微积分试题7微信公众号大学生学术墙

1 微积分 试题及答案 微积分 试题及答案 一 选择题 每小题只有一个正确答案每小题只有一个正确答案 请把正确答案前的字母填入括号请把正确答案前的字母填入括号 每题每题 2 分分 共共 30 分分 1 函数 2 1 1 x f x x 的定义域是 1 1 1 1 1 1 1 ABCD 2 下列函数中 与 3 yx 关于直线yx 对称的函数是 33 3 3 AyxBxyCyxDxy 3 函数 2 1 4 y x 的渐近线有 不做不做 3 A 条 B 2条 C 1条 D 0条 4 若函数 f x在 有定义 下列函数中必是奇函数的是 32 AyfxByx f xCyf xfxDyfx 5 0 x 时 下列函数中 与x不是等价无穷小量的函数是 sin sin tan ln 1 AxBxxCxDx 6 若 2f xx 则点2x 是函数 f x的 A左连续点 B右连续点 C驻点 D极值点 7 当0 x 时 下列函数极限不存在的是 B 1 sin11 sin tan 1 x x ABxCDx xx e 8 极限 0 limln 1 x x x C 1 0 1 ABCD 不存在 9 设函数 f x在区间 内有二阶导数 且 0 xfxfx 若在 内 试题号一二三四总分 考分 阅卷人 QQ374289236 2 0fx 则函数 fx 在区间 内 C A单调不增 B单调不减 C单调增加 D单调减少 10 下列函数中在 上满足罗尔定理条件的是 D 22 2 1 3 2AxBCxDx x 11 若函数 f x在点 0 x处可导 则极限 0 00 3 lim 2 xx f xxf xx x D 0000 1 4 3 2 2 AfxBfxCfxDfx 12 下列极限中 极限值为e的是 11 0 0 1 lim 1 lim 1 lim 1 lim 1 xx xx xxx x AxBxCDx x 13 若 ln x y x 则dy 222 ln11lnln11ln xxxx ABCdxDdx xxxx 14 函数 2 f xx 在区间 内 满足拉格朗日中值定理的条件 其中 1121 4332 ABCD 15 若函数 f x在 内连续 则 2 x f x dx 2222 2 2 Axf xx fx dxBxf xx fxC x f x dxD x f x 二 计算题 每小题每小题 7 分 共分 共 56 分分 1 2 arccos1yxxx 求 y N 1 2 2 22 2 arccos 1 arccosarccos 12 1 xx yxxxxx xx 解 2 求 2 cossin32 x xxxedx 分 分 QQ374289236 3 解 原式 3 sincos2 x xxxexc 其中 c 是任意常数 3 求曲线 5100 1yxx y 在0 x 对应的点处的切线方程 解 0 x 时 代入方程得1y 方程两边对x求导得 4100599 151000yx yx y y 将01xy 与代入 得 0 1 1 x y y 故所求的切线方程为 1yx 即1yx 4 求极限 0 11 lim 1 x x xe 解 原式 000 111 lim limlim 1 12 xxx xxxxxx xxx exee x eexeeexe 5 设函数设函数 2 21 1 axx f x xbx 在在1x 处可导 求常数处可导 求常数a和和b 解 解 由已知由已知 f x在在1x 连续 且连续 且 2 11 11 lim lim 1 lim lim 2 2 xx xx f xxbb f xaxa 可得可得3ba 又因又因 f x在在1x 处可导 且处可导 且 22 111 1 232 1 limlimlim12 11 2 2 lim 1 xxx x xbaxaa fx xx axa fxa x 又得又得 分 分 分 分 分 分 分 分 分 分 0 0 0 0 QQ374289236 4 2a 代入代入 得得1b 故故21ab 6 求函数 2 ln 14 yx 的上凸区间 下凸区间与拐点 解 2 222 88 1 4 1 0 14 14 2 xx yyyx xx 令得 列表讨论如下 x1 2 1 2 11 22 1 2 1 2 y 0 0 y 拐点 1 ln2 2 拐点 1 ln2 2 7 求 1 21 x dx x 拆分和换元法的运用 1131 2222 31 22 1121111 21 22212121 112 21 21 21 21 21 21 443 1 21 21 2 xx d xd xxd x xxx xdxxdxxxc xxc 解 8 已知 2x xe是 2 fx的一个原函数 求 2 x x fe dx 2222 2 222 2222 22 2 2 12 1 1 22 1 1 2 1 2222 2 1 2 1 222 2 2 4 2 xxxx x u xxx xx xxxx xx fxxeexeex xx f ueufe xxxx fedxeedxedxde xxx eedeec x ecx ec 解 三 三 应用题 本题本题 10 分分 某厂生产一种化工产品 每年生产 x 吨的总成本为 2 4100000C xx 百元 该产品 分 分 分 4 分 6 分 7 分 分 QQ374289236 5 的需求函数为 2 100050 001xxp 其中x是需求量 单位 吨 p是价格 单位 百元 1 该产品产量为多少时工厂的利润最大 最大利润是多少 2 该产品获得最大利润时的边际成本和边际收入各是多少 解 1 2 100050 001pxx 32 0 0011000100000L xx pc xxxx 令 2 0 003210000L xxx 得驻点1000 x 1000 40 L 且驻点唯一 又 32 1000 0 0011000100000 900000 1000 Lxxx x 百元 故产量为 1000 吨时工厂利润最大 且最大利润为 9000 万元 2 因产品获得最大利润时 边际成本和边际收入相等 又 1000 8000 C 百元 吨 故获得最大利润时 该产品的边际成本和边际收入均为 百元 吨 四 证明题 本题本题 4 分分 设函数 f x在区间 0 c上连续 其导数 fx 在 0 c内存在且单调减少 又 0 0f 证明不等式 f abf af b 其中 a b是常数且满足 0ababc 证明 0a 时 0 0f f abf bf af b 0a 时 在区间 0 a和 b ab 上 f x满足拉格朗日定理条件 11 22 0 0 f aff a