微分方程复习要点ppt课件.ppt

1 一阶微分方程2 可降阶的二阶微分方程3 二阶线性微分方程的解的结构4 二阶常系数线性微分方程 一 第七章要点 1 1 一阶微分方程 1 可分离变量的微分方程 解法 类型 2 一阶线性微分方程 类型 解法 2 3 齐次方程 此为变量可分离的微分方程 类型 解法令 则 原方程变为 3 4 伯努利方程 为一阶线性微分方程 类型 解法令 则原方程变为 4 2 可降阶的二阶微分方程 方法作次积分 新方程是一个一阶微分方程 1 类型 2 类型 方法令 则原方程转变为 5 新方程是一个一阶微分方程 3 类型 方法令 则原方程转变为 6 3 二阶线性微分方程的解的结构 设二阶线性微分方程 而称方程 为方程 所对应的齐次线性方程 有 1 若是方程 的线性无关解 则方程 有通解 7 的一个特解 2 若是方程 的特解 则方程 有通解 3 若是方程的特解 则为方程 8 4 二阶常系数线性微分方程 1 二阶常系齐次数线性微分方程 设方程 相应的特征方程为 则 若方程有两个不同的实根 则方程的通解为 9 若方程有两个相同的实根 则方程的通解为 若方程有一对共轭复根 则方程的通 解为 10 2 二阶常系数非齐次线性微分方程 设方程为 则方程有特解 其中是一个与同次的多项式 而 11 设方程 则方程有特解 其中是次的多项式 而 按是否为特征方程的根而分别取1或0 12 二 例题选讲 解此方程为一个可分离变量的微分方程 分离变量 因 得 例1求解方程 13 两边积分 得 即得原方程的通解 14 解原方程变形后为齐次方程 例2求解方程 作变换 则有 15 移项 得 两边积分 得 将代入 有 16 即满足初始条件的解为 由初始条件 得 即原方程的解为 17 解原方程变形为 即 例3求微分方程的通解 此是关于函数的一阶线性非齐次线性微分方程 由求解公式得 18 19 分离变量 得 两边积分 得 例4求解微分方程 解法1此方程为齐次方程 作代换 则有 20 故方程的通解为 即 由于 21 解法2方程变形为 故方程的通解为 代回原变量 得 此方程为贝努利方程 此时令 则有 22 例5求解下列方程 即 方程的解为 1 2 解1 此方程不含变量 故令变换 则方程为 23 即 所以 方程的通解为 24 方程变形为 即有 2 此方程中不含变量 作变换 则 25 解得 即 分离变量后 再两边积分得 从而得方程的通解 由 得方程的解为 由 26 例6求下列方程的通解 解1 特征方程为 解得 由此得到方程的通解 1 2 3 27 则 2 特征方程为 因而齐次方程的通解为 由于为单根 故可设方程的特解为 28 代入方程后 比较系数得 所以 因而方程的通解为 29 代入到原方程 得 3 特征方程为 解得 所以齐次方 程的通解为 注意到不是特征方程的根 故方程的特解可 设为 30 1 一阶微分方程2 可降阶的二阶微分方程3 二阶线性微分方程的解的结构4 二阶常系数线性微分方程 一 第七章要点 31 1 一阶微分方程 1 可分离变量的微分方程 解法 类型 2 一阶线性微分方程 类型 解法 32 3 齐次方程 此为变量可分离的微分方程 类型 解法令 则 原方程变为 33 4 伯努利方程 为一阶线性微分方程 类型 解法令 则原方程变为 34 2 可降阶的二阶微分方程 方法作次积分 新方程是一个一阶微分方程 1 类型 2 类型 方法令 则原方程转变为 35 新方程是一个一阶微分方程 3 类型 方法令 则原方程转变为 36 3 二阶线性微分方程的解的结构 设二阶线性微分方程 而称方程 为方程 所对应的齐次线性方程 有 1 若是方程 的线性无关解 则方程 有通解 37 的一个特解 2 若是方程 的特解 则方程 有通解 3 若是方程的特解 则为方程 38 4 二阶常系数线性微分方程 1 二阶常系齐次数线性微分方程 设方程 相应的特征方程为 则 若方程有两个不同的实根 则方程的通解为 39 若方程有两个相同的实根 则方程的通解为 若方程有一对共轭复根 则方程的通 解为 40 2 二阶常系数非齐次线性微分方程 设方程为 则方程有特解 其中是一个与同次的多项式 而 41 设方程 则方程有特解 其中是次的多项式 而 按是否为特征方程的根而分别取1或0 42 二 例题选讲 解此方程为一个可分离变量的微分方程 分离变量 因 得 例1求解方程 43 两边积分 得 即得原方程的通解 44 解原方程变形后为齐次方程 例2求解方程 作变换 则有 45 移项 得 两边积分 得 将代入 有 46 即满足初始条件的解为 由初始条件 得 即原方程的解为 47 解原方程变形为 即 例3求微分方程的通解 此是关于函数的一阶线性非齐次线性微分方程 由求解公式得 48 49 分离变量 得 两边积分 得 例4求解微分方程 解法1此方程为齐次方程 作代换 则有 50 故方程的通解为 即 由于 51 解法2方程变形为 故方程的通解为 代回原变量 得 此方程为贝努利方程 此时令 则有 52 例5求解下列方程 即 方程的解为 1 2 解1 此方程不含变量 故令变换 则方程为 53 即 所以 方程的通解为 54 方程变形为 即有 2 此方程中不含变量 作变换 则 55 解得 即 分离变量后 再两边积分得 从而得方程的通解 由 得方程的解为 由 56 例6求下列方程的通解 解1 特征方程为 解得 由此得到方程的通解 1 2 3 57 则 2 特征