浮点数运算.doc

5、浮点数运算 假定有两个浮点数 X=Mx * 2Ex ， Y=My * 2Ey （1）加减运算实现XY运算,需要如下五步:1.1 对阶操作,即比较两个浮点数的阶码值的大小.求E=Ex-Ey。当其不等于零时,首先应使两个数取相同的阶码值。其实现方法是,将原来阶码小的数的尾数右移|E|位,其阶码值加上|E|,即每右移一次尾数要使阶码加1,则该浮点数的值不变(但精度变差了)。尾数右移时,对原码形式的尾数,符号位不参加移位,尾数高位补0;对补码形式的尾数,符号位要参加右移并使自己保持不变。为减少误差,可用另外的线路,保留右移过程中丢掉的一到几位的高位值,供以后舍入操作使用。1.2 实现尾数的加(减)运算,对两个完成对阶后的浮点数执行求和(差)操作。1.3 规格化处理,若得到的结果不满足规格化规则,就必须把它变成规格化的数，规格化处理规则如下:l 当结果尾数的两个符号位的值不同时,表明尾数运算结果溢出。此时应 使结果尾数右移一位,并使阶码的值加1,这被称为向右规格化,简称右规。l 当尾数的运算结果不溢出,但最高数值位与符号位同值,表明不满足规格化规则,此时应重复地使尾数左移、阶减减1,直到出现在最高数值位上的值与符号位的值不同为止,这是向左规格化的操作,简称左规。1.4 舍入操作。在执行对阶或右规操作时,会使尾数低位上的一位或多位的数值被移掉,使数值的精度受到影响,可以把移掉的几个高位的值保存起来供舍入使用。舍入的总的原则是要有舍有入,而且尽量使舍和入的机会均等,以防止误差积累。常用的办法有0舍1入法,即移掉的最高位为1时 则在尾数末位加1;为0时则舍去移掉的数值。该方案的最大误差为2-（n+1）。这样做可能又使尾数溢出,此时就要再做一次右规。另一种方法 置1法,即右移时,丢掉移出的原低位上的值,并把结果的最低位置成1。该方案同样有使结果尾数变大或变小两种可能。即舍入前尾数最低位已为0,使其变1,对正数而言,其值变大,等于最低位入了个1。若尾数最低位已为1,则再对其置1无实际效用,等于舍掉了丢失的尾数低位值。1.5 判结果的正确性,即检查阶码是否溢出。浮点数的溢出是以其阶码溢出表现出来的。在加减运算真正结束前,要检查是否产生了溢出,若阶码正常，加(减)运算正常结束；若阶码下溢,要置运算结果为浮点形式的机器零,若上溢,则置溢出标志。例15：某浮点数阶码6位（含1位符号位：阶符），补码表示，尾数10位（含1位符号位，数符），补码表示， X=2010B * 0.11011011B, Y=2100B * (-0.10101100B)，求 X+Y解： 由已知条件，Ex=+010B，Mx = 0.11011011 B， Ey=+100B，My =-0.10101100 B 对应补码分别为Ex补=+010B 补=+00010B 补=000010BMx补= +0.11011011 B补=0.110110110 B 补=0, 110110110 BEy补=+100B 补=+00100B 补=000100B-Ey补=111100BMy补= -0.10101100 B补=-0.101011000 B 补=1, 010101000 B 浮点表示分别为：数符 阶码 尾数数值 X浮 = 0 000010 110110110Y浮 = 1 000100 01010100015_（1）对阶 E补= Ex补+-Ey补= 00 00010B + 11 11100B = 11 11110BE =-00010B=-2，说明X的阶码小,应使Mx右移两位,Ex加2所以修正X浮 = 0 000100 001101101 1015_（2）尾数求和00 001101101 10+ 11 010101000 11 100010101 1015_（3）尾数规格化 尾数运算结果的符号位与最高数值位均为1,应执行左规处理,具体为：将尾数左移一位，符号位1位，结果为1000101011, 阶码减1变为000011。15_（4）尾数移出位的舍入处理 左规已将对阶移出的1位有效1移入，尾数不用做舍入处理。15_（5）判溢出，写结果尾数已规格化且阶码符号位为00，没有溢出,最终结果为 Ex+y补=000011 Ex+y=+00011B Mx+y补=1000101011 Mx+y=-0.111010101B 所以，X+Y = 2+0011B *(-0.111010101B)（2）乘法运算实现X*Y运算,需要如下三步:2.1 尾数相乘（两个定点小数相乘）2.2 阶码求和2.3 结果左规、舍入例16：某浮点数阶码3位（含1位符号位：阶符），补码表示，尾数3位（含1位符号位，数符），原码表示， X=210B * 0.1101B, Y=2-01B * (-0.1011B)，求 X*Y 解：由已知条件，Ex=+10B，Mx = 0.1101 B， Ey=-01B，My =-0.1011 B 对应机器数分别为：Ex补=+10B补=010BMx原= +0.1101 B原=0, 1101 BEy补=-01B补=111BMy原= -0.1011B原=1, 1011B 机内浮点表示分别为：数符 阶码 尾数数值 X浮 = 0 010 1101Y浮 = 1 111 101116_（1）尾数相乘（Mx* My） 1.1 | Mx | 原= +0.1101 B原=0, 1101 B|My | 原= +0.1011B原=0, 1011B 1.2 高 位 积 乘数/低位积Y0 00 0000 1 0 1 1+ Y0*|X| 补 00 1101 00 1101 右移 00 0110 1 1 0 1 + Y0*|X| 补 00 1101 01 0011右移 00 1001 1 1 1 0+ Y0*|X| 补 00 0000 00 1001 右移 00 0100 1 1 1 1+ Y0*|X| 补 00 1101 01 0001右移 00 1000 1 1 1 1 1.3 Mx * My 符号= Mx 符号My符号=01=11.4 Mx * My 原=1，100011110B16_（2）阶码求和00 10+ 11 11 00 0116_（3）结果左规、舍入 尾数已为规格化形式，由于数值部分职能保存4位，需对小数点后第5位进行0设1入,最终尾数原码为1，1001B 最终运算结果为：1 001 1001 所以，X*Y = 2+01B *(-0.1001B)（3）除法运算实现X/Y运算,需要如下三步:3.1 尾数相除（两个定点小数相除）3.2 阶码相减3.3 结果规格化及舍入例17：某浮点数阶码3位（含1位符号位：阶符），补码表示，尾数3位（含1位符号位，数符），原码表示， X=210B * 0.0011B, Y=2-01B * 0.1011B，求 X/Y 解：由已知条件，Ex=+10B，Mx = 0.0011 B， Ey=-01B，My =-0.1011 B 对应机器数分别为Ex补=+10B补=010BMx原= +0.0011 B原=0, 0011BEy补=-01B补=111BMy原= -0.1011B原=1, 1011B机内浮点表示分别为：数符 阶码 尾数数值 X浮 = 0 010 0011Y浮 = 1 111 101117_（1）尾数相除（Mx/ My） 1.1 | Mx | 原= +0.00110000 B原=0, 00110000 B|My | 原= +0.1011B原=0, 1011B-|My | 补= 1, 0101B 1.2 被除数高位/余数 被除数低位/商00 0011 00000 +-|My |补 11 0101 11 1100 00000 左移 11 1000 00000+ |My |补 00 1011 00 0011 00001左移 00 0110 00010+-|My |补 11 0101 11 1011 00010左移 11 0110 00100+|My |补 00 1011 00 0001 00101左移 00 0010 01010+-|My |补 11 0101 11 0111 01010+|My |补 00 1011 00 0010 1