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高数下册总复习知识点归纳 软件三班jason 第八章向量代数与空间解析几何总结 各章节知识点归纳 第十张 重积分 三重积分 第十一章 曲线积分与曲面积分 第十二章 无穷级数 第九章多元函数微分法 向量的分解式 在三个坐标轴上的分向量 向量的坐标表示式 向量的坐标 1 向量的坐标表示法 一 向量代数 第八章向量代数与空间解析几何总结 向量的加减法 向量与数的乘积等的坐标表达式 向量模长的坐标表示式 向量方向余弦的坐标表示式 它们距离为 两点间距离公式 2 数量积 点积 内积 数量积的坐标表达式 两向量夹角余弦的坐标表示式 3 向量积 叉积 外积 向量积的坐标表达式 方程特点 1 旋转曲面 二 空间解析几何 旋转单叶双曲面 旋转双叶双曲面 旋转抛物面 旋转椭球面 2 圆锥面 1 球面 3 旋转双曲面 2 柱面 定义 平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称之 这条定曲线叫柱面的准线 动直线叫柱面的母线 从柱面方程 的特征 二元方程 看柱面的特征 其他类推 实例 椭圆柱面母线 轴 双曲柱面母线 轴 抛物柱面母线 轴 3 二次曲面 定义 三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面 1 椭球面 2 椭圆抛物面 特殊地 当时 方程变为 旋转抛物面 由面上的抛物线绕它的轴旋转而成的 3 马鞍面 4 单叶双曲面 5 圆锥面 4 空间曲线 1 空间曲线的一般方程 2 空间曲线的参数方程 C C关于的投影柱面 C在上的投影曲线 设曲线 则C关于xoy面的投影柱面方程应为消z后的方程 所以C在xoy面上的投影曲线的方程为 3 空间曲线在坐标面上的投影 5 平面 1 平面的点法式方程 2 平面的一般方程 3 平面的截距式方程 4 平面的夹角 5 两平面位置特征 重合 1 偏导数概念 第九章多元函数微分法 2 全微分公式 用定义证明可微与不可微的方法 可微 不可微 多元函数连续 可导 可微的关系 有极限 3 关系 4 多元复合函数求导法则 定理1若函数 在点处偏导连续 在点t可导 则复合函数 且有链式法则 中间变量均为一元函数的情形 在点t处可导 公式的记忆方法 连线相乘 分线相加 5 全微分形式不变性 无论是自变量的函数或中间变量的函数 它的全微分形式是一样的 定理1设函数 单值连续函数y f x 并有连续 隐函数求导公式 具有连续的偏导数 的某邻域内可唯一确定一个 的某一邻域内满足 满足条件 导数 在点 6 隐函数的求导法则 定理2 的某邻域内具有连续偏导数 则方程 在点 并有连续偏导数 定一个单值连续函数z f x y 满足 在点 若函数满足 某一邻域内可唯一确 定理3 的某一邻域内具有连续偏导数 设函数 则方程组 的单值连续函数 计算偏导数按直接法求解 在点 的某一邻域内可唯一确定一组满足条件 满足 在点 7 微分法在几何上的应用 切线方程为 法平面方程为 1 空间曲线的切线与法平面 关键 抓住切向量 1 空间曲线方程为 法平面方程为 特殊地 取为参数 2 空间曲线方程为 取为参数 切线方程为 法平面方程为 曲面的切平面与法线 切平面方程为 法线方程为 关键 抓住法向量 曲面在M处的切平面方程为 曲面在M处的法线方程为 令 则 特殊情形 8 方向导数 记为 1 方向导数的定义及存在的充分条件 三元函数方向导数的定义 方向导数的存在性及其计算方法 定理 那么函数在 该点沿任一方向的方向导数存在 且有 说明 可微 沿任一方向的方向导数存在 反之不一定成立 2 梯度的概念 记为 梯度与方向导数的关系 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时 二重积分是柱体的体积 当被积函数小于零时 二重积分是柱体的体积的负值 当被积函数有正有负时 二重积分是柱体体积的代数和 1 二重积分的定义 第十张 重积分 三重积分 3 二重积分的计算 X 型 X 型区域的特点 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点 直角坐标系下 Y型区域的特点 穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点 Y 型 求二重积分的方法步骤 1 作图求交点 2 选择积分次序 4 计算 先内积分后外积分 计算内积分时把 在累次积分不易积或不能积时 应考虑交换积分次序 把D写成不等式形式 外积分变量看成常数 3 确定积分限 1 选择积分次序 1 首先被积函数要易积分 能积分 2 积分区域D尽量少分块 2 确定积分限 计算二重积分的两个关键 内限 平行线穿越法 外限 投影法 2 极坐标系下 2 定限方法 内限 的限 射线穿越法 外限 的限 看夹在那两条射线之间 利用极坐标计算二重积分应注意 何时用极坐标 1 当积分区域为圆域或其一部分时 2 被积函数中含有或时 3 用