29.1 几何问题的处理方法(1)VIP

鹤壁市第四中学 王永传 义务教育课程标准实验教科书华东师大版 2 例 1：如图所示，直线 a / b， 1=50 ，求 2的度数。 abc43213 例题 2.如图 .已知 BC 3， ABC和 ACB的平分线相交于点 O， OE AB， OF AC，求 OEF的周长。 A B C E F O 解 ： OB平分 ABC 1 2 OE AB 1 3 2 3 BE EO 同理 CF OF OEF的周长 OE EF OF BE EF CF BC 3 1 2 3 4 例 3: 如右图 ， 在四边形 ABCD中 ，已知 B=60 ， C=120 ， AB与CD平行吗 ？ AD与 BC平行吗 ？ 解 ：本题中直线 AB与 CD平行 ， 但根据题目的已知条件 ， 无法判定 AD与 BC平行 。 B=60 ， C=120 （ 已知 ） B+ C = 180 AB CD （ 同旁内角互补 ， 两直线平行 ） 5 例 4如图：一束平行光线 AB和 DE射向一个水平镜面后被发射，此时 1= 2 ， 3= 4 。 1 2 3 4 B E A C D F （ 1 ） 1， 3的大小有什么关系？ 2与 4呢？ AB DE 1= 3 相等 你知道理由吗？ 两直线平行 同位角相等 （ 2 ）反射光线 BC与 EF也平行吗？ 2= 4 BC EF 平行 同位角相等 两直线平行 1= 3 且 1= 2 ， 3= 4 2= 4 6 例 5： 1、 在等腰 ABC中 ， AB=3， AC=4， 则 ABC的周长 =_ 2、 在等腰 ABC中 ， AB=3， AC=7， 则 ABC的周长 =_ 此例题的重点是运用等腰三角形的定义，以及等腰三角形腰和底边的关系。仔细比较以上两个例题，并强调在没有明确腰和底边之前，应该分两种情况讨论。而且在讨论后还应该思考一个问题 : 10或 11 17 就是这样的三条边能否够成三角形 ! 7 例 6： 1 、 在等腰 ABC 中 ， AB=AC, B=50 , 则 A=_， C =_ 此例题的重点是运用等腰三角形 “ 等边对等角 ” 这一性质，突出顶角和底角的关系。强调 等腰三角形中顶角和底角的取值范围： 0 顶角 180 , 0 底角 90 在等腰三角形中，已知一个角就可以求出另外两个角 。 2、在等腰 ABC中， A =100 , 则 B=_， C=_ 仔细比较以上两个例题，得出结论一个经验： 50 80 40 40 8 例 7: 在等腰 ABC中， A=40 , 求 B 度数。 此题是一道陷阱题 ， 可以先让学生进行分析 ，和例二的 2小题比较 ， 估计会出一些状况 ， 大多数学生会按照 “ 两种情况 ” 讨论 ， 得到“ 两个答案 ” 。 C B A A C B B C A 给学生画出图形进行分析，分 “ 两种情况 ”讨论，得到却的是 “ 三个答案 ” 。强调需要自己画图解题时，一定要三思而后行！ 此时 B=40 此时 B=100 此时 B=70 9 此题的目的在于等腰三角形 “ 等边对等角 ” 和“ 三线合一 ” 性质的运用 .以及怎么书写解答题，强调 “ 三线合一 ” 的表达过程。 解：在 ABC中， AB =AC， B = 50 ， B = C=50 又 A+ B+ C=180 , A=80 在 ABC中， AB =AC，点 D是 BC的中点 AD是底边上的中线 根据等腰三角形 “ 三线合一 ” 知： AD是 BAC的平分线 ， 即 BAD = CAD = 40 例 8：在 ABC中， AB =AC，点 D是 BC的中点， B = 50 ，求 BAD的度数？ A C B D 10 例 9.如图，已知在 ABC中， AB=AC， BD AC于 D， CE AB于 E， BD与 CE相交于 M点。 求证： BM=CM。 证明： AB=AC ABC= ACB（等边对等角） BD AC于 D， CE AB于 E BEC= CDB=90 1+ ACB=90， 2+ ABC=90（直角三角形两个锐角互余） 1= 2（等角的余角相等） BM=CM（等角对等边） AB CD1 2EM说明：本题易习惯性地用全等来证明，虽然也可以证明，但过程较复杂，应当多加强等腰三角形的性质和判定定理的应用。 11 例 10.已知：如图， A=90， B=15， BD=DC. 求证： AC= BD. 证明： BD=DC， B=15 DCB= B=15（等角对等边） ADC= B+ DCB=30 （三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和） A=90 AC= DC AC= BD 2121AB CD1212 例 11.如图，已知 ABC中， AB=AC， BD=BC， AD=DE=EB.求 A的度数 . 分析：本题有较多的等腰三角形的条件，最好用列方程组的方法来求解，应当在图形上标出各未知数，可使解题过程清晰明了。 解：设 A=x ， EBD=y， C=z AB=AC ABC= C=z BD=BC C= BDC=z BE=DE EBD= EDB=y AD=DE A= AED=x 又 BDC= A+ ABD， AED= EBD+ EDB （三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和） A+ ABC+ ACB=180 （三角形内角和为 180 ） 解得 x=45 即： A=45 2180xyz x yx z z AB CDExyzxyz13 例 12.已知：如图， C=90， BC=AC， D、 E分别在 BC和 AC上，且 BD=CE， M是 AB的中点 . 求证： MDE是等腰三角形 . 分析：要证 MDE是等腰三角形，只需证 MD=ME。连结CM，可利用 BMD CME得到结果。 证明：连结 CM C=90 ， BC=AC A= B=45 M是 AB的中点 CM平分 BCA（等腰三角形顶角的平分线和底边上的中线重合） MCE= MCB= BCA=45 B= MCE= MCB CM=MB（等角对等边） 在 BDE和 CEM中 BDM CEM（ SAS） MD=ME MDE是等腰三角形 CMBMMC EBCEBDABCDEM14 例 13.如图，在等边 ABC中， AF=BD=CE， 求证： DEF也是等边三角形 . 证明： ABC是等边三角形 AC=BC， A= C CE=BD BC BC=AC CE CD=AE 在 AEF和 CDE中 AEF CDE（ SAS） EF=DE 同理可证 EF=DF EF=DE=DF DEF是等边三角形 CEAFCACDAEAB CDEF说明：证明等边三角形有三种思路： 证明三边相等 证明三角相等 证明三角形是有一个角为 60 的 等腰三角形。 具体问题中可利用不同的方式进行求解。 15 例 14 如图 2-8-1,中， AB=AC， D为 AB上一点， E为 AC延长线上一点，且BD=CE， DE交 BC于 G 求证： DG=EG 思路 因为 GDB和 GEC不全等，所以考虑在 GDB内作出一个与 GEC全等的三角形。 证明：过 D作 DH AE，交 BC于 H AB=AC DB=DH 又 DB=CE DH=CE 又 DG=EG. 说明 本题易明显得出 DG和 EG所在的 DBG和 ECG不全等，故要构造三角形的全等，本题的另一种证法是过E作 EF BD，交 BC的延长线于 F，证明 DBG EFG，同学们不妨试一试。 16 例 15. 如图 2-8-6，在 ABC中， AB=AC=CB， AE=CD， AD、 BE相交于 P，BQ AD于 Q. 求证： BP=2PQ 思路 在 RtBPQ中，本题的结论等价于证明 PBQ=30 证明 AB=CA， BAE= ACD=60 ， AE=CD， BAE ACD ABE= CAD BPQ= ABE+ BAP = CAD+ BAP=60 又 BQ AD PBQ=30 BP=2PQ 说明 本题把证明线段之间的关系转化为证明角的度数，这种转换问题的方法值得同学们细心体会。 17 练 习 题 ： 1.如图，在四边形 ABCD中，已知 AD / BC， A = 60 ，求 B的度数， A BDC解： AD / BC ( 已 知 ) A+ B = 180 又 A = 60 B = 120 （ 两直线平行，同旁内角互补 ） 能否求得 C的度数？ 18 综合测试 C 2、如图，已知下列条件可以判定哪两条直线平行，并说明判定的根据是什么？ A B D E 3 1 2 （ 1） A= C （ 2） 1 + B= 180 （ 3） 2= 3 F 19 3、选做题 已知：如图，在 ABC中， AB=AC,E在 AC上， D在 BA的延长线上， AD=AE，连结 DE。请问：DE BC成立吗？ B C E A D 20 4.如图，在 ABC中， AB=AC， DB=DC。 求证：（ 1） 1= 2；（ 2） AD BC 拓展提高 21（第 1 题）EDCBA21 5.如图 ,C是线段 AB上一点 , ACD 和 BCE是等边三角形 ,AE交 CD于 M BD交 CE于 N,交 AE于 O. 求证 :(1) AOB=120 (2)CM=CN (3)MN/AB A B C D E M N O 22 6.已知 ,在 ABC中 ACB=900,CD, CE三等分 ACB,CD AB 求证 :(1)AB=2BC (2)CE=AE=EB A B C D E 23 7.如图 ,点 D在 AC上 ,点 E在 AB上 , 且 AB=AC,BC=BD,AD=DE=BE. 求 A