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第八章无穷级数 1 无穷级数是高等数学的一个重要组成部分 它是表示函数 研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具 一 级数的基本概念 计算圆的面积 正六边形的面积 正十二边形的面积 正形的面积 第一节级数的概念和性质 2 1 级数的定义 常数项 无穷级数 一般项 部分和数列 级数的部分和 3 2 级数的收敛与发散 4 解 收敛 发散 例1 讨论等比级数 几何级数 的收敛性 5 发散 发散 综上所述 6 公元前五世纪 以诡辩著称的古希腊哲学家齐诺 Zeno 用他的无穷 连续以及部分和的知识 引发出以下著名的悖论 如果让阿基里斯 Achilles 古希腊神话中善跑的英雄 和乌龟之间举行一场赛跑 让乌龟在阿基里斯前头1000米开始 假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍 也永远也追不上乌龟 齐诺的理论依据是 当比赛开始的时候 阿基里斯跑了1000米 此时乌龟仍然前于他100米 当阿基里斯跑了下一个100米时 乌龟仍然前于他10米 如此分析下去 显然阿基里斯离乌龟越来越近 但却是永远也追不上乌龟的 这个结论显然是错误的 但奇怪的是 这种推理在逻辑上却没有任何毛病 那么 问题究竟出在哪儿呢 齐诺悖论 阿基里斯与乌龟 7 如果我们从级数的角度来分析这个问题 齐诺的这个悖论就会不攻自破 8 9 解 例2 讨论无穷级数 的收敛性 10 解 例3 所以级数发散 11 二 级数的重要性质 性质1 级数收敛的必要条件 证明 12 说明 1 如果级数的一般项不趋于零 则级数发散 级数发散 级数发散 13 2 必要条件不充分 再举一个重要例子 但级数发散 调和级数 14 讨论 于是 矛盾 调和级数 15 由级数收敛的定义 以及极限的性质 不难证明 也收敛 且有 性质2线性运算性质 16 注 证 矛盾 17 性质3 收敛级数任意加括号后仍收敛 且其和不变 证略 注 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛 推论如果加括弧后所成的级数发散 则原级数也发散 例如 例如 则级数 且和不变 18 去掉 添加或改变级数中的有限项 不会影响 性质4 它的敛散性 但收敛级数的和可能要改变 证略 19 解 例4 由性质3 由性质2 所以 注意 不能去括号 20 由性质2 所以 于是 解 例4 21 例5
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