大学概率论习题五详解

1 概率论习题五详解概率论习题五详解 1 1 设为离散型的随机变量 且期望 方差均存在 证明对任意 都有XEXDX0 2 DX EXXP 证明 设 则 ii pxXP 2 1 i EXx i i xXPEXXP i EXx i p EXx i 2 2 i i i p EXx 2 2 2 DX 2 2 设随机变量和的数学期望都是2 方差分别为1和4 而相关系数为0 5 请利用切XY 比雪夫不等式证明 12 1 6 YXP 证 0 YXE 1 cov DXDYYX 325 cov2 YXDYDXYXD 12 1 6 66 2 YXD YXEYXPYXP 3 一枚均匀硬币要抛多少次才能使正面出现的频率与0 5之间的偏差不小于0 04的概率 不超过0 01 解设为 次抛硬币中正面出现次数 按题目要求 由切比雪夫不等式可得 n Xn 01 0 04 0 5 05 0 04 0 5 0 2 nn X P n 从而有 15625 04 0 01 0 25 0 2 n 即至少连抛15625次硬币 才能保证正面出现频率与0 5的偏差不小于0 04的概率不超过 0 01 4 每名学生的数学考试成绩是随机变量 已知 1 试用切比X80 EX25 DX 雪夫不等式估计该生成绩在70分到90分之间的概率范围 2 多名学生参加数学考试 要使 他们的平均分数在75分到85分之间的概率不低于90 至少要有多少学生参加考试 解 1 由切比雪夫不等式 2 1 DX EXXP 0 又 101090709070 EXXPEXEXXEXPXP 75 0 100 25 11080 XP 即该生的数学考试成绩在70分到90分之间的概率不低于75 2 设有个学生参加考试 独立进行 记第 个学生的成绩为 则平均成ni i X nii 2 绩为 又 n i i X n X 1 1 80 1 1 n i i EX n XE n DX n XD 251 QQ374289236 2 则由切比雪夫不等式可得 n n n XPXP 1 5 25 1 15808575 2 要使上述要求不低于90 只需 解得 即有10个以上的学生参加考试 就9 0 1 n n 10 n 可以达到要求 5 5 设800台设备独立的工作 它们在同时发生故障的次数 现由2名维 01 0 800 BX 修工看管 求发生故障不能及时维修的概率 解 iii i CXPXP 800 800 2 0 99 0 01 0 1212 在二项分布表 附表1 中不能查出 使用正态分布近似计算 8 np 若使用正态分布近似计算 X 近似 92 7 8N 9834 0 132 2 132 2 92 7 8 1212 X PXPXP 6 6 对于一个学生而言 来参加家长会的家长人数是一个随机变量 设一个学生无家长来 有1名家长来 有2名家长来参加会议的概率分别为0 05 0 8 0 15 若学校共有400名学生 设每个学生参加会议的家长数相互独立且服从同一分布 求 1 参加会议的家长数超过X 450的概率 2 每个学生有一名家长来参加会议的学生数不多于340的概率 解 1 以 表示第 个学生来参加会议的家长数 则的分布律为 i X 400 2 1 ii i X i X012 i p0 050 80 15 所以 1 1 i EX19 0 i DX400 2 1 i 而 400 1i i XX 由中心极限定理知 76 440 NX 近似 1257 0 147 1 1450 XP 2 以表示每个学生有一名家长来参加会议的个数 则Y 8 0 400 BY 由中心极限定理知 64 320 NY 近似 则 9938 0 5 2340 YP 7 射手打靶得10分的概率为0 5 得9分的概率为0 3 得8分 7分和6分的概率分别0 1 0 05和0 05 若此射手进行100次射击 至少可得950分的概率是多少 解 设为射手第 次射击的得分 则有 i Xi i X 109876 i p 0 50 30 10 050 05 且 100 1i i XX15 9 i EX95 84 2 EX2275 1 DX 由中心极限定理得 QQ374289236 3 0008 0 159 3 1 2275 1 100 915950 1950 100 1 i i XP 8 某产品的不合格率为0 005 任取10000件中不合格品不多于70件的概率为多少 解 依题意 10000件产品中不合格品数 由 005 0 10000 BX50 np 故可用二项分布的正态近似 所求概率为 51 pn 9977 0 8355 2 005 0 150 5070 70 XP 9 某厂生产的螺丝钉的不合格品率为0 01 问一盒中应装多少只螺丝钉才能使盒中含有 100只合格品的概率不小于0 95 解 设 为一盒装有的螺钉数 其中合格品数记为 则有 该题要求nX 99 0 nBX 使得下述概率不等式成立 n 或 95 0 100 XP 05 0 100 XP 利用二项分布的正态近似 可得 645 1 05 0 0099 0 99 0 100 n n 因此 nn0099 0 645 1 99 0 100 解得 19 103 n 这意味着 每盒应装104只螺钉 才能使每盒含有100只合格品的概率不小于0 95 B B 1 为确定一批产品的次品率要从中抽取多少个产品进行检查 使其次品出现的频率与实 际次品率相差小于0 1的概率不小于0 95 解 依题意 可建立如下概率不等式 95 0 1 0 PPP 其中是这实际的次品率 如抽取个产品则次品的频率 由中心极Pn n xxx P n 21 限定理 近似服从正态分布 P nnPPPN P1P 0N PP 1 或 从而有 975 0 2 95 0 1 1 1 0 PP n 查表可得 或 96 1 1 1 0 PP n PPn 1 6 19 由于未知 只得放大抽检量 用1 2代替 可得 P PP 18 9 n 可见 需抽查96个产品才能使其次品率与实际次品率相差0 1小于的概率不小于96 n 0 95 2 假设批量生产的某产品的优质品率为 60 求在随机抽取的 200 件产品中有 120 到 150 件优质品的概率 解解 记 随机抽取的 200 件产品中优质品的的件数 则服从二项分布 参数为 n n n 200 p 0 60 由于 n 200 充分大 故根据棣莫佛 拉普拉斯中心极48 1 120 pnpnp 限定理 近似地 QQ374289236 4 5 0 0 33 4 33 4 0 48 120150 48 120 0150120 1 0 48 120 1 n n n nn n U N pnp np U P PP 3 设随机变量服从参数为的泊松分布 是独立与同分布随机变量 X n XXX 21 X 证明 对任意 都有0 0 1