同济第六版高等数学教案WORD版-第01章-函数与极限

高等数学教案高等数学教案 第一章 函数与极限 第一章第一章 函数与极限函数与极限 教学目的 教学目的 1 理解函数的概念 掌握函数的表示方法 并会建立简单应用问题中的函数关系 式 2 了解函数的奇偶性 单调性 周期性和有界性 3 理解复合函数及分段函数的概念 了解反函数及隐函数的概念 4 掌握基本初等函数的性质及其图形 5 理解极限的概念 理解函数左极限与右极限的概念 以及极限存在与左 右极 限之间的关系 6 掌握极限的性质及四则运算法则 7 了解极限存在的两个准则 并会利用它们求极限 掌握利用两个重要极限求极 限的方法 8 理解无穷小 无穷大的概念 掌握无穷小的比较方法 会用等价无穷小求极限 9 理解函数连续性的概念 含左连续与右连续 会判别函数间断点的类型 10 了解连续函数的性质和初等函数的连续性 了解闭区间上连续函数的性质 有 界性 最大值和最小值定理 介值定理 并会应用这些性质 教学重点 教学重点 1 复合函数及分段函数的概念 2 基本初等函数的性质及其图形 3 极限的概念极限的性质及四则运算法则 4 两个重要极限 5 无穷小及无穷小的比较 6 函数连续性及初等函数的连续性 7 区间上连续函数的性质 教学难点 教学难点 1 分段函数的建立与性质 2 左极限与右极限概念及应用 3 极限存在的两个准则的应用 4 间断点及其分类 5 闭区间上连续函数性质的应用 1 1 映射与函数映射与函数 一 集合 1 集合概念集合概念 集合集合 简称集简称集 集合是指具有某种特定性质的事物的总体 用 A B C 等表示 元素元素 组成集合的事物称为集合的元素 a 是集合 M 的元素表示为 a M 高等数学教案高等数学教案 第一章 函数与极限 集合的表示集合的表示 列举法 把集合的全体元素一一列举出来 例如 A a b c d e f g 描述法 若集合 M 是由元素具有某种性质 P 的元素 x 的全体所组成 则 M 可表示为 A a1 a2 an M x x 具有性质 P 例如 M x y x y 为实数 x2 y2 1 几个数集几个数集 N 表示所有自然数构成的集合 称为自然数集 N 0 1 2 n N 1 2 n R 表示所有实数构成的集合 称为实数集 Z 表示所有整数构成的集合 称为整数集 Z n 2 1 0 1 2 n Q 表示所有有理数构成的集合 称为有理数集 互质与且qpqZp q p NQ 子集子集 若 x A 则必有 x B 则称 A 是 B 的子集 记为 A B 读作 A 包含于 B 或 B A 如果集合 A 与集合 B 互为子集 A B 且 B A 则称集合 A 与集合 B 相等 记作 A B 若 A B 且 A B 则称 A 是 B 的真子集 记作 AB 例如 NZQR 不含任何元素的集合称为空集 记作 规定空集是任何集合的子集 2 集合的运算集合的运算 设 A B 是两个集合 由所有属于 A 或者属于 B 的元素组成的集合称为 A 与 B 的并 集 简称并 记作 A B 即 A B x x A 或 x B 设 A B 是两个集合 由所有既属于 A 又属于 B 的元素组成的集合称为 A 与 B 的交 集 简称交 记作 A B 即 A B x x A 且 x B 设 A B 是两个集合 由所有属于 A 而不属于 B 的元素组成的集合称为 A 与 B 的差 集 简称差 记作 A B 即 A B x x A 且 x B 如果我们研究某个问题限定在一个大的集合 I 中进行 所研究的其他集合 A 都是 I 的 子集 此时 我们称集合 I 为全集或基本集 称 I A 为 A 的余集或补集 记作 AC 集合运算的法则 设 A B C 为任意三个集合 则 1 交换律 A B B A A B B A 2 结合律 A B C A B C A B C A B C 3 分配律 A B C A C B C A B C A C B C 高等数学教案高等数学教案 第一章 函数与极限 4 对偶律 A B C AC BC A B C AC BC A B C AC BC的证明 x A B C x A B x A 且 x B x A C且 x BC x AC BC 所以 A B C AC BC 直积 笛卡儿乘积 设 A B 是任意两个集合 在集合 A 中任意取一个元素 x 在集合 B 中任意取一个元 素 y 组成一个有序对 x y 把这样的有序对作为新元素 它们全体组成的集合称为集合 A 与集合 B 的直积 记为 A B 即 A B x y x A 且 y B 例如 R R x y x R 且 y R 即为 xOy 面上全体点的集合 R R 常记作 R2 3 区间和邻域区间和邻域 有限区间有限区间 设 a b 称数集 x a x b 为开区间 记为 a b 即 a b x a x b 类似地有 a b x a x b 称为闭区间 a b x a x b a b x a x b 称为半开区间 其中 a 和 b 称为区间 a b a b a b a b 的端点 b a 称为区间的长度 无限区间无限区间 a x a x b x x b x x 区间在数轴上的表示 邻域邻域 以点 a 为中心的任何开区间称为点 a 的邻域 记作 U a 设 是一正数 则称开区间 a a 为点 a 的 邻域 记作 U a 即 U a x a x a x x a 其中点 a 称为邻域的中心 称为邻域的半径 去心邻域 a U a x 0 x a 1 时 y 1 x xy 2 例如 f 3 1 3 4 2 2 1 2 2 1 f2 1 2 1 f 2 函数的几种特性 1 函数的有界性函数的有界性 设函数 f x 的定义域为 D 数集 X D 如果存在数 K1 使对任一 x X 有 f x K1 则 称函数 f x 在 X 上有上界 而称 K1为函数 f x 在 X 上的一个上界 图形特点是 y f x 的图 形在直线 y K1的下方 如果存在数 K2 使对任一 x X 有 f x K2 则称函数 f x 在 X 上有下界 而称 K2为函 数 f x 在 X 上的一个下界 图形特点是 函数 y f x 的图形在直线 y K2的上方 如果存在正数 M 使对任一 x X 有 f x M 则称函数 f x 在 X 上有界 如果这样 的 M 不存在 则称函数 f x 在 X 上无界 图形特点是 函数 y f x 的图形在直线 y M 和 y M 的之间 函数 f x 无界 就是说对任何 M 总存在 x1 X 使 f x M 例如 1 f x sin x 在 上是有界的 sin x 1 2 函数在开区间 0 1 内是无上界的 或者说它在 0 1 内有下界 无上界 x xf 1 这是因为 对于任一 M 1 总有 x1 使1 1 0 1 M x M x xf 1 1 1 所以函数无上界 函数在 1 2 内是有界的 x xf 1 2 函数的单调性函数的单调性 设函数 y f x 的定义域为 D 区间 I D 如果对于区间 I 上任意两点 x1及 x2 当 x1 x2时 恒有 f x1 f x2 则称函数 f x 在区间 I 上是单调增加的 如果对于区间 I 上任意两点 x1及 x2 当 x1 f x2 高等数学教案高等数学教案 第一章 函数与极限 则称函数 f x 在区间 I 上是单调减少的 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数 函数单调性举例 函数 y x2在区间 0 上是单调增加的 在区间 0 上是单调减少的 在 上不是单调的 3 函数的奇偶性函数的奇偶性 设函数 f x 的定义域 D 关于原点对称 即若 x D 则 x D 如果对于任一 x D 有 f x f x 则称 f x 为偶函数 如果对于任一 x D 有 f x f x 则称 f x 为奇函数 偶函数的图形关于 y 轴对称 奇函数的图形关于原点对称 奇偶函数举例 y x2 y cos x 都是偶函数 y x3 y sin x 都是奇函数 y sin x cos x 是非奇非偶函数 4 函数的周期性函数的周期性 设函数 f x 的定义域为 D 如果存在一个正数 l 使得对于任一 x D 有 x l D 且 f x l f x 则称 f x 为周期函数 l 称为 f x 的周期 周期函数的图形特点 在函数的定义域内 每个长度为 l 的区间上 函数的图形有相 同的形状 3 反函数与复合函数 反函数与复合函数 反函数 设函数 f D f D 是单射 则它存在逆映射 f 1 f D D 称此映射 f 1为函数 f 的反函 数 按此定义 对每个 y f D 有唯一的 x D 使得 f x y 于是有 f 1 y x 这就是说 反函数 f 1的对应法则是完全由函数 f 的对应法则所确定的 一般地 y f x x D 的反函数记成 y f 1 x x f D 若 f 是定义在 D 上的单调函数 则 f D f D 是单射 于是 f 的反函数 f 1必定存在 而且容易证明 f 1也是 f D 上的单调函数 相对于反函数 y f 1 x 来说 原来的函数 y f x 称为直接函数 把函数 y f x 和它的反 函数 y f 1 x 的图形画在同一坐标平面上 这两个图形关于直线 y x 是对称的 这是因为如果 P a b 是 y f x 图形上的点 则有 b f a 按反函数的定义 有 a f 1 b 故 Q b a 是 y f 1 x 图形上的点 反之 若 Q b a 是 y f 1 x 图形上的点 则 P a b 是 y f x 图形上的点 而 P a b 与 Q b a 是关于直线 y x 对称的 复合函数 高等数学教案高等数学教案 第一章 函数与极限 复合函数是复合映射的一种特例 按照通常函数的记号 复合函数的概念可如下表述 设函数 y f u 的定义域为 D 1 函数 u g x 在 D 上有定义且 g D D 1 则由下式确定 的函数 y f g x x D 称为由函数 u g x 和函数 y f u 构成的复合函数 它的定义域为 D 变量 u 称为中间变量 函数 g 与函数 f 构成的复合函数通常记为 即gf f g x gf 与复合映射一样 g 与 f 构成的复合函数的条件是 是函数 g 在 D 上的值域 g D gf 必须含在 f 的定义域 D f内 即 g D D f 否则 不能构成复合函数 例如 y f u arcsin u 的定义域为 1 1 在上 2 12 xxgu 1 2 3 2 3 1 D 有定义 且 g D 1 1 则 g 与 f 可构成复合函数 x D 2 12arcsinxy 但函数 y arcsin u 和函数 u 2 x2不能构成复合函数 这是因为对任 x R u 2 x2均不在 y arcsin u 的定义域 1 1 内 多个函数的复合 4 函数的运算函数的运算 设函数 f x g x 的定义域依次为 D 1 D 2 D D 1 D 2 则我们可以定义这两个函数 的下列运算 和 差 f g f g x f x g x x D 积 f g f g x f x g x x D 商 x D x g x 0 g f xg xf x g f 例 11 设函数 f x 的定义域为 l l 证明必存在 l l 上的偶函数 g x 及奇函数 h x 使得 f x g x h x 分析 如果 f x g x h x 则 f x g x h x 于是 2 1 xfxfxg 2 1 xfxfxh 证 作 则 f x g x h x 2 1 xfxfxg 2 1 xfxfxh 且 2 1 xgxfxfxg 2 1 2 1 xhxfxfxfxfxh 高等数学教案高等数学教案 第一章 函数与极限 5 初等函数初等函数 基本初等函数 幂函数 y x R 是常数 指数函数 y a x a 0 且 a 1 对数函数 y loga x a 0 且 a 1 特别当 a e 时 记为 y ln x 三角函数 y sin x y cos x y tan x y cot x y sec x y csc x 反三角函数 y arcsin x y arccos x y arctan x y arccot x 初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可 用一个式子表示的函数 称为初等函数 例如 y sin2x 2 1 xy 2 cot x y 等都是初等函数 双曲函数 双曲正弦 2 sh xx ee x 双曲余弦 2 ch xx ee x 双曲正切 xx xx ee ee x x x ch sh th 双曲函数的性质 sh x y sh x ch y ch x sh y ch x y ch x ch y sh x sh y ch2x sh2x 1 sh2x 2sh x ch x ch2x ch2x sh2x 下面证明 sh x y sh x ch y ch x sh y 2222 shchchsh yyxxyyxx eeeeeeee yxyx 44 yxyxxyyxyxyxxyyx eeeeeeee sh 2 yx ee yxyx x1 2 1 高等数学教案高等数学教案 第一章 函数与极限 反双曲函数 双曲函数 y sh x y ch x x 0 y th x 的反函数依次为 反双曲正弦 y arsh x 反双曲余弦 y arch x 反双曲正切 y arth x 反双曲函数的表示达式 y arsh x 是 x sh y 的反函数 因此 从 2 yy ee x 中解出 y 来便是 arsh x 令 u e y 则由上式有 u 2 2x u 1 0 这是关于 u 的一个二次方程 它的根为 1 2 xxu 因为 u e y 0 故上式根号前应取正号 于是 1 2 xxu 由于 y ln u 故得 1ln arsh 2 xxxy 函数 y arsh x 的定义域为 它是奇函数 在区间 内为单调增加的 类似地可得 1ln arch 2 xxxy x x xy 1 1 ln 2 1 arth 高等数学教案高等数学教案 第一章 函数与极限 1 2 数列的极限数列的极限 一个实际问题 如可用渐近的方程法求圆的面积 设有一圆 首先作内接正四边形 它的面积记为 A1 再作内接正八边形 它的面积记 为 A2 再作内接正十六边形 它的面积记为 A3 如此下去 每次边数加倍 一般把内接正 8 2n 1边形的面积记为 An 这样就得到一系列内接正多边形的面积 A1 A2 A3 An 设想 n 无限增大 记为 n 读作 n 趋于穷大 即内接正多边形的边数无限增加 在 这个过程中 内接正多边形无限接近于圆 同时 An 也无限接近于某一确定的数值 这个确 定的数值就理解为圆的面积 这个确定的数值在数学上称为上面有次序的数 数列 A1 A2 A3 An 当 n 时的极限 数列的概念数列的概念 如果按照某一法则 使得对任何一个正整数 n 有一个确定的数 xn 则得 到一列有次序的数 x1 x2 x3 xn 这一列有次序的数就叫做数列 记为 xn 其中第 n 项 xn 叫做数列的一般项 数列的例子 1 n n 2 1 3 2 4 3 1 n n 2n 2 4 8 2n n 2 1 2 1 4 1 8 1 n 2 1 1 n 1 1 1 1 1 n 1 2 n n n 1 1 2 1 3 4 n n n 1 1 它们的一般项依次为 2n 1 n 1 1 n n n 2 1 n n n 1 1 数列的几何意义数列的几何意义 数列 xn 可以看作数轴上的一个动点 它依次取数轴上的点 x1 x2 x3 xn 数列与函数数列与函数 数列 xn 可以看作自变量为正整数 n 的函数 xn f n 它的定义域是全体正整数 数列的极限 数列的极限的通俗定义数列的极限的通俗定义 对于数列 xn 如果当 n 无限增大时 数列的一般项 xn无限 高等数学教案高等数学教案 第一章 函数与极限 地接近于某一确定的数值 a 则称常数 a 是数列 xn 的极限 或称数列 xn 收敛 a 记为 如果数列没有极限 就说数列是发散的 axn n lim 例如 1 1 lim n n n 0 2 1 lim n n 1 1 lim 1 n n n n 而 2n 1 n 1 是发散的 对无限接近的刻划 xn无限接近于 a 等价于 xn a 无限接近于 0 极限的精确定义 定义定义 如果数列 xn 与常 a 有下列关系 对于任意给定的正数 不论它多么小 总存 在正整数 N 使得对于 n N 时的一切 xn 不等式 xn a 0 要使 xn 1 只要 即 n 1 1 n 证明证明 因为 0 N 当 n N 时 有 1 N xn 1 nn n n 1 1 1 1 所以 1 1 lim 1 n n n n 例 2 证明 0 1 1 lim 2 n n n 分析分析 xn 0 0 1 1 2 n n 1 1 1 1 2 nn 对于 0 要使 xn 0 只要 即 1 1 n 1 1 n 高等数学教案高等数学教案 第一章 函数与极限 证明证明 因为 0 N 当 n N 时 有 1 1 N xn 0 1 1 1 1 0 1 1 22 nnn n 所以 0 1 1 lim 2 n n n 例 3 设 q 0 要使 x n 0 qn 1 0 q n 1log q 1 就可以了 故可取 N log q 1 证明证明 因为对于任意给定的 0 存在 N log q 1 当 n N 时 有 qn 1 0 q n 1 所以 0lim 1 n n q 收敛数列的性质 定理定理 1 极限的唯一性极限的唯一性 数列 xn 不能收敛于两个不同的极限 证明证明 假设同时有及 且 a0 存在充分大的正整数 N 2 ab 使当 n N 时 同时有 xn a 及 xn b N 时的一切 xn 不等式 xn a N 时 xn xn a a xn a a 0 N N 当 n N 时 有 xn a 取 K N 则当 k K 时 nk k K N 于是 a k n x 这就证明了 ax k n k lim 讨论 1 对于某一正数 0 如果存在正整数 N 使得当 n N 时 有 xn a 0 是否有 xn a n 高等数学教案高等数学教案 第一章 函数与极限 2 如果数列 xn 收敛 那么数列 xn 一定有界 发散的数列是否一定无界 有界的数 列是否收敛 3 数列的子数列如果发散 原数列是否发散 数列的两个子数列收敛 但其极限不 同 原数列的收敛性如何 发散的数列的子数列都发散吗 4 如何判断数列 1 1 1 1 1 N 1 是发散的 高等数学教案高等数学教案 第一章 函数与极限 1 3 函数的极限函数的极限 一 函数极限的定义一 函数极限的定义 函数的自变量有几种不同的变化趋势 x 无限接近 x0 x x0 x 从 x0的左侧 即小于 x0 无限接近 x0 x x0 x 从 x0的右侧 即大于 x0 无限接近 x0 x x0 x 的绝对值 x 无限增大 x x 小于零且绝对值 x 无限增大 x x 大于零且绝对值 x 无限增大 x 1 自变量趋于有限值时函数的极限 通俗定义 如果当 x 无限接近于 x0 函数 f x 的值无限接近于常数 A 则称当 x 趋于 x0 时 f x 以 A 为极限 记作 f x A 或 f x A 当 x 0 lim xx 0 x 分析分析 在 x x0的过程中 f x 无限接近于 A 就是 f x A 能任意小 或者说 在 x 与 x0 接近到一定程度 比如 x x0 为某一正数 时 f x A 可以小于任意给定的 小的 正数 即 f x A 反之 对于任意给定的正数 如果 x 与 x0接近到一定程度 比如 x x0 为某一正数 就有 f x A 则能保证当 x x0时 f x 无限接近于 A 定义定义 1 设函数 f x 在点 x0的某一去心邻域内有定义 如果存在常数 A 对于任意给定 的正数 不论它多么小 总存在正数 使得当 x 满足不等式 0 x x0 时 对应的函数 值 f x 都满足不等式 f x A 那么常数 A 就叫做函数 f x 当 x x0时的极限 记为 或 f x A 当 x x0 Axf xx lim 0 定义的简单表述 0 0 当 0 x x0 时 f x A Axf xx lim 0 函数极限的几何意义函数极限的几何意义 例 1 证明 cc xx 0 lim 证明 这里 f x A c c 0 因为 0 可任取 0 当 0 x x0 时 有 f x A c c 0 所以 cc xx 0 lim 高等数学教案高等数学教案 第一章 函数与极限 例 2 证明 0 0 limxx xx 分析 f x A x x0 因此 0 要使 f x A 只要 x x0 证明 因为 0 当 0 x x0 时 有 f x A x x0 所以 0 0 limxx xx 例 3 证明 1 12 lim 1 x x 分析 f x A 2x 1 1 2 x 1 0 要使 f x A 只要 2 1 x 证明证明 因为 0 2 当 0 x 1 时 有 f x A 2x 1 1 2 x 1 2 所以 1 12 lim 1 x x 例 4 证明 2 1 1 lim 2 1 x x x 分析 注意函数在 x 1 是没有定义的 但这与函数在该点是否有极限并无关系 当 x 1 时 f x A x 1 0 要使 f x A 只要 x 1 2 1 1 2 x x 证明证明 因为 0 当 0 x 1 时 有 f x A x 1 2 1 1 2 x x 所以 2 1 1 lim 2 1 x x x 单侧极限单侧极限 若当 x x0 时 f x 无限接近于某常数 A 则常数 A 叫做函数 f x 当 x x0时的左极限 记为或 f A Axf xx lim 0 0 x 若当 x x0 时 f x 无限接近于某常数 A 则常数 A 叫做函数 f x 当 x x0时的右极限 记为或 f A Axf xx lim 0 0 x 讨论 1 左右极限的 定义如何叙述 2 当 x x0时函数 f x 的左右极限与当 x x0时 函数 f x 的极限之间的关系怎样 提示 左极限的 定义 0 0 x x0 x x0 有Axf xx lim 0 f x A 0 0 x x0 x x0 有Axf xx lim 0 y y x 1 1 1 y x 1 x 高等数学教案高等数学教案 第一章 函数与极限 f x A X 时 对应的函数数值 f x 都满足不等式 f x A 则常数 A 叫做函数 f x 当 x 时的极限 记为 或 f x A x Axf x lim 0 X 0 当 x X 时 有 f x A Axf x lim 类似地可定义 和 Axf x limAxf x lim 结论结论 且 Axf x limAxf x limAxf x lim 极限的定义的几何意义Axf x lim y f x A A X O X x y A 高等数学教案高等数学教案 第一章 函数与极限 例 6 证明 0 1 lim xx 分析分析 0 要使 f x A 只要 1 0 1 xx Axf 1 x 证明证明 因为 0 当 x X 时 有 0 1 X 1 0 1 xx Axf 所以 0 1 lim xx 直线 y 0 是函数的水平渐近线 x y 1 一般地 如果 则直线 y c 称为函数 y f x 的图形的水平渐近线 cxf x lim 二 函数极限的性质二 函数极限的性质 定理定理 1 函数极限的唯一性函数极限的唯一性 如果极限存在 那么这极限唯一 lim 0 xf xx 定理定理 2 函数极限的局部有界性函数极限的局部有界性 如果 f x A x x0 那么存在常数 M 0 和 使得当 0 x x0 时 有 f x M 证明 因为 f x A x x0 所以对于 1 0 当 0 x x0 时 有 f x A 1 于是 f x f x A A f x A A 1 A 这就证明了在 x0的去心邻域 x 0 x x0 内 f x 是有界的 定理定理 3 函数极限的局部保号性函数极限的局部保号性 如果 f x A x x0 而且 A 0 或 A 0 那么存在常数 0 使当 0 x x0 时 有 f x 0 或 f x 0 证明 就 A 0 的情形证明 因为 所以对于 0 当 0 x x0 时 有Axf xx lim 0 2 A 0 2 A Axf 2 xf A A 2 A xf 定理定理 3 如果 f x A x x0 A 0 那么存在点 x0的某一去心邻域 在该邻域内 有 2 1 Axf 推论推论 如果在 x0的某一去心邻域内 f x 0 或 f x 0 而且 f x A x x0 那么 A 0 或 A 0 高等数学教案高等数学教案 第一章 函数与极限 证明 设 f x 0 假设上述论断不成立 即设 A 0 那么由定理 1 就有 x0的某一去心邻 域 在该邻域内 f x 0 这与 f x 0 的假定矛盾 所以 A 0 定理 4 函数极限与数列极限的关系 如果当 x x0时 f x 的极限存在 xn 为 f x 的定义域内任一收敛于 x0的数列 且满足 xn x0 n N 那么相应的函数值数列 f x n 必收敛 且 lim lim 0 xfxf xx n n 证明 设 f x A x x0 则 0 0 当 0 x x0 时 有 f x A 又因为 xn x0 n 故对 0 N N 当 n N 时 有 xn x0 由假设 xn x0 n N 故当 n N 时 0 x n x 0 从而 f x n A 即 lim lim 0 xfxf xx n n 高等数学教案高等数学教案 第一章 函数与极限 1 4 无穷小与无穷大无穷小与无穷大 一 无穷小一 无穷小 如果函数 f x 当 x x0 或 x 时的极限为零 那么称函数 f x 为当 x x0 或 x 时 的无穷小 特别地 以零为极限的数列 xn 称为 n 时的无穷小 例如 因为 所以函数为当 x 时的无穷小 0 1 lim xxx 1 因为 所以函数为 x 1 当 x 1 时的无穷小 0 1 lim 1 x x 因为 所以数列 为当 n 时的无穷小 0 1 1 lim nn1 1 n 讨论讨论 很小很小的数是否是无穷小 0 是否为无穷小 提示 无穷小是这样的函数 在 x x0 或 x 的过程中 极限为零 很小很小的数只 要它不是零 作为常数函数在自变量的任何变化过程中 其极限就是这个常数本身 不会 为零 无穷小与函数极限的关系 定理定理 1 在自变量的同一变化过程 x x0 或 x 中 函数 f x 具有极限 A 的充分必要 条件是 f x A 其中 是无穷小 证明 设 0 0 使当 0 x x0 时 有Axf xx lim 0 f x A 令 f x A 则 是 x x0时的无穷小 且 f x A 这就证明了 f x 等于它的极限 A 与一个无穷小 之和 反之 设 f x A 其中 A 是常数 是 x x0时的无穷小 于是 f x A 因 是 x x0时的无穷小 0 0 使当 0 x x0 有 或 f x A 这就证明了 A 是 f x 当 x x0时的极限 简要证明 令 f x A 则 f x A 如果 0 0 使当 0 x x0 有 f x A 就有 反之如果 0 0 使当 0 x x0 有 就有 f x A 这就证明了如果 A 是 f x 当 x x0时的极限 则 是 x x0时的无穷小 如果 是 x x0时的无穷小 则 A 是 f x 当 x x0时的极限 高等数学教案高等数学教案 第一章 函数与极限 类似地可证明 x 时的情形 例如 因为 而 所以 33 3 2 1 2 1 2 1 xx x 0 2 1 lim 3 xx2 1 2 1 lim 3 3 x x x 二 无穷大二 无穷大 如果当 x x0 或 x 时 对应的函数值的绝对值 f x 无限增大 就称函数 f x 为当 x x0 或 x 时的无穷大 记为 或 lim 0 xf xx limxf x 应注意的问题应注意的问题 当 x x0 或 x 时为无穷大的函数 f x 按函数极限定义来说 极限 是不存在的 但为了便于叙述函数的这一性态 我们也说 函数的极限是无穷大 并记 作 或 lim 0 xf xx limxf x 讨论讨论 无穷大的精确定义如何叙述 很大很大 的数是否是无穷大 提示 M 0 0 当 0 x lim 0 xf xx 时 有 f x M 0 x 正无穷大与负无穷大 lim 0 xf x xx lim 0 xf x xx 例 2 证明 1 1 lim 1xx 证 因为 M 0 当 0 x 1 时 有 M 1 M x 1 1 所以 1 1 lim 1xx 提示 要使 只要 M xx 1 1 1 1 M x 1 1 铅直渐近线铅直渐近线 如果 则称直线是函数 y f x 的图形的铅直渐近线 lim 0 xf xx 0 xx 高等数学教案高等数学教案 第一章 函数与极限 例如 直线 x 1 是函数的图形的铅直渐近线 1 1 x y 定理定理 2 无穷大与无穷小之间的关系 在自变量的同一变化过程中 如果 f x 为无穷大 则为无穷小 反之 如果 f x 为无穷小 且 f x 0 则为无穷大 1 xf 1 xf 简要证明 如果 且 f x 0 那么对于 0 当 0 x 时 0 lim 0 xf xxM 1 0 x 有 由于当 0 x 时 f x 0 从而 M xf 1 0 x M xf 1 所以为 x x0时的无穷大 1 xf 如果 那么对于 0 当 0 x 时 lim 0 xf xx 1 M 0 x 有 即 所以为 x x 时的无穷小 1 Mxf 1 xf 简要证明 如果 f x 0 x x0 且 f x 0 则 0 0 当 0 x x0 时 有 f x 即 所以 f x x x0 如果 f x x x0 则 M 0 0 当 0 x x0 时 有 f x M 即 所以 f x 0 x x0 高等数学教案高等数学教案 第一章 函数与极限 1 6 极限运算法则极限运算法则 定理定理 1 有限个无穷小的和也是无穷小 例例如 当 x 0 时 x 与 sin x 都是无穷小 x sin x 也是无穷小 简要证明 设 及 是当 x x0时的两个无穷小 则 0 1 0 及 2 0 使当 0 x x0 1 时 有 当 0 x x0 2 时 有 取 min 1 2 则当 0 x x0 时 有 2 这说明 也是无穷小 证明 考虑两个无穷小的和 设 及 是当 x x0时的两个无穷小 而 任意给定的 0 因为 是当 x x0时的无穷小 对于 0 存在着 1 0 当 0 x 2 x0 1时 不等式 2 成立 因为 是当 x x0时的无穷小 对于 0 存在着 2 0 当 0 x x0 2时 不等式 2 2 成立 取 min 1 2 则当 0 x x0 时 及 2 2 同时成立 从而 这就证时了 也是当 x x0时的无穷小 2 2 定理定理 2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 简要证明 设函数 u 在 x0的某一去心邻域 x 0 x x0 1 内有界 即 M 0 使当 0 x x0 1时 有 u M 又设 是当 x x0时的无穷小 即 0 存在 2 0 使当 0 x x0 时 有 取 min 1 2 则当 0 x x0 时 有 u M 这说明 u 也是无穷小 例如 当 x 时 是无穷小 arctan x 是有界函数 所以arctan x 也是无穷小 x 1 x 1 推论推论 1 常数与无穷小的乘积是无穷小 推论推论 2 有限个无穷小的乘积也是无穷小 高等数学教案高等数学教案 第一章 函数与极限 定理定理 3 如果 lim f x A lim g x B 那么 1 lim f x g x lim f x lim g x A B 2 lim f x g x lim f x lim g x A B 3 B 0 B A xg xf xg xf lim lim lim 证明 1 因为 lim f x A lim g x B 根据极限与无穷小的关系 有 f x A g x B 其中 及 为无穷小 于是 f x g x A B A B 即 f x g x 可表示为常数 A B 与无穷小 之和 因此 lim f x g x lim f x lim g x A B 推论推论 1 如果 lim f x 存在 而 c 为常数 则 lim c f x c lim f x 推论推论 2 如果 lim f x 存在 而 n 是正整数 则 lim f x n lim f x n 定理定理 4 设有数列 xn 和 yn 如果 Axn n limByn n lim 那么 1 BAyx nn n lim 2 BAyx nn n lim 3 当 n 1 2 且 B 0 时 0 n y B A y x n n n lim 定理定理 5 如果 x x 而 lim x a lim x b 那么 a b 例例 1 求 12 lim 1 x x 解解 11121lim21lim2lim 12 lim 1 1 1 1 xxx xxxx 讨论 若 则 nn nn axaxaxaxP 1 1 10 lim 0 xP xx 提示 n xx n xx n xx n xxxx axaxaxaxP 00000 lim lim lim lim lim 1 1 10 n xxxx n n xx n xx axaxaxa 0000 limlim lim lim 1 1 10 a0 x0n a1x0n 1 an P x0 lim lim 1 10 00 n n xx n xx axaxa 高等数学教案高等数学教案 第一章 函数与极限 若 则 n nn axaxaxP 1 10 lim 0 0 xPxP xx 例例 2 求 35 1 lim 2 3 2 xx x x 解解 35 lim 1 lim 35 1 lim 2 2 3 2 2 3 2 xx x xx x x x x 3limlim5lim 1limlim 22 2 2 2 3 2 xxx xx xx x 325 lim 1 lim 2 2 3 2 x x x x 3 7 3102 12 2 3 提问 如下写法是否正确 35lim 1lim 35 1 lim 2 2 3 2 2 3 2 xx x xx x x x x3 7 3102 12 2 3 35 lim 1 lim 35 1 lim 2 2 3 2 2 3 2 xx x xx x x x x3 7 3102 lim 12 lim 2 2 3 2 x x 例例 3 求 9 3 lim 2 3 x x x 解解 3 1 lim 3 3 3 lim 9 3 lim 3 3 2 3 xxx x x x xxx 6 1 3 lim 1lim 3 3 x x x 例例 4 求 45 32 lim 2 1 xx x x 解解 0 312 4151 32 45 lim 22 1 x xx x 根据无穷大与无穷小的关系得 45 32 lim 2 1 xx x x 提问 如下写法是否正确 0 1 45 lim 32 lim 45 32 lim 2 1 1 2 1xx x xx x x x x 讨论讨论 有理函数的极限 lim 0 xQ xP xx 提示 高等数学教案高等数学教案 第一章 函数与极限 当时 0 0 xQ lim 0 0 0 xQ xP xQ xP xx 当且时 0 0 xQ0 0 xP lim 0 xQ xP xx 当 Q x0 P x0 0 时 先将分子分母的公因式 x x0 约去 例例 5 求 357 243 lim 23 23 xx xx x 解解 先用 x3 去除分子及分母 然后取极限 7 3 35 7 24 3 lim 357 243 lim 3 3 23 23 xx xx xx xx xx 例例 6 求 52 123 lim 23 2 xx xx x 解解 先用 x3 去除分子及分母 然后取极限 0 2 0 51 2 123 lim 52 123 lim 3 32 23 2 xx xxx xx xx xx 例例 7 求 123 52 lim 2 23 xx xx x 解解 因为 所以0 52 123 lim 23 2 xx xx x 123 52 lim 2 23 xx xx x 讨论讨论 有理函数的极限 lim 1 10 1 10 m mm n nn xbxbxb axaxa 提示 mn mn b a mn bxbxb axaxa m mm n nn x 0 lim 0 0 1 10 1 10 例例 8 求 x x x sin lim 解解 当 x 时 分子及分母的极限都不存在 故关于商的极限的运算法则不能应用 高等数学教案高等数学教案 第一章 函数与极限 因为 是无穷小与有界函数的乘积 x xx x sin 1sin 所以 0 sin lim x x x 定理定理 8 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则 设函数 y f g x 是由函数 y f u 与函数 u g x 复合 而成 f g x 在点 x0的某去心邻域内有定义 若 且在 x0的某去 0 lim 0 uxg xx Auf uu lim 0 心邻域内 g x u 0 则 Aufxgf uuxx lim lim 00 定理定理 8 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则 设函数 y f g x 是由函数 y f u 与函数 u g x 复合 而成 f g x 在点 x0的某去心邻域内有定义 若 g x u0 x x0 f u A u u0 且在 x0的 某去心邻域内 g x u0 则 Aufxgf uuxx lim lim 00 简要证明 设在 x 0 x x0 0 内 g x u0 要证 0 0 当 0 x x0 时 有 f g x A 因为 f u A u u0 所以 0 0 当 0 u u0 时 有 f u A 又 g x u0 x x0 所以对上述 0 1 0 当 0 x x0 1时 有 g x u0 取 min 0 1 则当 0 x x0 时 0 g x u0 从而 f g x A f u A 注注 把定理中换成或 0 lim 0 uxg xx lim 0 xg xx limxg x 而把换成可类似结果 Auf uu lim 0 Auf u lim 把定理中 g x u0 x x0 换成 g x x x0 或 g x x 而把 f u A u u0 换成 f u A u 可类似结果 例如 例 9 求 3 9 lim 2 3 x x x 解 是由与复合而成的 3 9 2 x x yuy 3 9 2 x x u 因为 所以 6 3 9 lim 2 3 x x x 6lim 3 9 lim 6 2 3 u x x ux 高等数学教案高等数学教案 第一章 函数与极限 1 7 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限 准则准则 I 如果数列 xn yn 及 zn 满足下列条件 1 yn xn zn n 1 2 3 2 ayn n limazn n lim 那么数列 xn 的极限存在 且 axn n lim 证明 因为 以根据数列极限的定义 0 N 1 0 当 n N 1时 ayn n limazn n lim 有 y n a 又 N 2 0 当 n N 2时 有 z n a 现取 N max N 1 N 2 则当 n N 时 有 y n a z n a 同时成立 即 a yn a a z n a 同时成立 又因 yn xn zn 所以当 n N 时 有 a yn x n z n a 即 x n a 这就证明了 axn n lim 简要证明 由条件 2 0 N 0 当 n N 时 有 y n a 及 z n a 即有 a yn a a z n a 由条件 1 有 a y n x n z n a 即 x n a 这就证明了 axn n lim 准则准则 I 如果函数 f x g x 及 h x 满足下列条件 1 g x f x h x 2 lim g x A lim h x A 那么 lim f x 存在 且 lim f x A O C A DB 1 x 高等数学教案高等数学教案 第一章 函数与极限 注 如果上述极限过程是 x x0 要求函数在 x0的某一去心邻域内有定义 上述极限过 程是 x 要求函数当 x M 时有定义 准则 I 及准则 I 称为夹逼准则 下面根据准则 I 证明第一个重要极限重要极限 1 sin lim 0 x x x 证明 首先注意到 函数对于一切 x 0 都有定义 参看附图 图中的圆为单位圆 x xsin BC OA DA OA 圆心角 AOB x 0 x 显然 sin x CB x tan x AD 因为 2 AB S AOB S扇形 AOB S AOD 所以 sin x x tan x 2 1 2 1 2 1 即 sin x x tan x 不等号各边都除以 sin x 就有 xx x cos 1 sin 1 或 1 sin cos x x x 注意此不等式当 x 0 时也成立 而 根据准则 I 2 1coslim 0 x x 1 sin lim 0 x x x 简要证明简要证明 参看附图 设圆心角 AOB x 2 0 x 显然 BC AB AD 因此 sin x x tan x 从而 此不等式当 x 0 时也成立 1 sin cos x x x 因为 根据准则 I 1coslim 0 x x 1 sin lim 0 x x x 应注意的问题 在极限中 只要 x 是无穷小 就有 sin lim x x 1 sin lim x x 这是因为 令 u x 则 u 0 于是 sin lim x x 1 sin lim 0 u u u x 0 1 sin lim 0 x x x 1 sin lim x x 例例 1 求 x x x tan lim 0 高等数学教案高等数学教案 第一章 函数与极限 解解 x x x tan lim 0 xx x xcos 1sin lim 0 1 cos 1 lim sin lim 00 xx x xx 例例 2 求 2 0 cos1 lim x x x 解解 2 0 cos1 lim x x x 2 2 0 2 2 0 2 2 sin lim 2 1 2 sin2 lim x x x x xx 2 1 1 2 1 2 2 sin lim 2 1 2 2 0 x x x 2 1 1 2 1 2 2 sin lim 2 1 2 2 0 x x x 准则准则 II 单调有界数列必有极限 如果数列 x n 满足条件 x 1 x 2 x 3 x n x n 1 就称数列 x n 是单调增加的 如果数列 x n 满足条件 x 1 x 2 x 3 x n x n 1 就称数列 x n 是单调减少的 单调增加和单调减少数列统称为单调数列 如果数列 x n 满足条件 x n x n 1 n N 在第三节中曾证明 收敛的数列一定有界 但那时也曾指出 有界的数列不一定收敛 现在准则 II 表明 如果数列不仅有界 并且是