电磁场与波简明教程课后答案_杨儒贵_刘运林_科技出版社.doc

本题解参照 课后习题答案(杨儒贵编著)(第二版) 场波指导书请勿用于商业用途缺第二章，希望那个有才之士补上题 解 一第一章 题 解1-1 已知三个矢量分别为；。试求；单位矢量；及；及。解因则。1-2 已知平面内的位置矢量A与X轴的夹角为a，位置矢量B与X轴的夹角为b，试证证明 由于两矢量位于平面内，因此均为二维矢量，它们可以分别表示为已知，求得即1-3 已知空间三角形的顶点坐标为，及。试问：该三角形是否是直角三角形；该三角形的面积是多少？解 由题意知，三角形三个顶点的位置矢量分别为；那么，由顶点P1指向P2的边矢量为同理，由顶点P2指向P3的边矢量由顶点P3指向P1的边矢量分别为因两个边矢量，意味该两个边矢量相互垂直，所以该三角形是直角三角形。因，所以三角形的面积为1-4 已知矢量，两点P1及P2的坐标位置分别为及。若取P1及P2之间的抛物线或直线为积分路径，试求线积分。解 积分路线为抛物线。已知抛物线方程为, ，则 积分路线为直线。因,两点位于平面内，过,两点的直线方程为，即，则。1-5 设标量，矢量，试求标量函数F在点处沿矢量A的方向上的方向导数。解 已知梯度那么，在点处F 的梯度为因此，标量函数F在点处沿矢量A的方向上的方向导数为1-6 已知标量函数，试求该标量函数F 在点P(1,2,3)处的最大变化率及其方向。解 标量函数在某点的最大变化率即是函数在该点的梯度值。已知标量函数F的梯度为那么将点P(1,2,3) 的坐标代入，得。那么，在P点的最大变化率为P点最大变化率方向的方向余弦为；1-7 若标量函数为试求在点处的梯度。解 已知梯度，将标量函数F代入得再将P点的坐标代入，求得标量函数F 在P点处的梯度为1-8 试求距离在直角坐标、圆柱坐标及圆球坐标中的表示式。解 在直角坐标系中在圆柱坐标系中，已知，因此在球坐标系中，已知,因此 1-9 已知两个位置矢量及的终点坐标分别为及，试证与之间的夹角g 为证明 根据题意，两个位置矢量在直角坐标系中可表示为已知两个矢量的标积为，这里g为两个矢量的夹角。因此夹角g为式中因此，1-10 若C为常数，A及k为常矢量，试证： ； ； 。证明证明。利用公式，则而求得。证明。利用公式，则再利用的结果，则证明。利用公式，则再利用的结果，则。1-11 试证 ，式中k为常数。证明 已知在球坐标系中则即1-12 已知某点在圆柱坐标系中的位置为，试求该点在相应的直角坐标系及圆球坐标系中的位置。解 已知直角坐标系和圆柱坐标系坐标变量之间的转换关系为，因此，该点在直角坐标下的位置为;z = 3同样，根据球坐标系和直角坐标系坐标变量之间的转换关系，；可得该点在球坐标下的位置为；1-13 已知直角坐标系中的矢量，式中a, b, c均为常数，A是常矢量吗？试求该矢量在圆柱坐标系及圆球坐标系中的表示式。解 由于的大小及方向均与空间坐标无关，故是常矢量。已知直角坐标系和圆柱坐标系坐标变量之间的转换关系为；求得；又知矢量A在直角坐标系和圆柱坐标系中各个坐标分量之间的转换关系为将上述结果代入，求得即该矢量在圆柱坐标下的表达式为直角坐标系和球坐标系的坐标变量之间的转换关系为；由此求得；矢量A在直角坐标系和球坐标系中各个坐标分量之间的转换关系为求得即该矢量在球坐标下的表达式为。1-14 已知圆柱坐标系中的矢量，式中a, b, c均为常数，A是常矢量吗？试求及以及A在相应的直角坐标系及圆球坐标系中的表示式。解 因为虽然a, b, c均为常数，但是单位矢量er和ef均为变矢，所以不是常矢量。已知圆柱坐标系中，矢量A的散度为将代入，得矢量A的旋度为已知直角坐标系和圆柱坐标系坐标变量之间的转换关系为;又知矢量A在直角坐标系和圆柱坐标系中各个坐标分量之间的转换关系为将上述接结果代入，得即该矢量在直角坐标下的表达式为，其中。矢量A在圆柱坐标系和球坐标系中各个坐标分量之间的转换关系以及，求得即该矢量在球坐标下的表达式为。1-15 已知圆球坐标系中矢量，式中a, b, c均为常数，A是常矢量吗？试求及，以及A在直角坐标系及圆柱坐标系中的表示式。解 因为虽然a, b, c均为常数，但是单位矢量er，eq，ef均为变矢，所以不是常矢量。在球坐标系中，矢量A的散度为将矢量A的各个分量代入，求得。矢量A的旋度为利用矢量A在直角坐标系和球坐标系中各个坐标分量之间的转换关系以及，求得该矢量在直角坐标下的表达式为利用矢量A在圆柱坐标系和球坐标系中各个坐标分量之间的转换关系求得其在圆柱坐标下的表达式为。题 解 三3-1 若真空中相距为d的两个电荷q1及q2的电量分别为q及4q，当点电荷位于q1及q2的连线上时，系统处于平衡状态，试求的大小及位置。解 要使系统处于平衡状态，点电荷受到点电荷q1及q2的力应该大小相等，方向相反，即。那么，由，同时考虑到，求得可见点电荷可以任意，但应位于点电荷q1和q2的连线上，且与点电荷相距。习题图3-2zoxE3E2E13-2 已知真空中有三个点电荷，其电量及位置分别为：试求位于点的电场强度。解 令分别为三个电电荷的位置到点的距离，则，。利用点电荷的场强公式，其中为点电荷q指向场点的单位矢量。那么，在P点的场强大小为，方向为。在P点的场强大小为，方向为。在P点的场强大小为，方向为则点的合成电场强度为3-3 直接利用式（3-1-14）计算电偶极子的电场强度。解 令点电荷位于坐标原点，为点电荷至场点P的距离。再令点电荷位于+坐标轴上，为点电荷至场点P的距离。两个点电荷相距为，场点P的坐标为（r,f）。根据叠加原理，电偶极子在场点P产生的电场为考虑到r l，= er，那么上式变为式中以为变量，并将在零点作泰勒展开。由于，略去高阶项后，得利用球坐标系中的散度计算公式，求出电场强度为3-4 已知真空中两个点电荷的电量均为C，相距为2cm， 如习题图3-4所示。试求：P点的电位；将电量为C的点电荷由无限远处缓慢地移至P点时，外力必须作的功。1cmP1cmqq1cm习题图3-4解 根据叠加原理，点的合成电位为因此，将电量为的点电荷由无限远处缓慢地移到点，外力必须做的功为3-5 通过电位计算有限长线电荷的电场强度。习题图3-5r0Pzodllq1q2y解 建立圆柱坐标系。 令先电荷沿z轴放置，由于结构以z轴对称，场强与无关。为了简单起见，令场点位于yz平面。设线电荷的长度为，密度为，线电荷的中点位于坐标原点，场点的坐标为。利用电位叠加原理，求得场点的电位为式中。故因，可知电场强度的z分量为电场强度的r分量为式中，那么，合成电强为当L时，则合成电场强度为可见，这些结果与教材2-2节例4完全相同。3-6 已知分布在半径为a的半圆周上的电荷线密度，试求圆心处的电场强度。习题图3-6ayxoE解 建立直角坐标，令线电荷位于xy平面，且以y轴为对称，如习题图2-6所示。那么，点电荷在圆心处产生的电场强度具有两个分量Ex和Ey。由于电荷分布以y轴为对称，因此，仅需考虑电场强度的分量，即考虑到，代入上式求得合成电场强度为3-7 已知真空中半径为a的圆环上均匀地分布的线电荷密度为，试求通过圆心的轴线上任一点的电位及电场强度。习题图3-7xyzProa解 建立直角坐标，令圆环位于坐标原点，如习题图2-7所示。那么，点电荷在z轴上点产生的电位为根据叠加原理，圆环线电荷在点产生的合成电位为因电场强度，则圆环线电荷在点产生的电场强度为3-8 设宽度为W，面密度为的带状电荷位于真空中，试求空间任一点的电场强度。习题图3-8xyzoryxdxx(a)(b)P(x,y)解 建立直角坐标，且令带状电荷位于xz平面内，如习题图2-8所示。带状电荷可划分为很多条宽度为的无限长线电荷，其线密度为。那么，该无限长线电荷产生的电场强度与坐标变量z无关，即式中得那么3-9 已知均匀分布的带电圆盘半径为a，面电荷密度为，位于z = 0平面，且盘心与原点重合，试求圆盘轴线上任一点电场强度。习题图3-9oxyzrdrP(0,0,z)解 如图 2-9所示，在圆盘上取一半径为，宽度为的圆环，该圆环具有的电荷量为。由于对称性，该圆环电荷在z轴上任一点P产生的电场强度仅的有分量。根据习题2-7结果，获知该圆环电荷在P产生的电场强度的分量为那么，整个圆盘电荷在P产生的电场强度为3-10 已知电荷密度为及的两块无限大面电荷分别位于x = 0及x = 1平面，试求及区域中的电场强度。解 无限大平面电荷产生的场强分布一定是均匀的，其电场方向垂直于无限大平面，且分别指向两侧。因此，位于x = 0平面内的无限大面电荷，在x 0区域中产生的电场强度。位于x = 1平面内的无限大面电荷，在x 1区域中产生的电场强度。由电场强度法向边界条件获知，即由此求得根据叠加定理，各区域中的电场强度应为3-11 已知空间电场强度，试求（0,0,0）与（1,1,2）两点间的电位差。解设P1点的坐标为（0,0,0,）, P2点的坐标为（1,1,2,），那么，两点间的电位差为式中，因此电位差为3-12 已知同轴圆柱电容器的内导体半径为a，外导体的内半径为b。若填充介质的相对介电常数。试求在外导体尺寸不变的情况下，为了获得最高耐压，内外导体半径之比。解 已知若同轴线单位长度内的电荷量为q1，则同轴线内电场强度。为了使同轴线获得最高耐压，应在保持内外导体之间的电位差V不变的情况下，使同轴线内最大的电场强度达到最小值，即应使内导体表面处的电场强度达到最小值。因为同轴线单位长度内的电容为则同轴线内导体表面处电场强度为令b不变，以比值为变量，对上式求极值，获知当比值时，取得最小值，即同轴线获得最高耐压。3-13 若在一个电荷密度为，半径为a的均匀带电球中，存在一个半径为b的球形空腔，空腔中心与带电球中心的间距为d，试求空腔中的电场强度。习题图3-13obaPrdro解 此题可利用高斯定理和叠加原理求解。首先设半径为的整个球内充满电荷密度为的电荷，则球内点的电场强度为式中是由球心o点指向点的位置矢量， 再设半径为的球腔内充满电荷密度为的电荷，则其在球内点的电场强度为式中是由腔心点指向点的位置矢量。那么，合成电场强度即是原先空腔内任一点的电场强度，即式中是由球心o点指向腔心点的位置矢量。可见，空腔内的电场是均匀的。3-14 将一块无限大的厚度为d的介质板放在均匀电场中，周围媒质为真空。已知介质板的介电常数为，均匀电场的方向与介质板法线的夹角为，如习题图2-20所示。当介质板中的电场线方向时，试求角度及介质表面的束缚电荷面密度。Eedq1q 1q2q2e0e0E习题图3-14E2en2en1解 根据两种介质的边界条件获知，边界上电场强度切向分量和电通密度的法向分量连续。因此可得；已知，那么由上式求得已知介质表面的束缚电荷，那么，介质左表面上束缚电荷面密度为介质右表面上束缚电荷面密度为3-15 已知两个导体球的半径分别为6cm及12cm，电量均为C，相距很远。若以导线相连后，试求：电荷移动的方向及电量；两球最终的电位及电量。解 设两球相距为d，考虑到d a, d b，两个带电球的电位为；两球以导线相连后，两球电位相等，电荷重新分布，但总电荷量应该守恒，即及，求得两球最终的电量分别为可见，电荷由半径小的导体球转移到半径大的导体球，移动的电荷量为。两球最终电位分别为3-16 如习题图3-16所示，半径为a的导体球中有两个较小的球形空腔。若在空腔中心分别放置两个点电荷q1及q2，在距离处放置另一个点电荷q3，试求三个点电荷受到的电场力。q1q2rq3a习题图3-16解 根据原书2-7节所述，封闭导体空腔具有静电屏蔽特性。因此，q1与q2之间没有作用力，q3对于q1及q2也没有作用力。但是q1及q2在导体外表面产生的感应电荷-q1及-q2，对于q3有作用力。考虑到ra，根据库仑定律获知该作用力为3-17 已知可变电容器的最大电容量，最小电容量，外加直流电压为300V，试求使电容器由最小变为最大的过程中外力必须作的功。解 在可变电容器的电容量由最小变为最大的过程中，电源作的功和外力作的功均转变为电场储能的增量，即式中因此，外力必须作的功为3-18 若使两个电容器均为C的真空电容器充以电压V后，断开电源相互并联，再将其中之一填满介电常数为的理想介质，试求：两个电容器的最终电位；转移的电量。解 两电容器断开电源相互并联，再将其中之一填满相对介电常数为理想介质后，两电容器的电容量分别为两电容器的电量分别为，且由于两个电容器的电压相等，因此联立上述两式，求得，因此，两电容器的最终电位为考虑到，转移的电量为e2ae1b习题图3-193-19 同轴圆柱电容器的内导体半径为a，外导体半径为b，其内一半填充介电常数为的介质，另一半填充介质的介电常数为，如习题图2-27所示。当外加电压为V时，试求：电容器中的电场强度；各边界上的电荷密度；电容及储能。解 设内导体的外表面上单位长度的电量为，外导体的内表面上单位长度的电量为。取内外导体之间一个同轴的单位长度圆柱面作为高斯面，由高斯定理 求得已知，在两种介质的分界面上电场强度的切向分量必须连续，即，求得内外导体之间的电位差为即单位长度内的电荷量为故同轴电容器中的电场强度为 由于电场强度在两种介质的分界面上无法向分量，故此边界上的电荷密度为零。内导体的外表面上的电荷面密度为；外导体的内表面上的电荷面密度为；单位长度的电容为电容器中的储能密度为3-20 一平板电容器的结构如习题图2-28所示，间距为d，极板面积为。试求： 接上电压V时，移去介质前后电容器中的电场强度、电通密度、各边界上的电荷密度、电容及储能； 断开电源后，再计算介质移去前后以上各个参数。dl/2KVl/2ee 0习题图3-20解接上电源，介质存在时，介质边界上电场强度切向分量必须连续，因此，介质内外的电场强度是相等的，即电场强度为。但是介质内外的电通密度不等，介质内，介质外。两部分极板表面自由电荷面密度分别为，电容器的电量电容量为电容器储能为若接上电压时，移去介质，那么电容器中的电场强度为电通密度为极板表面自由电荷面密度为电容器的电量为电容量为电容器的储能为断开电源后，移去介质前，各个参数不变。但是若移去介质，由于极板上的电量不变，电场强度为电通密度为 极板表面自由电荷面密度为两极板之间的电位差为电容量为电容器的储能为 3-21 若平板电容器的结构如习题图2-29所示，尺寸同上题，计算上题中各种情况下的参数。d/2d/2ele 0习题图3-21解 接上电压，介质存在时，介质内外的电通密度均为，因此，介质内外的电场强度分别为；两极板之间的电位差为。则 则电位移矢量为 ；极板表面自由电荷面密度为；介电常数为的介质在靠近极板一侧表面上束缚电荷面密度为 介电常数为与介电常数为的两种介质边界上的束缚电荷面密度为此电容器的电量 则电容量为 电容器的储能为 接上电压时，移去介质后：电场强度为 电位移矢量为 极板表面自由电荷面密度为 电容器的电量 电容量为 电容器的储能为 (2) 断开电源后，介质存在时，各个参数与接上电源时完全相同。但是，移去介质后，由于极板上的电量不变，电容器中电场强度为，电通密度为极板表面自由电荷面密度为两极板之间的电位差为电容量为电容器的储能为3-22 已知两个电容器C1及C2的电量分别为q1及q2，试求两者并联后的总储能。若要求并联前后的总储能不变，则两个电容器的电容及电量应满足什么条件？解 并联前两个电容器总储能为 并联后总电容为，总电量为，则总储能为要使，即要求方程两边同乘，整理后得方程两边再同乘，可得即由此获知两个电容器的电容量及电荷量应该满足的条件为dVte 0e 0习题图3-23A3-23 若平板空气电容器的电压为V，极板面积为A，间距为d，如习题图2-32所示。若将一块厚度为的导体板平行地插入该平板电容器中，试求外力必须作的功。解 未插入导体板之前，电容量。插入导体板后，可看作两个电容串联，其中一个电容器的电容，另一个电容器的电容，那么总电容量为根据能量守恒原理，电源作的功和外力作的功均转变为电场能的增量，即式中 则 3-24 已知线密度的无限长线电荷位于（1,0, z）处，另一面密度的无限大面电荷分布在x = 0平面。试求位于处电量的点电荷受到的电场力。xz1Po0.55y习题图3-24解 根据题意，两种电荷的位置如图2-33所示。由习题 2-10知，无限大面电荷在P点产生的电场强度为无限长线电荷在P点产生的电场强度为因此，P点的总电场强度为 所以位于P点的点电荷受到的电场力为 3-25 已知平板电容器的极板尺寸为，间距为d，两板间插入介质块的介电常数为，如习题图2-34所示。试求：当接上电压V时，插入介质块受的力；电源断开后，再插入介质时，介质块的受力。da bSUee 0习题图3-25解 此时为常电位系统，因此介质块受到的电场力为式中x为沿介质块宽边b的位移。介质块插入后，引起电容改变。设插入深度x，则电容器的电容为电容器的电场能量可表示为那么介质块受到的x方向的电场力为 此时为常电荷系统，因此介质块受到的电场力为式中x为沿介质块宽边b的位移。介质块插入后，极板电量不变，只有电容改变。此时电容器的电场能量可表示为因此介质块受到的x方向的电场力为3-26 已知在直角坐标系中四个点电荷分布如习题图3-1所示，试求电位为零的平面。-q3cmYX+q+q-q1cm习题图3-26解 已知点电荷q的电位为，令，那么，图中4个点电荷共同产生的电位应为令，得由4个点电荷的分布位置可见，对于x=1.5cm的平面上任一点，因此合成电位为零。同理，对于x=0.5cm的平面上任一点，因此合成电位也为零。所以，x=1.5cm及x=0.5cm两个平面的电位为零。xqP(r, z)hh-qz习题图3-273-27 试证当点电荷q位于无限大的导体平面附近时，导体表面上总感应电荷等于。证明 建立圆柱坐标，令导体表面位于xy平面，点电荷距离导体表面的高度为，如图3-2所示。那么，根据镜像法，上半空间的电场强度为电通密度为式中；那么，已知导体表面上电荷的面密度，所以导体表面的感应电荷为则总的感应电荷为3-28 根据镜像法，说明为什么只有当劈形导体的夹角为p的整数分之一时，镜像法才是有效的？当点电荷位于两块无限大平行导体板之间时，是否也可采用镜像法求解。答 根据镜像法，如果劈形导体的夹角不为的整数分之一时，则镜像电荷不能最终和原电荷重合，这样将会产生无限多个镜像电荷，每个镜像电荷都会产生一定的电位，导致合成电位无限大，因而无解。当点电荷位于两块无限大导体板之间时，可采用镜像法求解。此时虽然也会产生无限多个镜像电荷，但是远处的镜像电荷对于两板之间的场点贡献越来越小，因此可以获得一个有限的解。errlh导体习题图3-29x y3-29 一根无限长的线电荷平行放置在一块无限大的导体平面附近，如习题图3-4所示。已知线电荷密度，离开平面的高度m，空间媒质的相对介电常数。试求： 空间任一点场强及能量密度； 导体表面的电荷密度； 当线电荷的高度增加一倍时，外力对单位长度内的线电荷应作的功。解 建立圆柱坐标，令导体表面位于xz平面，导体上方场强应与变量z无关。根据镜像法，上半空间中任一点的场强为电场能量密度为已知导体表面的电荷面密度，那么单位长度内线电荷受到的电场力可等效为其镜像线电荷对它的作用力，即可见，线电荷受到的是吸引力。所以，当线电荷的高度增加一倍时，外力必须做的功为 （J）。dd/3q习题3-30 3-30 已知点电荷q位于两块无限大的接地的平行导体板之间，如习题图3-7所示。两板间距为d，点电荷位于处，试求两板间的电位分布。解 选用圆柱坐标系，令下底板位于z=0平面，点电荷q位于轴，则导体板之间任一点电位与角度q无关。根据镜像法，必须在轴上引入无限多个镜像电荷，zq-q-qqqrx它们的位置分别为：正轴上：，负轴上：，则两板之间任一点的电位为：题 解 四4-1 已知一根长直导线的长度为1km，半径为0.5mm，当两端外加电压6V时，线中产生的电流为A，试求： 导线的电导率； 导线中的电场强度； 导线中的损耗功率。解 （1）由，求得由 ，求得导线的电导率为（2） 导线中的电场强度为（3） 单位体积中的损耗功率 ，那么，导线的损耗功率为 4-2 已知圆柱电容器的长度为L，内外电极半径分别为a及b，填充的介质分为两层，界面半径为c。在区域中，填充媒质的参数为；在区域中，媒质参数为。若接上电动势为的电源，试求： 各区域中的电流密度； 内外导体表面上以及介质表面上的驻立电荷密度。解 (1) 建立圆柱坐标系，则电位应满足的拉普拉斯方程为忽略边缘效应，设媒质和媒质内的电位分别为j1和j2，那么根据边界条件，得知；联立上式，求得；代入上式，得(2) r = a表面上面电荷密度为r = b表面上面电荷密度为r = c表面上面电荷密度为4-3 已知环形导体块尺寸如习题图4-5所示。试求与两个表面之间的电阻。YXdabfr(r,f)0习题图4-3解 建立圆柱坐标系，则电位应满足的拉普拉斯方程为该方程的解为令求得常数。那么，电场强度为电流密度为电流强度为由此求得两个表面之间的电阻为4-4 若两个同心的球形金属壳的半径为及，球壳之间填充媒质的电导率，试求两球壳之间的电阻。解 对于恒定电流场，因，可令。将其代入，得建立球坐标系，上式展开为该方程的解为那么，求得电流密度为两球壳之间的电流为两球壳之间的恒定电场为两球壳之间的电位差为求得两球壳之间的电阻为4-5 已知截断的球形圆锥尺寸范围为，电导率为，试求及两个球形端面之间的电阻。解 由于两个球形端面之间的导电媒质是均匀的，因此由上例获知那么；求得电流密度；电场强度那么，电流电位差因此电阻 4-6 若上题中电导率，再求两球面之间的电阻。解 由于媒质是非均匀的，那么由，求得电流密度电场强度电流电位差因此电阻4-7 若两个半径为及的理想导体球埋入无限大的导电媒质中，媒质的电参数为及，两个球心间距为，且，试求两导体球之间的电阻。解 设两球携带的电荷分别为Q和-Q，考虑到两球相距很远，两球表面电荷分布可视为均匀。因此，两球的电位分别为，则两球之间的电位差为那么，两球之间的电容根据静电比拟，两球之间的电阻应为4-8 知半径为25mm的半球形导体球埋入地中，如习题图4-10所示。若土壤的电导率，试求导体球的接地电阻（即导体球与无限远处之间的电阻）。s =10-6S/me02a习题图4-8解 已知半径为a的孤立导体球与无限远处之间的电容为 ，那么根据静电比拟，埋地导体球的电阻R为对于埋地的导体半球，表面面积减了一半，故电阻加倍，即W4-9 恒定电流通过无限大的非均匀电媒质时，试证任意一点的电荷密度可以表示为解 已知恒定电流场是无散的，即 ，那么又由于介质中电通密度在某点的散度等于该点自由电荷的体密度，即由上两式求得4-10 若一张矩形导电纸的电导率为，面积为，四周电位如习题图4-12所示。试求：导电纸中电位分布；导电纸中电流密度。baj = 0sj = V0XY习题图4-10解 (1) 建立直角坐标，根据给定的边界条件，得 导电纸区域中电位的通解为由边界条件及得 由此求得常数：，其中，其中代入上式，得由边界条件，得由此求得常数：那么，导电纸中的电位分布为(2)由，求得导电纸中电流密度为题 解 五5-1 在均匀线性各向同性的非磁性导电媒质（即）中，当存在恒定电流时，试证磁感应强度应满足拉普拉斯方程，即。证 在均匀线性各向同性的非磁性导电媒质中，由及，得对等式两边同时取旋度，得但是，考虑到恒等式，得又知，由上式求得。5-2 设两个半径相等的同轴电流环沿x轴放置，如习题图5-2所示。试证在中点P处，磁感应强度沿x轴的变化率等于零，即Paaaz习题图5-2xyo解 设电流环的半径为a，为了求解方便，将原题中坐标轴x换为坐标轴z，如图示。那么，中点P的坐标为（z，0，0），电流环位于处，电流环位于处。根据毕奥沙伐定律，求得电流环在P点产生的磁感应强度为取圆柱坐标系，则，因此 同理可得，电流环在P点产生的磁感应强度为那么，P点合成磁感应强度为 由于和均与坐标变量z无关，因此P点的磁感应强度沿z轴的变化率为零，即ao aaPxyACB习题图5-35-3 已知边长为a的等边三角形回路电流为I，周围媒质为真空，如习题图5-3所示。试求回路中心点的磁感应强度。解 取直角坐标系，令三角形的AB边沿x 轴，中心点P位于y轴上，电流方向如图示。由毕奥沙伐定律，求得AB段线电流在P点产生的磁感应强度为式中，即由于轴对称关系，可知BC段及AC段电流在P点产生的磁感应强度与AB段产生的磁感应强度相等。因此，P点的磁感应强度为5-4 两条半无限长直导线与一个半圆环导线形成一个电流回路，如习题图5-4所示。若圆环半径r =10cm，电流I = 5A，试求半圆环圆心处的磁感应强度。rI0X习题图5-4Y解 根据毕奥沙伐定律，载流导线产生的磁场强度为 设半圆环圆心为坐标原点，两直导线平行于X轴，如图所示。那么，对于半无限长线段，因此，在圆心处产生的磁场强度为同理线段在圆心处产生的磁场强度为对于半圆形线段, , 因此，它在半圆心处产生的磁场强度为 那么，半圆中心处总的磁感应强度为5-5 若在处放置一根无限长线电流，在y = a处放置另一根无限长线电流，如习题图5-5所示。试YZ-aaI0IX习题图5-5求坐标原点处的磁感应强度。解 根据无限长电流产生的磁场强度公式，求得位于处的无限长线电流在原点产生的磁场为位于处的无限长线电流产生的磁场为因此，坐标原点处总磁感应强度为yz-w/2w/2IodxJxP5-6 已知宽度为W的带形电流的面密度，位于z = 0平面内，如习题图5-6所示。试求处的磁感应强度。dyyzyo习题图5-6(a)习题图5-6(b)解 宽度为，面密度为的面电流可看作为线电流，其在P点产生的磁场为 由对称性可知，z方向的分量相互抵消，如习题图5-6（b）所示，则 因此，在处的磁感应强度为YZPah0IX习题图5-75-7 已知电流环半径为a，电流为I，电流环位于z = 0平面，如习题图5-7所示。试求处的磁感应强度。解 由毕奥沙伐定律得因为处处与正交，则即由对称性可知，P点磁场强度只有分量，所以因此，处的磁感应强度为zzdr05-8 当半径为a的均匀带电圆盘的电荷面密度为，若圆盘绕其轴线以角速度旋转，试求轴线上任一点磁感应强度。解 如习题图 5-8所示，将圆盘分割成很多宽度为的载流圆环dI，它在处产生的磁感应强度，根据题5-9结果,得知因为 习题图5-8因此0XYZ习题图5-95-9 已知位于y = 0平面内的表面电流，试证磁感应强度B为解 有两种求解方法。解法一：将平面分割成很多宽度为的无限长线电流，那么由题5-8结果获知，当时因此，积分求得同理，当时，那么，积分求得解法二：由题5-8知，即 令y 0的区域中磁场强度为H2，那么，在的边界上，。由此求得 ，因此5-10 已知N边正多边形的外接圆半径为a，当通过的电流为I时，试证多边形中心的磁感应强度为IIIO习题图5-10式中为正多边形平面的法线方向上单位矢量。若时，中心B值多大？解 如习题图5-10所示，载流线圈每边在中心O处产生的磁感应强度为所以，N条边在中心O处产生的磁场为 当时，此结果即是半径为的电流环在中心处产生的磁感应强度。5-11 若无限长的半径为a的圆柱体中电流密度分布函数，试求圆柱内外的磁感应强度。解 取圆柱坐标系，如习题图5-11所示。当时，通过半径为r的圆柱电流为oxyz习题图 5-11由求得当时由求得xyo习题图 5-125-12 已知空间y 0区域中产生的磁感应强度为B1产生的磁通与线框电流交链的磁通链为因此，直导线与线框之间的互感为5-20 已知同轴线的内导体半径为a，外导体的内外半径分别为b及c，内外导体之间为空气，当通过恒定电流I时，计算单位长度内同轴线中磁场储能及电感。解 由安培环路定律，求得内导体中的磁场感应强度为那么，内导体单位长度内的磁场能量为在内外导体之间单位长度内的磁感应强度及磁场能量分别为 在外导体中单位长度内的磁感应强度及磁场能量分别为因此，同轴线单位长度内的磁场能量为那么，单位长度的自感5-21 已知两根平行导线中电流分别为，线间距离，试求当电流与同向及反向时，单位长度导线之间的作用力。zyI1I2xd习题图5-21解 建立的直角坐标如图5-21所示，令电流位于z轴。那么，电流在平面内y 0区域中产生的磁感应强度为当和方向相同时，电流上的电流元受到磁场B1的作用力为则单位长度电流受到磁场B1的力为可见，当电流同向时，单位长度导线间的作用力为吸力。当电流和反向时，同理可以求出单位线电流受到磁场B1的力为可见，当电流同向时，单位长度导线间的作用力为斥力。5-22 若宽度为w的无限IJszyxwdo习题图5-22长带状电流与无限长线电流平行放置，如习题图5-22所示。若带状电流密度，线电流为I，试求两者之间的作用力。解 已知无限长线电流产生的磁感应强度为 将无限长的带状电流分为很多宽度为dx，长度为无限长的条形电流，这些条形电流强度为JS0dx。那么，根据题6-11结果，线电流对位于x处的反向条形电流的斥力为由对称关系可知，x方向上的合力为零。那么，两者之间的作用力为即题 解 六6-1 已知真空平板电容器的极板面积为S，间距为d，当外加电压时，计算电容器中的位移电流，且证明它等于引线中的传导电流。解 在电容器中电场为，则，所以产生的位移电流为；已知真空平板电容器的电容为，所带电量为，则传导电流为；可见，位移电流与传导电流相等。6-2 已知正弦电磁场的频率为100GHz，试求铜及淡水中位移电流密度与传导电流密度之比。解 设电场随时间正弦变化，且，则位移电流，其振幅值为传导电流，振幅为，可见；在海水中，则； 在铜中，则。6-3 设真空中的磁感应强度为试求空间位移电流密度的瞬时值。解 由麦克斯韦方程知，而真空中传导电流，则位移电流为，求得e1m1s1e2m2s2d1d2V习题图6-46-4 若平板电容器中填充两层媒质，第一层媒质厚度为d1，第二层媒质厚度为d2，极板面积为S，电容器的外加电压，试求两种媒质参数分别为下列两种情况时：； 。；。电容器中的电场强度，损耗功率及储能。解 设两种媒质中的电场强度分别为和，由于两种媒质均为非理想介质，则电容器中将有传导电流，且其在两媒质的分界面上应该连续，即，而，则有：即得，损耗功率为系统的储能为当时，则电容器中传导电流中断，媒质中存在位移电流，两媒质之间的分界面上逐渐积累表面电荷，最后导致媒质中的电场为零。此时，。损耗功率为零，系统能量仅储藏在媒质中，即。6-5 已知电磁波的合成电场的瞬时值为式中。试求合成磁场的瞬时值及复值。解 根据题意，电场分量E1的复