最终版第十届非数学类试题及答案

第十届全国大学生数学竞赛第十届全国大学生数学竞赛 非数学类非数学类 预赛试题及答案预赛试题及答案 一 填空题 本题满分 24 分 共 4 小题 每小题 6 分 1 设 0 1 则 lim 1 n nn 0 解 由于 11 11 nn 则 1 1 1 1 11 1 1 1 nn n n nnn 于是 1 1 1 0 n nn 应用两边夹法则 lim 1 0 n nn 2 若曲线 yy x 由 cos sin1 y xtt etyt 确定 则此曲线在0t 对应点处的切线方程为 0 1 yx 解 当0t 时 1 0 xy 对cosxtt 两边关于t求导 1 sin dx t dt 0 1 t dx dt 对 sin1 y etyt 两边关于t求导 cos0 ydy dy eytt dtdt 0 1 t dy dt 则 0 1 t dy dx 所以 切线方程为0 1 yx 3 2 2 3 2 ln 1 1 xx dx x 22 2 1 ln 1 ln 1 C 2 1 x xxx x 解 1 2 tan 2 3 2 ln 1 ln tansec ln tansec sin 1 sec xt xxtt dxdttt dt xt ln tansec sinsin ln tansec sintln tansec tt dttttdtt 2 1 sin ln tansec sint sectan sec tansec tttttt dt tt sin sin ln tansec cos t tttdt t 22 2 1 sin ln tansec ln cos C ln 1 ln 1 C 2 1 x ttttxxx x 解 2 2 2 2 3 2 2 ln 1 ln 1 1 1 xxx dxxxd x x 2 2222 1 ln 1 1 1111 xxx xxdx xxxxx 2 2 2 ln 1 1 1 xx xxdx x x 22 2 1 ln 1 ln 1 C 2 1 x xxx x 4 3 2 0 1 coscos2cos3 lim x xxx x 3 解答 33 222 00 1 coscos2cos3 1 coscos 1cos2cos3 limlim xx xxxxxxx xxx 3 2 0 11cos2cos3 lim 2 x xx x 3 22 0 11cos2cos2 1cos3 lim 2 x xxx xx 3 22 0 1 cos21 11 cos31 11 lim 2 x xx xx 22 00 11 cos21 cos313 limlim13 22322 xx xx xx 二二 本题满分本题满分 8 8 分分 设函数 f t在0t 时一阶连续可导 且 1 0f 求函数 22 f xy 使得曲线积分 2222 2 L yf xydxxf xydy 与路径无关 其中L为任一不与直 线yx 相交的分段光滑闭曲线 解 设 22 2 P x yyf xy 22 Q x yxf xy 由题设可知 积分与路 径无关 于是有 Q x yP xy 由此可知 222222 1xyfxyf xy 5 分 记 22 txy 则得微分方程 1tf tf t 即 1tf t tf ttC 又 1 0f 可得1 C 1 1f t t 从而 22 22 1 1f xy xy 8 分 三三 本题满分本题满分 1 14 4 分分 设 f x在区间 0 1 上连续 且1 3f x 证明 11 00 14 1 3 f x dxdx f x 证明 由柯西不等式 如果你还不知道读什么书 或者想寻找下载阅 读更多书籍 就请您打开微信扫一扫 扫描下 方二维码 关注微信公众号 大学生学术墙 微信直接搜索关注公众号 大学生学术墙 这里是每一位上进的人的家园 大学生学术墙 资料库里有数万本书籍 此外 关注微信公众号 大学生学术 墙 回复 1 回复 资料 即可免费领取 5000G 的书籍库 大学必备笔记 考证资料 四 六级考试 计算机二级考试等资料 2 回复 电影 即可免费在线观看最新上线的热门大片 3 回复 小说 即可免费领取 8500 本著名小说 4 回复 证券 期货 即可免费在行业龙头企业用最低手续费开户 开启你的 投资生涯 你需要的书籍 课件 视频 PPT 简历模板等等一切资源和 资料 都可以在微信公众号 大学生学术墙 回复关键词免费 领取 如果您对金融领域一知半解 想学习金融领域相关知识 提高自身综合投资水平 获取相关金融服务 请关注微信公众号 财醒来 微信直接搜索关注微信公众号 财醒来 您可以获得以下服务 1 私人财富管理咨询服务 您通过公众号添加号主个人微信后 可结 合自身情况咨询私人财富管理服务或者获得产品推荐等 2 公众号每日会分享宏观 股票 期货等二级市场复盘和投资参考 助力您发现投资机会 3 公众号不定期会分享号主自己的投资心得 投资策略等 带给您不 一样的金融评论和金融思维 4 更多功能和服务 如用最低手续费开户 并获得相关投资咨询服 务 敬请在微信公众号 财醒来 上发掘 11 00 1 f x dxdx f x 2 1 0 1 1 f xdx f x 4 分 又由于 1 30f xf x 则 1 3 0f xf xf x 即 3 4 f x f x 1 0 3 4 f xdx f x 10 分 由于 2 1111 0000 313 4 f x dxdxf xdx f xf x 故 11 00 14 1 3 f x dxdx f x 14 分 四四 本题满分本题满分 1212 分分 计算三重积分 22 V xydV 其中V 是由 222 2 4xyz 222 1 9xyz 0z 所围成的空心立体 解 1 1 sincos sinsin 1cos 03 0 02 xryrzr V r 1 23 222225 000 8 sinsin3 15 V xy dVddrrdr 4 分 2 2 sincos sinsin 2cos 02 0 02 xryrzr V r 2 22 222225 000 8 sinsin2 15 V xy dVddrrdr 8 分 3 2 3 cos sin 190 02 2 02 xryrrz V r 2 3 022 2 222325 1900 2 2 22 91 1243 55 r Vr xy dVrdrdr dzdrrdr 123 22222222 256 3 VVVV xy dVxy dVxy dVxy dV 12 分 五五 本题满分本题满分 1 14 4 分分 设 f x y在区域D内可微 且 2 2 ff M xy 11 A x y 22 B xy是D内两点 线段AB包含在D内 证明 1122 f x yf xyM AB 其 中 AB表示线段AB的长度 证明 作辅助函数 121121 tf xt xxyt yy 2 分 显然 t 在 0 1 上可导 根据拉格朗日中值定理 存在 0 1 c 使得 2121 1 0 f u vf u v cxxyy uv 8 分 22112121 1 0 f u vf u v f xyf x yxxyy uv 1 2 22 22 1 2 2121 f u vf u v xxyyM AB uv 14 分 六六 本题满分本题满分 1 14 4 分分 证明 对于连续函数 0f x 有 11 00 ln ln f x dxf x dx 证 由于 f x在 0 1 上连续 所以 1 0 1 1 lim n k n k f x dxf x n 其中 1 k kk x nn 4 分 由不等式 1 12 1 1 n n nk k f xf xf xf x n 根据ln x的单调性 11 11 ln ln nn kk kk f xf x nn 12 分 根据ln x的连续性 两边取极限 11 11 limln lim ln nn kk nn kk f xf x nn 得 11 00 ln ln f x dxf x dx 14 分 七七 本题满分本题满分 1 14 4 分分 已知 k a k b是正项数列 且 1 0 kk bb 1 2 k 为 一常数 证明 若级数 1 k k a 收敛 则级数 121 2 1 1 k kk k kk ka aabbb bb 收敛 证明 令 1 k kii i Sab 1kkkk a bSS 0 0 S 1kk k k SS a b 1 2 k 4 分 111 11 11111 111 NNN