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1 第二篇 振动与波 2 第五章波动 5 1机械波的产生和传播 弹性媒质和波源 机械波产生的条件 弹性媒质 相邻媒质质元间由弹性力互相联系 波源 作机械振动的振源 波源处质点的振动通过弹性介质中的弹性力 将振动传播开去 从而形成机械波 波动是振动状态的传播 是能量的传播 而不是质点的传播 机械振动在弹性媒质中的传播 一波及描述波的几个有关概念 1 机械波 3 1 质元并未 随波逐流 波的传播不是媒质质元的传播 2 上游 的质元依次带动 下游 的质元振动 4 软绳 软弹簧 在机械波中 横波只能在固体中出现 纵波可在气体 液体和固体中出现 空气中的声波是纵波 液体表面的波动情况较复杂 不是单纯的纵波或横波 横波 纵波 5 地震波 地震波从震源以弹性波的形式向四面八方传播 地震波在地球内部传播时称为体波 当它到达地表 即产生沿地表 界面 传播的波 称为面波 地震波在地球内部 体波 的传播有纵波 P波 和横波 S波 两种形式 并且纵波 P波 的传播速度比横波 S波 的传播速度快 前者的速度在地壳内是5km s 在地幔深处是14km s 而后者的速度是3km s 8km s 当地震发生时 如果人站在震源正上方的地面上 会感觉到先上下颠 纵波引起的感觉 然后横向摇 横波引起的感觉 地球內部地震波速度分布图 横波是地震时造成建筑物破坏的主要原因 发生较大的近震时 一般人们先感到上下颠簸 过数秒到十几秒后才感到有很强的水平晃动 6 地震的纵波和横波间的时间差 自救时间 日本 2004年 新潟县中越地震 在地震中 新干线发生了脱轨事故 这是日本新干线开通40年以来首次 为此日本舆论普遍对新干线应对地震等突发灾害时的安全性提出了质疑 地震时 纵波总是先到达地表 而横波总落后一步 这样 发生较大的近震时 一般人们先感到上下颠簸 过数秒到十几秒后才感到有很强的水平晃动 这一点非常重要 因为纵波给我们一个警告 告诉我们造成建筑物破坏的横波马上要到了 快点作出防备 据称日本新干线所采用的系统会让列车在地震发生时 利用地震的纵波和横波间的时间差自动停止运行 但是 由于此次新潟地震属于纵波和横波几乎同时到来的直下型浅源地震 因此在列车制动前地震就已袭来 日本新干线相关负责人对于此后如何应对仍未想出最好的办法 7 波线 沿波的传播方向作的一些带箭头的线 波线的指向表示波的传播方向 波阵面 在波动过程中 把振动相位相同的点连成的面 简称波面 波前 在任何时刻 波面有无数多个 最前方的波面即是波前 波前只有一个 平面波 波面为平面 球面波 波面为球面 3 波阵面和波射线 平面波 球面波 8 9 波的特征 1 波是大量媒质质元的集体行为 单位时间内质点振动的次数 周期 频率 媒质中质点的振动周期 二波的特征量 波长波速频率振幅 2 波具有时间周期性 3 波具有空间周期性 10 沿波的传播方向 两个最邻近的振动状态相同的质元间的距离 称为波长 用表示 波长 1 一个完整波的长度 2 质元完成一次全振动的时间内 振动朝前传播的距离 3 位相差两点间距离 振动朝前传播的速度 质元的振动速度 波速 沿波的传播方向 各质元的相位依次落后 b点比a点的相位落后 重要结论 11 可以证明 对于柔软的绳索和弦线中横波波速为 T为绳索或弦线中张力 为质量线密度 细长的棒状媒质中纵波波速为 Y为媒质的杨氏弹性模量 为质量密度 机械波的传播速度完全取决于媒介质的弹性性质和密度 与频率 波长 振幅无关 12 5 2平面简谐波的波动方程 以横波为例说明平面简谐波的波动方程 已知O点振动方程 一波动方程的获得 平面简谐波的波动方程 13 也即p点的位相落后于O点相位 波源带动弹性媒质中与其相邻的质点发生振动 振动相继传播到后面各相邻质点 其振动时间和相位依次落后 平面简谐波的波动表式 14 沿x轴负方向传播的平面简谐波的表达式 O点简谐运动方程 由P点的振动得到波动表示式 沿波的传播方向 各质点振动时间和相位依次落后 15 1 A点的速度大于零 2 B点静止不动 3 C点向下运动 4 D点的振动速度小于零 请指出你认为是对的答案 以波速u沿X轴负向传播的简谐波t时刻的波形如下图 A点向下运动 y 0 速度小于零 D点向下运动 y 0 速度小于零 A B C D 16 例一 已知 解 17 解 18 二波动方程的物理意义 1 给定x 波动方程给出该处质元的振动方程 2 给定t 波动方程给出该时刻各质元离开平衡位置位移的分布情况 即该时刻的波形图 3 t和x都变 波动方程给出任意质元在任意时刻t的位移 即给出波形随时间而变化的情况 19 解 1 20 2 21 例 有一沿x轴正向传播的平面波 其波速为u 1m s 1 波长 0 04m 振幅A 0 03m 若以坐标原点恰在平衡位置而向负方向运动时作为开始时刻 试求 此平面波的波动表示式 解 1 设原点的振动方程为 其中A 0 03m T u 0 04 s 2 T 50 当t 0时 y0 0 因此 cos 0 原点的振动方程 平面波的波动表示式 由于质点速度小于零 所以 2 22 解 24 弹性波传播到介质中的某处 该处将具有动能和势能 在波的传播过程中 能量从波源向外传播 考虑棒中的体积 V 其质量为 m m V 当波动传播到该体积元时 将具有动能Wk和弹性势能Wp 平面简谐波 可以证明 5 3波的能量与能流 1 波的能量 体积元的总机械能 25 由动能 势能公式来看 波在传播过程中任一质元的动能和势能都随时间变化 且在同一时刻 位相相同 大小相等 既动能达到最大值时 势能也达到最大 动能为零时 势能也为零 a点 位移最大处 动能为零 没有形变 形变势能为零 b点 位移为零处 动能最大 形变最大 形变势能最大 讨论 介质质元 m V 的机械能 波动的能量与振动能量是有区别的 26 因为弹簧振子是保守孤立系统 而波的传播过程中 质元却与周围介质有相互作用 质元机械能不是常量 而是随时间作周期性变化 这与弹簧振子总的机械能是一常数不同 整个过程 介质不积累能量 所以波的传播过程也是能量的传播过程 质元能量由0逐渐增加为 m 2A2 表明该质元从外部吸收能量 由 m 2A2逐渐减少为0 表明该质元向外部输出能量 体积元的总机械能 27 能量密度 2 能量密度 单位体积媒质中波的能量 平均能量密度 28 能流在介质中垂直于波速方向取一面积S 在单位时间内通过S的能量 平均能流 平均能流密度 波的强度 通过与波传播方向垂直的单位面积的平均能流 用I来表示 即 3 波的强度 I的单位 瓦特 米2 W m 2 29 对于球面波 若介质不吸收能量 通过两球面的总能流相等 在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波在行进方向上振幅不变 球面波振幅与离波源的距离成反比 30 4 声波 按频率范围划分 次声波f 20Hz 声波20 f 20000Hz 超声波f 20000Hz 声强是声波的平均能流密度 即单位时间内通过垂直于声波传播方向的单位面积的声能量 痛觉阈 恰好能引起痛觉的最低声强 听觉阈 恰好能引起听觉的最低声强 声强的上下限值随频率而异 在1000Hz时 正常人听觉的最高声强为1W m2 最低声强为10 12W m2 将I0 10 12W m2作为测定声强的标准 声强级 单位为贝尔 bel 单位为分贝 dB 几种典型声音的声强级 细语 10dB 炮声的声强级 110dB 聚焦超声波的声强级 210dB 31 声波在理想气体中的传播速度 气体的摩尔质量 气体的比热容比T 气体的温度 K R 气体常量 对同种气体 在同一状态下 各种不同频率的声波传播速度相同 标准状态下空气中的声速 常温下 20 空气中的声速 声波在媒质中传播的速度 声速与媒质的特性和媒质的温度有关 声速 32 例 用聚焦超声波的方式 可以在液体中产生强度达120kW cm2的大振幅超声波 设波源作简谐振动 频率为500kHz 液体的密度为1g cm3 声速为1500m s 求这时液体质点振动的振幅 解因I uA2 2 2 所以 可见液体中声振动的振幅实际上是极小的 33 5 波的叠加与干涉驻波 前面我们仅讨论了一列波在介质传播的情况 如果有几列波同时在同一介质中传播时而又相遇会怎么样 波的独立传播定律 当几列波同时在同一介质中传播时 它们是各自独立地进行的 与其它波的存在与否无关 如乐队合奏 二重唱 空中无线电波很多 仍能分别接收各个电台 如果这几列波在空间某点处相遇 那么每一列波都将独立地保持自己原有的特性 频率 波长 振动方向等 传播 1 波的叠加 34 水滴圆形独立传播 春意盈盈 细雨绵绵 35 在几列波相遇处 质元的振动是各列波单独传播时在该处引起的振动的合成 2 波的叠加性 2 波的干涉 1 相干条件 振动方向相同 频率相同 相位相同或相位差恒定 相干波 满足相干条件的几列波称为相干波 能发出相干波的波源称为相干波源 36 2 1 s s 2 干涉的定量分析 两个相干波源波源S1和S2的振动方程分别为 S1和S2单独存在时 在P点引起的振动的方程为 P点的合振动方程为 振幅A 37 振幅A 合振幅最大 合振幅最小 若 10 20 上述条件简化为 合振幅最大 合振幅最小 波程差 波程差 38 因 若I1 I2 叠加后波的强度 同频率 同方向 相位差恒定的两列波 在相遇区域内 某些位置振动始终加强 另一些位置的振动始终减弱 强度在空间形成稳定分布 这一现象称为波的干涉 39 同频率 同方向 相位差恒定的两列波 在相遇区域内 某些位置振动始终加强 另一些位置的振动始终减弱 强度在空间形成稳定分布 这一现象称为波的干涉 40 例 两相干波源S1与S2相距5m 其振幅相等 频率都是100Hz 位相差为 波在媒质中的传播速度为400m s 1 试以S1S2连线为坐标轴x 以S1S2连线中点为原点 求S1S2间因干涉而静止的各点的坐标 解 已知 S2在其左侧产生的左行波的波动方程为 两个振动的相差为 设 S1在其右侧产生的右行波的波动方程为 41 当 2k 1 时 质点由于两波干涉而静止 静止点为x 2k k为整数 但必须使x的值在 l 2到l 2之间 即 2 5到2 5之间 当k 1 0和1时 可得静止点的坐标为x 2 0和2 m 两个振动的相差为 42 两列振幅相等的相干波 在同一直线上相向传播时所产生的干涉现象 三驻波 一种特殊的干涉现象 1驻波概念 设有两列相干波 分别沿X轴正 负方向传播 其表达式为 2驻波定量分析 1 驻波的表达式 驻波是干涉的特例 其合成波方程 驻波方程 为 43 简谐振动位相 简谐振动的振幅 它表示各点都在作简谐振动 各点振动的频率相同 是原来波的频率 但各点振幅随位置的不同而不同 44 波腹 波腹的位置为 波节的位置为 2 驻波的振幅分布 波节 45 相邻波腹间的距离为 相邻波节间的距离也为 46 3 驻波的位相 在波节两侧点的振动相位相反 结论 两个波节之间的点其振动相位相同 47 能量分布 4 驻波能量分布 波节体积元不动 始终动能Ek 0 1 其它各质点同时到达最大位移时 波腹及其它质点的动能Ek 0 波节处形变最大势能EP 最大 在波腹处相对形变最小 势能最小 波腹附近各点速度最大Ek 最大 波节及其它点无形变EP 0 2 其它各质点同时通过平衡位置时 平衡位置时 能量体现为动能 而动能集中在波腹附近 能量从波腹传到波节 又从波节传到波腹 往复循环 驻波的能量不作定向传播 其能量转移过程是动能与势能的相互转移以及波腹与波节之间的能量转移 所以驻波不传播能量 最大位移时 能量体现为势能 而势能集中在波节附近 48 驻波不传播能量 驻 字的三层含义 1 驻波波形不传播 2 驻波相位不传播 3 驻波不传播能量 驻波是媒质的一种特殊的运动状态 稳定态 这可从能流密度证明 因为能流密度等于平均能量密度乘波速 左行波与右行波能流密度之和为零 49 4 由入射波与反射波产生驻波 固定端反射 50 4 由入射波与反射波产生驻波 自由端反射 51 4 由入射波与反射波产生驻波 1 实验现象 52 由波密媒质入射在波疏媒质界面上反射 在界面处 形成驻波时 总是出现波腹 反射波的振动相位总是与入射波的振动相位相同 波阻 介质的密度和波速的乘积称为波阻 波阻较大的介质称为波密介质 波阻较小的介质称为波疏介质 2 理论分析 53 由波疏媒质入射在波密媒质界面上反射 在界面处 形成驻波时 总是出现波节 反射波的振动相位总是与入射波的振动相位相反 即差了 半波损失 折合成波程差 反射波 54 解 求驻波方程的关键是求反射波波动方程 并且要特别注意介面反射是否有半波损失 由y1 0 03cos 20 t x 得到 2m 或u 20m s 1 原点振动方程为 y0 0 03cos 20 t P 0点振动传到介面AB再反射到x处所通过的距离 介面反射有半波损失 反射波的波动方程 55 2 驻波方程 即 所以波腹位置是 56 例2 如图所示 一平面简谐波沿X轴正方向传播 BC为波密媒质的反射面 波由P点反射 OP 3 4 DP 6 在t 0时 O处质点的合振动是经过平衡位置向负方向运动 求D点处入射波与反射波的合振动方程 设入射波与反射波的振幅皆为A 频率为 解 设O为坐标原点 入射波方程为 则反射波的波动方程是 合成波的波动方程 驻波 为 57 在t 0时 x 0处质点y0 0 y0 t 0 所以 因此 D点处的合振动方程是 t 0时 O处质点的合振动是经过平衡位置向负方向运动 58 弦线长度等于半波长的整数倍时形成驻波 驻波条件 两端固定 4 弦线上的驻波 59 波源的频率是单位时间内波源振动的次数或发出的 完整波 的个数 波源媒质观察者有相对运动时 观察者接受到的频率不同于波源振动频率的现象 称为多普勒效应 5 6多普勒效应 二多普勒效应的分析与定量研究 观察者接受到的频率是观察者在单位时间内接受到的振动数或完整的波数 60 1 波源和观察者均相对于媒质静止 波源的振动频率 观察者测得的频率 两个相邻等相位面之间的距离是一个波长 观察者测得的频率 是单位时间内连续通过接收器的等相位面的数目 亦即单位时间内连续通过接收器的完整的波的个数 观察者测得的频率就是波源的振动频率 61 2 波源静止观察者向波源运动 波源的振动频率 观察者测得的频率 观察者每秒接收到的整波数 即观察者测得的频率为 观察者测得的频率是波源的振动频率的倍 如果波源静止观察者背离波源运动 观察者测得的频率为 频率升高 62 3 观察者静止 波源 相对于媒质 向观察者运动 先看一个普通现象 通过手的抖动 让绳子末端的小石头在水面边抖动边移动 它们所激起的水波的波阵面分布是一系列偏心圆 若在空气中有一个振动频率恒定的定向运动声源 它所激起的声波的波阵面分布 则是一系列偏心球面 63 S S运动的前方波长缩短 64 3 观察者静止 波源 相对于媒质 向观察者运动 波源的振动频率 观察者测得的频率 观察者测得的频率为 如果波源以速度VS离开观察者 观察者测得的频率为 运动的前方波长缩短 vST 频率升高 65 波源的振动频率 观察者测得的频率 4 观察者和波源同时相对于媒质运动 这时观察者每秒接收到的整波数 由观察者的运动和波源运动两种因素同时决定 观察者测得的频率为 当波源和观察者同时相向运动时 当波源和观察者同时相背运动时 66 多普勒效应 波源的振动频率 观察者测得的频率 相向运动 频率升高 背离运动 频率降低 67 多普勒效应也给目前为人们所普遍接受的 大爆炸宇宙学 提供了一定的证据 光波频率的变化使人感觉到是颜色的变化 如果恒星远离我们而去 则光的谱线就向红光方向移动 称为红移 如果恒星朝向我们运动 光的谱线就向紫光方向移动 称为蓝移 天文学家将来自星球的光谱与地球上相同元素的光谱比较 发现星球光谱几乎都发生红移 这说明星体都在远离地球向四面飞去 这一观察结果被 大爆炸 的宇宙学理论的倡导者视为其理论的重要证据 电磁波 例如 光波 也有多普勒效应 68 大爆炸宇宙学的观点 宇宙开始于一个密度无限大的 奇点 宇宙的爆炸是空间的膨胀 物质则随着空间膨胀 在宇宙的早期 温度极高 在100亿度以上 物质密度也相当大 宇宙间只有中子 质子 电子 光子和中微子等一些基本粒子形态的物质 但是因为整个体系在不断膨胀 结果温度很快下降 当温度降到10亿度左右时 中子开始失去自由存在的条件 它要么发生衰变 要么与质子结合成重氢 氦等元素 化学元素就是从这一时期开始形成的 温度进一步下降到100万度后 早期形成化学元素的过程结束 宇宙间的物质主要是质子 电子 光子和一些比较轻的原子核 当温度降到几千度时 宇宙间主要是气态物质 气体逐渐凝聚成气云 再进一步形成各种各样的恒星体系 成为我们今天看到的宇宙 69 当