浙江省富阳市第二中学高中数学 2数学归纳法课件 新人教A版选修22.ppt

数学归纳法 数学归纳法 问题情境一 问题1 大球中有5个小球 如何证明它们都是绿色的 问题2 如果 an 是一个等差数列 怎样得到an a1 n 1 d 完全归纳法 不完全归纳法 在等差数列 an 中 已知首项为a1 公差为d 那么a1 a1 a1 0 d a2 a1 d a1 1 d a3 a2 d a1 2 d a4 a3 d a1 3 d an 数学家费马运用不完全归纳法得出费马猜想的事例 费马 1601 1665 法国伟大的业余数学家 问题情境二 数学家费马运用不完全归纳法得出费马猜想的事例 费马 1601 1665 法国伟大的业余数学家 欧拉 1707 1783 瑞士数学家及自然科学家 问题情境二 不完全归纳法 归纳法 由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法 结论一定可靠 但需逐一核对 实施较难 结论不一定可靠 但有利于发现问题 形成猜想 归纳法 1 完全归纳法 考察全体对象 得到一般结论的推理方法 2 不完全归纳法 考察部分对象 得到一般结论的推理方法 归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法 优点 考查全面 结论正确 缺点 工作量大 有些对象无法全面考查 优点 考查对象少 得出结论快 缺点 观察片面化 结论不一定正确 如何解决不完全归纳法存在的问题呢 问题情境三 如何解决不完全归纳法存在的问题呢 如何保证骨牌一一倒下 需要几个步骤才能做到 1 处理第一个问题 2 验证前一问题与后一问题有递推关系 相当于能推倒第一块骨牌 相当于第k块骨牌能推倒第k 1块骨牌 问题情境三 数学归纳法 用不完全归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题和猜想 常采用下面的方法来证明它们的正确性 1 证明当n取第一个值n0 例如n0 1 时结论正确 2 假设当n k k n k n0 时结论正确 证明当n k 1时结论也正确 在完成了这两个步骤以后 就可以断定这个命题和猜想对于从n0开始的所有正整数n都正确 这种证明方法叫做数学归纳法 数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法 其格式主要有两个步骤 一个结论 1 证明当n取第一个值n0 如n0 1或2等 时结论正确 验证初始条件 2 假设n k时结论正确 证明n k 1时结论也正确 假设推理 3 由 1 2 得出结论 点题 找准起点奠基要稳 用上假设递推才真 写明结论才算完整 特别提醒 证明 1 当n 1时左 1 右 12 1 n 1时 等式成立 2 假设n k时 等式成立 即1 3 5 2k 1 k2那么 当n k 1时左 1 3 5 2k 1 2 k 1 1 k2 2k 1 k 1 2 右即n k 1时等式成立由 1 2 可知等式对任何n n 都成立 递推基础 递推依据 例1 用数学归纳法证明1 3 5 2n 1 n2 证明 1 当n 1时左 1 右 12 1 n 1时 等式成立 2 假设n k时 等式成立 即1 3 5 2k 1 k2那么 当n k 1时左 1 3 5 2k 1 2 k 1 1 k2 2k 1 k 1 2 右即n k 1时等式成立由 1 2 可知等式对任何n n 都成立 证明 1 当n 1时 左 12 1 右 n 1时 等式成立2 假设n k时 等式成立 即那么 当n k 1时左 12 22 k2 k 1 2 右 n k 1时 原不等式成立由1 2知当n n 时 原不等式都成立 练1 用数学归纳法证明 例 如下证明对吗 证明 当n 1时 左边 右边 等式成立 设n k时 有 1 在第二步中 证明n k 1命题成立时 必须用到n k命题成立这一归纳假设 否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑严密关系 造成推理无效 证明中的几个注意问题 那么 当n k 1时 有 即n k 1时 命题成立 根据 问可知 对n n 等式成立 既然不对 如何改正 第二步证明中没有用到假设 这不是数学归纳法证明 2 在第一步中的初始值不一定从1取起 证明应根据具体情况而定 例 欲用数学归纳法证明2n n2 试问n的第一个取值应是多少 答 对n 1 2 3 逐一尝试 可知初始值为n 5 3 在证明n k 1命题成立用到n k命题成立时 要分析命题的结构特点 分析 n k 1时 命题是什么 并找出与 n k 时命题形式的差别 弄清左右端应增加 或减少 的项 例 用数学归纳法证 n 1 n 2 n n 2n 1 3 2n 1 时 从 k到k 1 左端需增乘的代数式为 4 在用n k时命题成立来证明n k 1时命题成立时 要进行适当的方法选取 譬如分析 添拆项 作差 因式分解等 要时刻注意所待证的式子 明确等式左端变形目标 练习巩固 1 证明 在验证n 1成立时 左边计算所得的结果是 a 1b c d 2 已知 则等于 a b c d 这就是说当时等式成立 所以时等式成立 思考1 下列推证是否正确 并指出原因 用数学归纳法证明 证明 假设时 等式成立 就是 那么 思考2 下面是某同学用数学归纳法证明命题的过程 你认为他的证法正确吗 为什么 例2 用数学归纳法证明 1 2 2 3 3 4 n n 1 1 明确首先取值n0并验证命题真假 必不可少 2 假设n k时命题正确 并写出命题形式 3 分析 n k 1时 命题是什么 并找出与 n k 时命题形式的差别 弄清左端应增加的项 4 明确等式左端变形目标 掌握恒等式变形常用的方法 乘法公式 因式分解 添拆项 配方等 5 两个步骤 一个结论缺一不可 否则结论不能成立 递推基础不可少 归纳假设要用到 结论写明莫忘掉 用数学归纳法证明的步骤及注意事项 例1 是否存在常数a b 使得等式 对一切正整数n都成立 并证明你的结论 解 令n 1 2 并整理得 以下用数学归纳法证明 1 当n 1时 由上面解法知结论正确 1 数学归纳法证明等式问题 二 数学归纳法应用举例 2 假设当n k时结论正确 即 则当n k 1时 故当n k 1时 结论也正确 根据 1 2 知 对一切正整数n 结论正确 例2 已知正数数列 an 中 前n项和为sn 且用数学归纳法证明 证 1 当n 1时 1 结论成立 2 假设当n k时 结论成立 即 则当n k 1时 故当n k 1时 结论也成立 根据 1 2 知 对一切正整数n 结论都成立 例 平面内有n n 2 条直线 任何两条都不平行 任何三条不过同一点 问交点的个数为多少 并证明 当n k 1时 第k 1条直线分别与前k条直线各交于一点 共增加k个点 由1 2 可知 对一切n n 原命题均成立 证明 1 n 2时 两条直线交点个数为1 而f 2 2 2 1 1 命题成立 k 1条直线交点个数 f k k k k 1 k k k 1 2 k k 1 k 1 k 1 1 f k 1 即当n k 1时命题仍成立 2 假设n k k n k 2 时 k条直线交点个数为f k k k 1 2 数学归纳法证明几何问题 练习1 凸n边形有f n 条对角线 则凸n 1边形的对角线的条数f n 1 f n n 1 练习2 设有通过一点的k个平面 其中任何三个平面或三个以上的平面不共有一条直线 这k个平面将空间分成f k 个区域 则k 1个平面将空间分成f k 1 f k 个区域 2k 例1 证明不等式 证 1 当n 1时 左边 1 右边 2 不等式显然成立 2 假设当n k时不等式成立 即有 则当n k 1时 我们有 3 数学归纳法证明不等式问题 即当n k 1时 不等式也成立 根据 1 2 可知 原不等式对一切正整数都成立 例2 已知x 1 且x 0 n n n 2 求证 1 x n 1 nx 2 假设n k时 不等式成立 即 1 x k 1 kx当n k 1时 因为x 1 所以1 x 0 于是左边 1 x k 1 1 x k 1 x 1 x 1 kx 1 k 1 x kx2 右边 1 k 1 x 因为kx2 0 所以左边 右边 即 1 x k 1 1 k 1 x 这就是说 原不等式当n k 1时也成立 根据 1 和 2 原不等式对任何不小于2的自然数n都成立 证明 1 当n 2时 左 1 x 2 1 2x x2 x 0 1 2x x2 1 2x 右 n 1时不等式成立 例3 已知求证 证 1 当n 2时 不等式成立 2 假设当n k k 2 时不等式成立 即 则当n k 1时 有 即当n k 1时 不等式成立 由 1 2 所证不等式对一切都成立 五 小结 1 与正整数有关的数学命题可以考虑用数学归纳法证明 但注意不要滥用 要掌握数学归纳法的实质与步骤 2 归纳思想充分体现了辩证唯物主义的特殊与一般的辨证思想 是数学的基本思想 数学归纳法体现了有限辨证关系与转化的思想 3 数学归纳法的应用通常与数学的其他方法联系在一起的 如比较法 放缩法 配凑法 分析法和综合法等 数学归纳法的第一步是