 16 方法二 17 例2 已知矩形ABCD沿直线BD折叠 使点C落在同一平面内C 处 BC 与AD交于点E AD 8 AB 4 求DE的长 1 如果一道题目中有多个直角三角形 要选择能够用一个未知数表示出三条边的直角三角形 边也可为常数 在这个三角形中利用勾股定理求解 2 解决折叠问题的关键 在动 静的转化中找出不变量 小结 18 例2 已知矩形ABCD沿直线BD折叠 使点C落在同一平面内C 处 BC 与AD交于点E AD 8 AB 4 求DE的长 注意 1 基本图形 平行 角平分线 等腰三角形 知二推一 2 折叠问题 折叠图形前后两个图形全等 最好在图中标出相等的线段和角 19 练习 20 思考1 1 如图 铁路上A B两点相距25km C D为两村庄 DA AB于A CB AB于B 已知DA 15km CB 10km 现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E 使得C D两村到E站的距离相等 则E站应建在离A站多少km处 21 解 设AE xkm 则BE 25 x km根据勾股定理 得AD2 AE2 DE2BC2 BE2 CE2又DE CE AD2 AE2 BC2 BE2即 152 x2 102 25 x 2 x 10答 E站应建在离A站10km处 x 25 x 思考1 22 在一棵树BD的5m高A处有两只小猴子 其中一只猴子爬到树顶D后跳到离树10m的地面C处 另外一只猴子爬下树后恰好也走到地面C处 如果两个猴子经过的距离相等 问这棵树有多高 A B C D 思考2 23 A B C D 解 如图 D为树顶 AB 5m BC 10m 设AD长为xm 则树高为 x 5 m AD DC AB BC DC 10 5 x 15 x 在Rt ABC中 根据勾股定理得 解得x 2 5 答 树高为7 5米 x 5 2 5 5 7 5 102 5 x 2 15 x 2 思考2 24 例3 已知 如图 ABC中 AB 16 AC 14 BC 6 求 ABC的面积 问题3 如果题目中既没有直角三角形 也没有直角 怎么利用勾股定理求解 设计意图 经历对几何图形的观察 分析 初步掌握利用分割图形构造直角三角形的方法 了解特殊与一般的转化思想 25 例3 已知 如图 ABC中 AB 16 AC 14 BC 6 求 ABC的面积 方法一 26 例3 已知 如图 ABC中 AB 16 AC 14 BC 6 求 ABC的面积 方法二 27 例3 已知 如图 ABC中 AB 16 AC 14 BC 6 求 ABC的面积 小结 1 题目中既没有直角三角形 也没有直角 可考虑利用作垂线段 分割图形的方法 构造直角三角形 2 斜化直 即 斜三角形化为直角三角形求解 28 例3 已知 如图 ABC中 AB 16 AC 14 BC 6 求 ABC的面积 注意 1 本题可选择列方程或方程组求解 当列方程组求解时 要注意开平方时 是两种情况 要舍去负值 当列方程求解CD时 最好写 可以省去后面的讨论 2 本题也可以过A或B作对边的高 29 问题4 如果题目中没有直角三角形 但存在直角 怎么利用勾股定理求解 30 设计意图 问题4 如果题目中没有直角三角形 但存在直角 怎么利用勾股定理求解 1 经历对几何图形的观察 分析 初步掌握利用 补 图形构造直角三角形的方法 了解特殊与一般的转化思想 2 题目中设置的已知量并不是整数 意在增强学生的计算能力 31 32 小结 题目中没有直角三角形 但存在直角 可以考虑 补 出直角三角形求解 实际上 本题利用 割 也有多种做法 33 小结 题目中没有直角三角形 但存在直角 可以考虑 补 出直角三角形求解 实际上 本题利用 割 也有多种做法 34 注意 1 本题的解法很多 但是解法上却有的简单 有的复杂 要选择好方法 2 注意不要跳步 不能直接用结论 含有30 的直角三角形的三边的比为 如 要求CE 需先求DE 再由勾股定理求CE 35 问题5 如果将勾股定理中 直角三角形 改为 斜三角形 的关系会是怎样呢 思考题 在 ABC中 BC a AC b AB c 若 C 90 如图 根据勾股定理 则 若 ABC不是直角三角形 如图 和图 请你类比勾股定理 试猜想的关系 并证明你的结论 36 思考题 在 ABC中 BC a AC b AB c 若 C 90 如图 根据勾股定理 则 若 ABC不是直角三角形 如图 和图 请你类比勾股定理 试猜想的关系 并证明你的结论 设计意图 1 从证明方法角度看 通过利用 割 补 图形构造直角三角形的方法 得出类似勾股定理的结论 它是本节课所学知识的综合应用 2 从结论上看 三角形的边长由具体的数变成了字母 结论具有普遍性 它也是本章第18 1小节勾股定理的推广 体现了特殊与一般的转化思想 37 思考题 在 ABC中 BC a AC b AB c 若 C 90 如图 根据勾股定理 则 若 ABC不是直角三角形 如图 和图 请你类比勾股定理 试猜想的关系 并证明你的结论 小结 若 ABC是锐角三角形 则有 若 ABC是钝角三角形 C为钝角 则有 38 思考题 在 ABC中 B